2021年河南省实验中学高考数学四模试卷(文科)(附答案详解)

2021年河南省实验中学高考数学四模试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|1<x<5}，则A∩B=()
A. {x|−4<x<5}
B. {x|−1≤x≤4}
C. {x|1<x≤4}
D. {x|−1≤x<5}
2.若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则()
A. “m//β”是“α//β”的充分不必要条件
B. “m//β”是“α//β”的必要不充分条件
C. “m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件
D. “m⊥β”是“α⊥β”的充要条件
3.在平面直角坐标系中，不等式组{x+y−1≥0
x−y+1≥0
x≤1
，所表示的平面区域的面积是()
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1
2
4.函数f(x)=2x
e x+e−x
的部分图象大致为()
A. B.
C. D.
5.执行如图所示的程序框图，若输入的N=10，则输出的X=
()
A. 1
32
B. 1
21
C. 1
19
6.已知3x=2y=t，且1
x +1
y
=2，则t=()
A. 2√6
B. √6
C. 36
D. 6
7.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=15，且a1，a2，a3+1成等比数列，则
()
A. a1=0，S10=45
B. a1=0，S10=90
C. a1=1，S10=100
D. a1=1，S10=55
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示.现将函数f(x)图象上的所有
点向右平移π
4
个单位长度后，横坐标再缩短到原来的
1
2
倍得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为
()
A. g(x)=2sin(1
2x−π
4
)
B. g(x)=2sin(4x+π
4
)
C. g(x)=2sin(1
2x+π
4
)
D. g(x)=2sin(4x−π
4
)
9.已知过点(0,2)的直线l与圆心为C的圆(x−2)2+(y−1)2=10相交于A，B两点，
当△ABC面积最大时，直线l的方程为()
A. 2x−y+2=0
B. 2x−y+2=0或2x+y−2=0
C. x=0
D. x=0或2x+y−2=0
10.如图，已知等边△ABC与等边△ABD所在平面成锐
二面角的大小为π
3
，E，F分别为AB，AD中点，则
异面直线EF与CD所成角的余弦值为()
A. 2√3
3
B. √3
2
D. 4√33
11. 已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A ，B 满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的横坐标
为( )
A. 1
B. 4
3
C. 2
D. 3
12. 已知函数f(x)={x ⋅e x ,x ≥0
−x ⋅e x
,x <0
，如果关于x 的方程[f(x)]2+t ⋅f(x)+1=0(t ∈R)有四个不等的实数根，则t 的取值范围( )
A. (−∞,−e −1
e )
B. (−e −1
e ,−2)
C. (2,e +1
e )
D. (e +1
e ,+∞)
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 复数z 满足|z +i|=1，且z +z −
=2，则z = ______ ．
14. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且b =3，a −c =2，A =
2π3
.则
△ABC 的面积为______ ．
15. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=3，且|a ⃗ −b ⃗ |=2，则|a ⃗ +2b ⃗ |= ______ ． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分） 16. 将正奇数按如图所示的规律排列：
则2021在第 行，从左向右第 个数． 四、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n −1．
(Ⅰ)求{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
18.某校食堂按月订购一种螺蛳粉，每天进货量相同，进货成本每碗6元，售价每碗
10元，未售出的螺蛳粉降价处理，以每碗5元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为200碗；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300碗；如果最高气温低于20，需求量为500碗.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)
天数472536162
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗的概率；
