(完整word)北师大版(新课标)高中数学必修2期末试卷

、选择题
数学必修2模块综合检测题
1若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（)
•
A .平面内所有的直线都与a异面
B .平面内不存在与a平行的直线
C .平面内所有的直线都与a相交
D .直线a与平面有公共点
2.若棱台的上下底面面积分别为
A. 26
B. 28
4,16 ,
C. 30
高为3，则该棱台的体积为（
D. 32
).
3.直线2y 0关于直线1对称的直线方程是（).
A.2y
B.2x y 1 0
c.2x D.x 2y 3 0
4.已知两个平面垂直，现有下列命题:
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（).
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
5.圆X2
2
y 25截直
线
4x 3y20所得弦的垂直平分线方程是（）. 3344
A . y x B. y x C . y x D . y x
4433
6 .点P为ABC所在平面外一点，PO丄平面ABC , 垂足为O，若PA PB
则点0是ABC的（).
A .内心B.外心 C .重心 D .垂心
7.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ）,则该几何体的表面积及
PC,
2 2
A. 24 cm , 12 cm
2 2
C. 24 cm , 36 cm
2 2
B. 15 cm , 12 cm D. 以上都不正确
&直线l与两直线y 1和x y 7 0分别交于代B两点，若线段AB的中点为
M （1, 1），则直线1的斜率为（).
3 2 32
A. B . C . D . -
2 3 23
9.正方体的内切球和外接球的半径之比
( )
为
A . 3:1
B .3:2 C. 2: .3 D . '一3:3
10.当变化时，直线xcos ysin 6所具有的性质是（）.
A .斜率不变
B .恒过定点C.与定圆相切 D .不能确定
11.已知点A（ 1,3）, B（3,1），点C在坐标轴上，且ACB 90°，则满足条件的点C的个
数是（）.
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
12.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（）.
A■評B-护C-評D -护
二、填空题
13.与直线7x 24y 5平行，并且距离等于3的直线方程是 ___________________ .
14.直线2x y 1 0被圆x2y22y 1 0所截得的弦长为 ________________________________ .
15. 一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的
全面积是________________ .
16.将边长为2 ,锐角为60o的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E、F
分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是 ________________ （将正确的命题序号全填上）.
①EF //AB :②EF是异面直线AC与BD的公垂线；
③当四面体ABCD的体积最大时，AC .6 ；
④AC垂直于截面BDE
、解答题
B(2,2)，点P 在直线y 1x 上，求| PA 2 PB 2取得最小值
时P 点的坐标.
线的方程为y 0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标.
20.如图所示，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA 平面ABCD , M 、N 分 别是AB 、
PC 的中点，PA AO a .
(1) 求证：MN //平面PAD ；
(2) 求证：平面 PMC 丄平面PCD .
22.已知 BCD 中，BCD 90°, BC CD 1 , AB
平面 BCD , ADB 60°, E 、F
分别是AC 、AD 上的动点，且
AE AF
(0 1):
AC AD
(1)求证：不论 为何值，总有平面 BE
F
平面 ABC ;
(2)当 为何值时，平面 BEF 平面ACD ?17.已知点 A(1,1),
18.如图，在四边形
ABCD 中，DAB
90°,
ADC 135°, AB 5, CD Z 2 ,
AD 2，求四边形 ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
19.在
ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为 x 2y 1 0, A 的平分线所在直
21.已知圆的方程是(x a)2 (y b)2
r 2，求经过圆上一点 M (x 。

，y 。

)的切线方程.
C
F
13. 7x 24 y 70 0,或 7x 24y 80 0 ,
答案与解析 一、选择题
1. D 根据直线与平面的位置关系分直线在平面内和直线在平面外两种情况.
2. B V -（S 、SS ' S '）h - （4
,4 16 16） 3 28.
3 3
3. D
设所求直线上任一点（x, y ），则它关于x 1对称点为（2 x,y ）, 在直线x 2y 1
0上,2 x 2y 1 0化简得x 2y 3 0.
