2018年高考数学理二轮复习练习：专题限时集训7 回归分析、独立性检验 含答案 精品

专题限时集训(七) 回归分析、独立性检验
(对应学生用书第91页)
(限时：40分钟)
1．(2017·石家庄一模)下列说法错误的是( )
【导学号：07804050】
A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2
的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度
越小
D ．在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^
就增加
0.2个单位
C [根据相关定义知选项A ，B ，
D 均正确；选项C 中，对分类变量X 与Y ，随机变量K 2
的观测值k 越大，对判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误．选C.]
2．(2017·湖南名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅
下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k ＞3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为
C ．99.5%
D ．95%
D [由图表中数据可得，当k ＞3.841时，有0.05的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的几率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.] 3．(2017·湖北七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告
费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：
由上表可得回归方程为y ^＝10.2x ＋a ^
，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( )
【导学号：07804051】
A ．101.2万元
B ．108.8万元
C ．111.2万元
D ．118.2万元
C [根据统计数据表，可得x ＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15×(29＋41＋50＋59＋71)
＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^
＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ^
＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.] 4．(2017·佛山二模)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部
分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图7­7所示的两个等高堆积条形图．
图7­7
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量
B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C ．样本中的男生偏爱理科
D ．样本中的女生偏爱文科
D [由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选D.]
5．(2016·汕头模拟)对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数
进行比较，下列结论中正确的是( )
图7­8(1)
图7­8(2)
图7­8(3)
图7­8(4)
A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1
B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3
C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1
D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3
A [由给出的四组数据的散点图可以看出，图(1)和图(3)是正相关，相关系数大于0，图(2)和图(4)是负相关，相关系数小于0，图(1)和图(2)的点相对更加集中，所以相关性要强，所有r 1接近于1，r 2接近于－1，由此可得r 2＜r 4＜r 3＜r 1.故选A.]
6．(2017·南昌一模)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关
系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg
D [因为回归直线方程y ^
＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．]
7．在用线性回归方程研究四组数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是( )
A
B
C
D
C[当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，对比4个残差图，易知选项C的图
对应的带状区域的宽度越窄．故选C.]
8．(2017·江西南城一中、高安中学第九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查
一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
由K 2
＝
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，得K 2
＝
65×35×58×42
≈9.616.
参照下表，
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” C [K 2
≈9.616＞6.635，
∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.] 二、填空题
9．(2017·汉中二模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的
实验数据，计算得回归直线方程为y ^
＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.
【导学号：07804052】
6 [x ＝
5＝5，y ＝5＝5
，代入回归直线方程，得
14＋c
5
＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.] 10．(2017·安徽百校联盟二模)已知x 、y 的取值为：
从散点图可知y 与x 呈线性相关关系，且回归直线方程为y ^＝1.2x ＋a ^
，则当x ＝20时，y 的取值为________．
27．6 [由表格可知x ＝3，y ＝7.2，所以这组数据的样本点的中心是(3,7.2)，根据样本点的
中心在回归直线上，得7.2＝a ^＋1.2×3，得a ^＝3.6，所以这组数据对应的回归直线方程是y ^
＝1.2x ＋3.6，将x ＝20代入，得y ＝1.2×20＋3.6＝27.6.]
11．(2017·山西太原五中一模)某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下：
已知x ，y 的关系符合回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元． 3．75 [x ＝3.5，y ＝40，
∴a ^
＝40－(－20)×3.5＝110， ∴回归直线方程为：y ^
＝－20x ＋110，
利润L ＝(x －2)(－20x ＋110)＝－20x 2
＋150x －220， ∴x ＝150
40＝3.75元时，利润最大，
故答案为3.75.]
12．(2017·哈尔滨三中二模)以模型y ＝c e kx
(e 为自然对数的底)去拟合一组数据时，为了求出回
归直线方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程为z ＝0.4x ＋2，则c ＝________. e 2
[∵y ＝c e kx
，
∴两边取对数，可得ln y ＝ln(c e kx )＝ln c ＋ln e kx
＝ln c ＋kx ， 令z ＝ln y ，可得z ＝ln c ＋kx ， ∵z ＝0.4x ＋2， ∴ln c ＝2， ∴c ＝e 2
.] 三、解答题
13．(2017·石家庄一模)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性
各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如图7­9所示的茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．
图7­9
(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？
(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望． 附：K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c
b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
K 2
＝
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
＝
20×20×28×12
≈1.905＜6.635，
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为3
5.
此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0,1,2,3,4，
P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4
52⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352
＝4
625
，
P (X ＝1)＝C 1245⎝
⎛⎭⎪⎫1－45⎝
⎛⎭
⎪⎫1－352
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452
C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝
44
625
， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1－352＋C 1245⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－45·C 123
5·⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫
352＝169
625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫
352
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452
C 1235·⎝
⎛⎭⎪⎫
1－35＝
264
625，
P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫
352＝144
625
，
所以X 的分布列为
所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625
＝2.8.
14．(2017·湖南三湘名校联盟三模)为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了
7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y ＝C 1x 2
＋C 2与模型②：y ＝e C 3x ＋C 4作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.
∑n i ＝1
x i －x
y i －y
∑n
i ＝1
x i －x 2
∑n i ＝1
t i －t
y i －y
∑n
i ＝1
t i －t 2
∑n i ＝1
z i －z
x i －x
∑n
i ＝1
x i －x 2
∑n
i ＝1
z i －z
t i －t
∑n
i ＝1
t i －t
2
其中t i ＝x 2
i ，t ＝∑i ＝1
t i ，z i ＝ln y i ，z ＝∑i ＝1
z i ，
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝β^u ＋α^
的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：β^＝
∑n
i ＝1
u i －u
v i －v
∑n
i ＝1
u i －u
2
，α^＝v －β^
u .
图7­10
(1)在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)．
图7­11
(2)根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产
卵数．(C 1，C 2，C 3，C 4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据：e 4.65
≈104.58，
e
4.85
≈127.74，e
5.05
≈156.02)
(3)若模型①、②的相关指数计算得分分别为R 2
1＝0.82，R 2
2＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.
【导学号：07804053】
[解] (1)画出y 关于t 的散点图，如图1；z 关于x 的散点图，如图2.
图1 图2
根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型． (2)对于模型①：设t ＝x 2
，则y ＝C 1x 2
＋C 2＝C 1t ＋C 2，
其中C ^1＝
∑7
i ＝1
t i －t
y i －y
∑7
i ＝1
t i －t
2
＝0.43，C ^2＝y －C ^
1t ＝80－0.43×692＝－217.56，
所以y ＝0.43x 2
－217.56，
当x ＝30时，估计温度为y 1＝0.43×302
－217.56＝169.44. 对于模型②：y ＝e C 3x ＋C 4⇒z ＝ln y ＝C 3x ＋C 4，
其中C ^3＝
∑7
i ＝1
z i －z
x i －x
∑7
i ＝1
x i －x
2
＝0.32，C ^4＝z －C ^
3x ＝3.57－0.32×26＝－4.75.
所以y ＝e
0.32x －4.75
，
当x ＝30时，估计温度为y 2＝e
0.32×30－4.75
＝e
4.85
≈127.74.
(3)因为R 2
1＜R 2
2，所以模型②的拟合效果更好．。