(2)设六月份一天销售这种螺蛳粉的利润为Y(单位：元)，当六月份这种螺蛳粉一天
的进货量为450碗时，写出Y的所有可能值，并估计Y的平均值(即加权平均数)．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABGCD，EF//AB，AB=2，
DE=3，BC=EF=1，AE=√6，∠BAD=60°，G为BC的中点．
(1)求证：平面BED⊥平面AED；
(2)求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
20. 已知函数f(x)=(x 2−1)e x ，其中a ∈R ．
(1)求函数f(x)在x =0处的切线方程；
(2)∀x ≥0，f(x)≥ax −1，求实数a 的取值范围．
21. 已知椭圆E ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上的点到焦点F 1的距离的最小值为√5−1，以椭圆E 的短轴为直径的圆过点(2,0)． (1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若过F 2的直线交椭圆E 于A 、B 两点，过F 1的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的取值范围．
22. 已知曲线C 的参数方程为{x =t 2−4
t 2+4
y =8t
t 2+4
(t 为参数)． (1)求曲线C 的普通方程；
(2)过点P(0,1)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的取值范围．
23.设函数f(x)=|2x+1|+|2x−1|．
(1)求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若f(x)的最小值是m，a>0，b>0，且a+b=m，求1
a +9
b
的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|−1≤x≤4}，B={x|1<x<5}，
∴A∩B={x|1<x≤4}．
故选：C．
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为m为平面α内一条直线，m//β，所以α//β或α与β相交，
故“m//β”不能推出“α//β”，
而α//β，则两平面没有公共点，而m为平面α内一条直线，所以m//β，
所以“α//β”可以推出“m//β”，
所以“m//β”是“α//β”的必要不充分条件，故A不正确，B正确；
根据面面垂直的判定可知，m为平面α内一条直线，“m⊥β”可以推出“α⊥β”，
但“α⊥β”不能推出“m⊥β”，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故C、D不正确．
故选：B．
根据两平行平面其中一个平面内的任意一直线平行于另一个平面，以及面面垂直的判定定理，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及线面位置关系、面面平行和面面垂直的判定定理等，同时考查了推理能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，
由图可知，A(1,0)，C(0,1)， 联立{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)，
∴平面区域的面积S =1
2×2×1=1． 故选：C ．
由约束条件作出可行域，求出三角形三个顶点的坐标，再由三角形面积公式求解． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
4.【答案】A
【解析】解：∵f(−x)=−2x
e −x +e x =−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项B 和C ， 当x →+∞时，e x 比x 增长的快，∴f(x)→0，排除选项D ， 故选：A ．
先判断函数的奇偶性，再考虑x →+∞时，f(x)的取值情况，即可作出选择． 本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：模拟程序的运行，可得 X =1
3，n =2 X =15，n =3 X =17，n =4
…
X =121，n =11>N ，
故输出的X =1
21． 故选：B ．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量X 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵3x =2y =t ，∴x =log 3t ，y =log 2t ， 又1
x +1
y =2， ∴
1log 3t +
1log 2t
=log t 3+log t 2=log t 6=2，则t =√6．
故选：B ．
化指数式为对数式可得x ，y ，代入1
x +1
y =2，再由对数的运算性质求解t ． 本题考查有理指数幂的运算，考查指数式与对数式的互化，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5=15，且a 1，a 2，a 3+1成等比数列， 得{5a 1+5×4