C ①③错误，比如两面交线，就不满足条件；④错误，所作的直线不在其中任一个平 面内时，②是
正确的.
5. B 弦的垂直平分线过圆心 （0,0），且斜率为
6. B 由勾定理知，OA OB OC .
1 2
V — 3 4 12
3
& D A( 2,1), B(4, 3).
9. D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是
a ,
2 2
10. C 原点（0,0）到直线xcos ysin 6的距离为6，即与定圆x y 36相切. 11. C 点C 在坐标轴上，可有两种情况，即在
x 轴或y 轴上，点C 的坐标可设为（x,0）或
（y,0）.由题意， ACB 90o ，直线AC 与直线BC 垂直，其斜率乘积为 1，可分别
求得x 0或2 , y 0或4，所以满足条件的点的坐标为 （0,0） , （2,0） , （0,4）.
12. D 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高h 2r ,
4. ；，即方程为y
7. A 此几何体是个圆锥,
r 3,
l 5,h 4,S 表面
32
3
3a :
2 ,r 内切球：
r
外接球
a 2r
内切球
，r 内切球
2
2r
外接球
，r 外接球
而S 2 rh 4 r2r J J-r 2h 、填空题
13. 7x 24 y 70 0,或7x 24y 80 0 ,
2
18
•解：s 表面 窃台底面 磊台侧面 %锥侧面
三、解答题
17•解：设 P(2t,t),
设直线为 7x 24y c 0,d 3,c 70,或 80 •
2.30 14. 5
圆心为(0,1)，则圆心到直线2x 2 —
y 1
0的距离为 ，半径为-、2
75
得弦长的一半为 空，即弦长为
5
2.30 5
10 15. Q 9 S 全 R 2 2 3 16.②③④ R 3 R 2 h,h 2R,S 2 R 2
3
R
AD 的中点 G,连结 GF ,贝U GF // AB ① 错误，取 过F 有且只有一条直线和 AB 平行； ② 连结 AF 、CF ,贝U AF 丄BD , CF 丄BD , • B D 丄面 ACF , EF 面 ACF • B D 丄 EF , 又E 为AC 的中点，AF=CF , • E F 丄 AC • EF 是异面直线 AC 与BD 的公垂线; ③设AC x ,则EF 3 1 1 V
3SVACFgBD =
3 1
g ( 2®
x 2
-x 3 x 2，即 x
2
④由②知，BD 丄面 • AC 垂直于截面 当且仅当 V 最大.
ACF , AC BDE •
AC 丄 EF ,
则 PA 2 PB
(2t 1)2 (t 1)2 (2t
2)2 (t
2)2 10t 2 14t 10 ,
110 时，PA 2
PB 取得最小值，即 P 氏).
25( , 2 1)
19. 20. 52 解：解直线 …k AC
解得a
(2 5) 3.2
2、2
V 圆台 V
圆锥
1 3 148 ~3
x 2y k
AB
1
r 2h
0和直线
又:x 轴为
又•••直
线x
2，设C 的坐标为（a,b ）,
0的交点得（1,0），即匸的坐标为（1,0）,
BAC 的平分线，
2y 1
0为BC 边上的高，由垂直得,
5, b 6 ，即C 的坐标为
(5, 6).
证明：如答图所示，⑴设 PD 的中点为
1
由N 为PD 的中点知EN // 2DC ,
2
E ,连结AE 、 NE
又 ABCD 是矩形，二 DC // AB , /
EN // 1 AB 2
又M 是AB 的中点，••• EN // AN , •AMNE 是平行四边形, • MN // AE ，而 AE • MN // 平面 PAD . ⑵ •••
PA A D ,• AE PD
又 ••• PA 平面 ABCD ,
CD 平面ABCD , CD PA , 而CD AD ,
• CD 平面 PAD ,
CD AE
,
•/
PDI
CD D ,
•
AE 平面PCD ,
MN//
AE
, • MN 平面 PCD ,
又
MN 平面
PMC ,
平面PAD , NM
平面PAD
•平面PMC 平面PCD .