2d =15(a 1+d)2=a 1(a 1+2d +1)，即{a 1+2d =3a 1=d 2， 解得：{a 1=1d =1或{a 1=9d =−3．
结合选项可知，a 1=1，则d =1， ∴S 10=10×1+10×9×1
2
=55．
故选：D ．
设等差数列{a n }的公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则S 10可求，答案可求．
本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，考查等比数列的性质，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx +φ)的部分图象知，A =2，
T 4
=
5π8
−
3π8
=π4
，解得T =π，所以ω=2πT
=2，
又f(5π8)=2sin(5π
4+φ)=−2，即sin(5π
4+φ)=−1，解得5π
4+φ=3π2
+2kπ，k ∈Z ，
所以φ=π
4+2kπ，k ∈Z ， 又|φ|<π
2，解得φ=π
4， 所以f(x)=2sin(2x +π
4)，
将函数f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位长度，得y =f(x −π4)=2sin(2x −π
4)， 横坐标再缩短到原来的1
2倍，得y =2sin(4x −π
4)的图象， 则函数g(x)=2sin(4x −π4). 故选：D ．
由函数f(x)的部分图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f(x)的解析式，再利用图象平移变换求得函数g(x)的解析式．
本题考查了三角函数关系式的恒等变换以及函数图象的平移变换与函数解析式的应用问题，是基础题．
9.【答案】A
【解析】解：当△ABC 的面积最大时，CA ⊥CB ， ∵圆C ：(x −2)2+(y −1)2=10的半径为√10， ∴圆心C 到AB 的距离d =√5， 当直线斜率不存在时，不合题意；
故直线斜率存在，设直线方程为y =kx +2，即kx −y +2=0． C(2,1)到直线kx −y +2=0的距离d =√k 2+1
=√5，
解得k =2．
∴当△ABC 的面积最大时直线l 的方程为y =2x +2， 即2x −y +2=0， 故选：A ．
当△ABC 的面积最大时，CA ⊥CB ，求出圆心到直线的距离，分析可知直线的斜率存在，设出直线方程，再由点到直线的距离公式列式求解斜率，则直线方程可求．
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是
中档题．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接CE ，DE ，
因为△ABC 与△ABD 都是等边三角形，E 为AB 中点， 所以CE ⊥AB ，DE ⊥AB ，
所以∠CED 即为平面ABC 与平面ABD 所成二面角的平面角， 所以∠CED =π
3，因为CE =DE ， 所以△CED 为等边三角形，
设BC =2，则CE =DE =CD =√3，
因为E ，F 分别为AB ，AD 中点，所以EF//BD ， 所以异面直线EF 与CD 所成角为∠BDC 或其补角， 在△BCD 中，由余弦定理可得cos∠BDC =
BD 2+CD 2−BC 2
2BD⋅CD
=4+3−4
2×2×
√
3
=√3
4
． 即异面直线EF 与CD 所成角的余弦值为√3
4
．
故选：C ．
由E ，F 分别为AB ，AD 中点，可得EF//BD ，从而可得异面直线EF 与CD 所成角为∠BDC 或其补角，再利用余弦定理即可求解．
本题主要考查异面直线所成的角的求法，余弦定理，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为：y =k(x −1)， 联立方程组{y =k(x −1)y 2=4x ，消元得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2=1． ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F(1,0)， ∴1−x 1=3(x 2−1)，
解方程组{x 1x 2=11−x 1=3(x 2−1)，可得x 1=3，x 2=13，
故选：D ．
设直线AB 斜率为k ，联立方程组，根据根与系数的关系得出A ，B 两点横坐标的关系，结合AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 求出A ，B 两点的横坐标即可．
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：函数f(x)={x ⋅e x ,x ≥0
−x ⋅e x ,x <0，
当x ≥0时，f(x)=xe x ，则f′(x)=e x (x +1)>0，
故f(x)在[0,+∞)上单调递增， 当x <0时，f(x)=−xe x ，所以f′(x)=−e x (x +1)，
所以f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减，且f(−1)=1
e ， 作出函数f(x)的图象如图所示， 令f(x)=m ，由图象可知，
当m =1
e 时，f(x)与y =m 有两个交点， 当m >1
e 或m =0时，f(x)与y =m 有1个交点， 当0<m <1
e 时，f(x)与y =m 有3个交点， 当m <0时，f(x)与y =m 没有交点，
因为[f(x)]2+t ⋅f(x)+1=0(t ∈R)有四个不等的实数根， 则方程m 2+tm +1=0有两个不同的实数根，m 1<m 2， 因为m 1m 2=1，m 1+m 2=−t ，所以m 1≠0， 所以m 1∈(0,1e ),m 2∈(1e ,+∞)，且m 2=1
m 1
，
所以m 1+m 2=m 1+1m 1
，m 1∈(0,1
e )，
设g(x)=x +1x ，x ∈(0,1e )，则g′(x)=1−1
x 2<0， 所以g(x)在(0,1
e )上单调递减， 则g(x)>g(1
e )=e +1
e ， 故−t >e +1e ， 所以t <−e −1e ． 故选：A ．
根据分段函数的解析式，利用导数研究函数f(x)的性质，作出函数f(x)的图象，将方程有四个不等的实数根转化为方程m 2+tm +1=0有两个不同的实数根进行求解，进一步得到t 的取值范围．
本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解)，属于中档题．
13.【答案】1−i
【解析】解：设复数z =a +bi ，z +z −
=a +bi +a −bi =2a =2，解得a =1， 又z +i =a +(b +1)i =1+(b +1)i ，且|z +i|=1， 所以√1+(b +1)2=1，解得b =−1， 所以z =1−i ． 故答案为：1−i ．
利用待定系数法设出复数z =a +bi ，然后由已知条件列出等式，求解即可． 本题考查了复数的求解，主要考查了待定系数法求复数的应用，属于基础题．
14.【答案】15√3
4
【解析】解：由已知得{b =3a −c =2a 2=b 2+c 2
−2bccos 2π3， 将前两个式子代入第三个式子后解得：c =5，a =7． 故S △ABC =1
2bcsinA =1
2×3×5×sin
2π3
=
15√34
．
故答案为：
15√3
4． 结合余弦定理列出关于a ，b ，c 的方程组，求出c ，套用面积公式计算即可； 本题考查正余弦定理以及面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】7
【解析】解：根据题意，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=3，且|a ⃗ −b ⃗ |=2，
则有|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2
+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =10−2a ⃗ ⋅b ⃗ =4，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =3， 则|a ⃗ +2b ⃗ |2=a ⃗ 2+4b ⃗ 2
+4a ⃗ ⋅b ⃗ =49，
故|a⃗+2b⃗ |=7，
故答案为：7．
根据题意，对|a⃗−b⃗ |=2变形可得a⃗⋅b⃗ 的值，又由|a⃗+2b⃗ |2=a⃗2+4b⃗ 2+4a⃗⋅b⃗ ，计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
16.【答案】32
50
【解析】解：由题意知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，…第n行有2n−1个奇数，
则前n行共有正奇数1+3+5+⋯+2n−1=n2个，
所以第n行的最后一个正奇数为2n2−1，
当n=31时，第31行的最后一个正奇数为1921
当n=32时，第32行的最后一个正奇数为2047，
所以2021在第32行，
前31行共有312=961个正奇数，2021是第1011个正奇数，
1011−961=50，
所以2021在第32行，从左向右第50个数．
首先根据正奇数的排列规律，第一行有1个正奇数，第二行有3个正奇数，…第n行有2n−1个正奇数，利用等差数列的求和公式，求出前n行一共有多少个正奇数，然后根据第n个正奇数a n=2n−1(n=1、2、3…)解答即可．
本题从观察数阵的排列规律，考查了数列的求和应用问题；解题时，关键是发现规律并应用所学知识，来解答问题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵S n=2n−1，
∴当n=1时，有S1=2−1=1=a1，
当n≥2时，有a n=S n−S n−1=2n−2n−1=2n−1，
综上，a n=2n−1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：b n=n×2n−1，
∴T n=1+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，
又2T n=1×21+2×22+⋯+(n−1)⋅2n−1+n×2n，
两式相减得：−T n =1+2+22+⋯+2n−1
−n ×2n
=
1−2n 1−2
−n ×2n ，
整理得：T n =(n −1)⋅2n +1．
【解析】(Ⅰ)由题设利用a n ={S 1,n =1
S n −S n−1,n ≥2求得结果即可；
(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得b n ，再利用错位相减法求得其前n 项和．