21.解：设C 为圆心，切线的斜率为
k ,半径CM 的斜率为k 1 ,
因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是
ki
，
心,• k
X o a
X
o -，经过点
y o b
M 的切线方程是
y o X o a y o
(x X o ),
整理得（x 0 a ）（x a ） (y o b)(y b)
(x o a)2 (y o
b)2 ,
••• M (X o , y o )在圆上,
2 2
• (x o a) (y o b)
所求切线方程（x o a ）（x
a) (y o b)(y b) r 2 . 当MC 与坐标轴平行时，可以验证上面的方程同样适用. 22、证明：（1）V AB • AB •/ CD • CD
AE (2) 由
• BE 平面BCD , CD , BC 且 AB I BC B , 平面ABC ,
AF 又•••—— AC AD 为何值，恒有 平面ABC , 为何值恒有平面 BEF 丄平面ABC . BE EF ，又平面BEF 丄平面ACD •不论 • EF •不论 (1)知,
(o
1)，
EF//CD ,
EF 平面BEF , 平面 ACD , • BE AC . •/ BC CD 1 , BCD 90o , ADB 60o ,
••• BD
■■j 2, AB ■■<2 tan 6o 6,
.AB~BC 2
.7,由 AB 2
AE AC ，得 AE
6 7,
AE AC
故当
6
6
时，平面BEF 平面ACD .
7
备用题 1•如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 形，那么原平面图形的面积是（ ）
4止,腰和上底均为1的等腰梯
2 2
1 <2
B .
2 <2
C .
2
1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 60°,
则圆台的侧面积为
6
画出圆台，贝V r 1
1,r 2
2,1
2,S
圆台侧面
⑴ D )l 6 .
若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为
3,4,5，从长方体的一条对角线的一个
端点出发，沿表面运动到另一个端点，其最短路程是 ________________
. ■ 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发
，沿表面运动到另一个端点，有两种方案
42 (3 5)2 80,或；52 (3 4)2 .74 .
如图，棱长为a 的正方体ABCD A ]B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点， (1) 求证：E 、F 、B D 四点共面；
(2) 求四边形EFBD 的面积.
A .
1.
2. A . 2.
3. 3.
4. 4.
5.
5.
A
恢复后的原图形为一直角梯形
有一个几何体的三视图如下图所示, 棱台 B .棱锥 S -(1
2 1)
2
这个几何体应是一个 C .棱柱 主视图
左视图 (
)
A 从俯视图来看，上、
F 底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台
圆台的较小底面半径为 (1)证明: 如答图所示，连结B 1D 1，在△ C 1B 1D 1中,
C1E EB1, C1F FD1,
1
二EF 〃B1D1，且EF - B1D1，又AJA II B1B , A1A// D1D ,
2 2
2
由两点式可得直线l 的方程为8x y 24 0 •
二B i B // D i D ,•••四边形BBQ i D 是平行四边形. ••• B 1D//BD , EF // BD , • E 、F 、D 、B 四点共面. (2)由 AB a ，知 BD B 1D 1 2a , EF
DF BE /BB__BE 7
四边形的面积为
6•过点P(3,0)作直线l , AB 恰好被P 点平分，求直线I 的方程.
6•解：设A 点坐标(x i ,y i ) , ■■-线段AB 的中点为 P(3,0),
由中点公式，可设 B 点坐标为(6 x1, %)
■' A , B 两点分别在直线2x y 2 0和x y 3 0上,
2为 y 1 2 0 6 ,解得为 ,y 1 (6 xj (yj 3 0 3 3
过F 作FH DB 于H ，则DH DB EF • FH DF lDH 2 5a 2ja 2
18a 2
1 S EFBD 2(EF BD) FH 1(厶
2 2 1 3「2
2 2
使它被两相交直线 2x
y 3 0所截得的线段。