本题主要考查数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设六月份这种螺蛳粉一天的需求量不超过300碗为事件A ，
P(A)=4+7
4+7+25+36+16+2=11
90；
(2)当一天需求量为200碗时，Y =−450×6+200×10+(450−200)×5=550元， 当一天需求量为300碗时，Y =−450×6+300×10+(450−300)×5=1050元， 当一天需求量为500碗时，Y =−450×6+450×10=1800元， 所以Y 的所有可能值为550，1050，1800； P(Y =550)=
36+16+2
90=35，P(Y =1050)=2590=518
，P(Y =1800)=
4+790
=11
90，
所以E(Y)=3
5×550+5
18×1050+11
90×1800=841.7元．
【解析】(1)根据需求量不超过300碗的天数即为温度低于20℃的天数，结合概率公式可求出所求；
(2)分别求出销售这种螺蛳粉200碗、300碗、500碗的利润Y ，然后分别求出相应的概率，最后利用求解数学期望的公式进行求解．
本题主要考查了概率问题，以及数学期望，同时考查了分析问题和运算求解的能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：在△ABD 中，AD =1，
AB =2，∠BAD =60°， 由余弦定理可得BD =
√AD 2+AB 2−2AD ⋅AB ⋅cos60°=√3， 所以AD 2+BD 2=AB 2，故BD ⊥AD ， 又因为平面AED ⊥平面ABCD ，平面AED ∩平面ABCD =AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面AED ， 又因为BD ⊂平面BED ，
所以平面BED⊥平面AED；
(2)解：因为EF//AB，
所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，如图所示，
又平面BED∩平面AED=ED，
由(1)可知，AH⊥平面BED，
所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，
在△ADE中，AD=1，DE=3，AE=√6，
由余弦定理可得，cos∠ADE=AD2+DE2−AE2
2AD⋅DE =2
3
，
所以sin∠ADE=√5
3
，
故AH=AD⋅√5
3=√5
3
，
在Rt△AHB中，sin∠ABH=AH
AB =√5
6
，
故直线EF与平面BED所成角的正弦值为√5
6
．
【解析】(1)在△ABD中，由余弦定理求BD，由勾股定理得到BD⊥AD，利用面面垂直的性质定理可证BD⊥平面AED，结合面面垂直的判定定理证明即可；
(2)过点A作AH⊥DE于点H，连结BH，利用面面垂直的性质定理可证AH⊥平面BED，由线面角的定义得到直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在三角形中利用边角关系求解即可．
本题考查了面面垂直的判定定理的应用以及线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由f(x)=(x2−1)e x，得f′(x)=(x2+2x−1)e x，
∴f′(0)=−1，又f(0)=−1，
∴函数f(x)在x=0处的切线方程为y+1=−x，即x+y+1=0；
(2)x=0时，不等式f(x)≥ax−1为−1≥−1，对任意实数a都成立；
x>0时，不等式化为f(x)−ax+1≥0，令g(x)=f(x)−ax+1，
则g′(x)=f′(x)−a，由f′(x)=(x2+2x−1)e x，
令ℎ(x)=(x2+2x−1)e x，ℎ′(x)=(x2+4x+1)e x>0，
∴ℎ(x)即f′(x)在(0,+∞)上单调递增，f′(x)>f′(0)=−1，
∴g′(x)>g′(0)=−1−a，
若−1−a≥0，即a≤−1，则g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，不等式f(x)−ax+1≥0成立；
若a>−1，由上讨论可知，存在x0>0，使得g′(x0)=0，且当0<x<x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x>x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=g(x0)，
而g(0)=0，因此，0<x<x0时，g(x)<g(0)=0，g(x)≥0不成立．
综上，a≤−1．
【解析】(1)求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，再求出f(0)的值，可得函数f(x)在x=0处的切线方程；
(2)分析可知，x=0时不等式f(x)≥ax−1为−1≥−1，对任意实数a都成立；x>0时，不等式化为f(x)−ax+1≥0，令g(x)=f(x)−ax+1，利用导数求最值，可得a≤−1，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，不等式f(x)−ax+1≥0成立；当a>−1时，存在x0>0，当0<x<x0时，g(x)单调递减，当x>x0时，g(x)单调递增，g(x)min= g(x0)，结合g(0)=0，可得0<x<x0时，g(x)<g(0)=0，g(x)≥0不成立，由此可得a的范围．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知，b=2，a−c=
√5−1，
又a2=b2+c2，解得a=√5，c=1，
所以椭圆的标准方程为：x2
5+y2
4
=1；
(2)设四边形ACBD的面积为S，则S=1
2
|AB|⋅|CD|，
①当AB⊥x轴时，|AB|=2b2
a ，|CD|=2a，所以S=1
2
×2 b2
a
×2a=2b2=8，
②当CD⊥x轴时，|CD|=2 b2
a ，|AB|=2a，所以S=1
2
×2 a×2b2
a
=2b2=8，
③当AB与CD都不与x轴垂直时，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为−1
k
，
则设直线AB 的方程为：y =k(x −1)，联立方程{y =k(x −1)
x 25
+y 24
=1
，
消去y 整理可得：(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0， 所以x 1+x 2=
10k 24+5k
2,x 1x 2=
5k 2−204+5k 2
，
所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√320(1+k 2
)4+5k 2=8√5(1+k 2
)
4+5k 2
(∗)， 过F 2做直线CD 的平行线和椭圆E 交于点C 1，D 1，由对称性知|C 1D 1|=|CD|， 在(∗)中的k 换成−1
k ，得|C 1D 1|=8√5(1+1
k
2)
4+
5k 2=
8√5(1+k 2)
5+4k 2
， 所以|CD|=
8√5(1+k 2)
5+4k 2
， 所以S =1
2|B||CD|=12⋅8√5(1+k 2)5+4k 2⋅8√5(1+k 2)5k 2+4=160(1+k 2)2
(4+5k 2)(5+4k 2)，
令t =1+k 2，则t >1，
所以S =160t 2(5t−1)(4t+1)=160t 2
20t +t−1=160
−(1t
)2+1t
+20，
令u =1
t ，则u ∈(0,1)，所以S =160−u 2+u+20=160
−(u−12
)2+814
，
因为−(u −12)2+
814
∈(20,814
]，所以S ∈[
64081
,8)
所以四边形ACBD 面积的取值范围[640
81,8)．
【解析】(1)由题意可得b 的值，和到左焦点的距离的最小值可得a ，c 的关系，再由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的标准方程；
(2)设直线AB 的方程，由题意可得直线CD 的方程，取过右焦点平行于CD 的直线C 1D 1的方程，由椭圆的对称性可得|CD|=|C 1D 1|，将直线AB ，C 1D 1的方程分别与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|AB|，|C 1D 1|的值，代入四边形的面积公式，设函数，由函数的单调性可得面积的取值范围．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，换元法求函数的值域，属于中难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =t 2−4
t 2+4y =8t t 2+4，消去参数t ，可得x 2+y 24
=1(除不除x =1均可)，
(2)直线l ：{x =tcosα
y =1+tsinα(α为倾斜角)代入曲线C 得：(1+3cos 2α)⋅t 2+2sinα⋅t −3=0
设两根为t 1，t 2，|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=3
1+3cos 2α 故|PA|⋅|PB|∈[3
4,3]．
【解析】(1)曲线C 的参数方程为{x =t 2−4
t 2
+4
y =8t
t 2+4，消去参数t ，可得曲线C 的普通方程； (2)直线l 与曲线C 联立得：(1+3cos 2α)⋅t 2+2sinα⋅t −3=0，利用参数的几何意义，即可求|PA|⋅|PB|的取值范围．
本题考查椭圆的参数方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用参数的几何意义是关键．
23.【答案】解：(1)f(x)=|2x +1|+|2x −1|={
−4x,x <−1
2
2,−12≤x ≤1
24x,x >1
2，
因为f(x)≥6，所以{x <−1
2−4x ≥6或{−1
2≤x ≤1
22≥6或{x >1
2
4x ≥6，
解得x ≤−3
2或x ≥3
2，
故不等式f(x)≥6的解集为(−∞,−3
2]∪[3
2,+∞)．
(2)由(1)可知f(x)的最小值为2，即m =2，所以a +b =2， 则1
a +9
b =12(1
a +9
b )(a +b)=12(b
a +9a
b +10)≥1
2
×(6+10)=8，
当且仅当b
a =
9a
b
，即a =1
2，b =3
2时等号成立， 故1
a +9
b 的最小值为8．
【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；
(2)由(1)可知a +b =2，然后利用乘“1”法及基本不等式求出1
a +9
b 的最小值． 本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了转化思想与运算求解能力，属于中档题．。