潍坊市五中八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(答案解析)

一、选择题
1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）
A ．75︒
B ．57︒
C ．55︒
D ．77︒
2．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm
3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）
A ．m ＝2n
B ．2m ＝n
C ．m ＝n
D ．m ＝－n 4．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的
条件是（ ）
A ．AB=EF
B ．AC=DF
C ．∠B=∠E
D ．CB=D
E 5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒
6．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
7．下列说法正确的是（ ）
A ．两个长方形是全等图形
B ．形状相同的两个三角形全等
C ．两个全等图形面积一定相等
D ．所有的等边三角形都是全等三角形 8．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且D
E 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9．如图，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A ．BD ＋ED ＝BC
B ．∠B ＝2∠DA
C C ．A
D 平分∠EDC D ．ED ＋AC >AD
10．如图，在ABC 和△FED 中，AD FC =，AB FE =，下列条件中不能证明F ABC ED ≌△△的是（ ）
A ．BC ED =
B ．A F ∠=∠
C ．B E ∠=∠
D ．//AB EF 11．如图，AC 与DB 相交于
E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B = B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC = 12．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD A
E 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b
二、填空题
13．如图，把等腰直角三角板放平面直角坐标系内，已知直角顶点C 的坐标为()0,3，另一个顶点B 的坐标为()8,8，则点A 的坐标为____________
14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．
15．已知70COB ∠=，30AOB ∠=，OD 平分AOC ∠，则BOD ∠=_________ 16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．
17．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，
AD AC =，DE AB ⊥，交BC 于点E ．若26B ∠=︒，则AEC ∠=______︒．
18．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．
19．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．
20．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：
①120EDF ∠=︒；
②DM 平分EDF ∠；
③DE DF AD +=；
④2AB AC AE +>；
其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．
三、解答题
21．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．
22．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．
23．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；
（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．
24．按要求作图
（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）
（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
25．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长，交BC 于点F ．
（1）求证：DE EF =．
（2）若12AD =，:2:3BF CF =，求BC 的长．
26．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出
∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB ∥CD ，
∴MN ⊥CD ，
∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，
∴OM ＝OE ＝3cm ，
∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，
∴ON ＝OE ＝3cm ，
∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，
即AB 与CD 之间的距离是6cm ，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
3．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．
【详解】
解：∵由题意可知，点C 在∠AOB 的平分线上，∴m=-n ．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 4．B
解析：B
【分析】
根据AAS 定理或ASA 定理即可得．
【详解】
在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，
∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，
即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，
观察四个选项可知，只有选项B 符合，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 5．C
解析：C
【分析】
先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA 是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A ，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B ，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C ，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA 或AAS 判定全等，故本选项正确；
D ，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．
7．C
解析：C
【分析】
性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】
A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠EAD=90°，
∴∠EAD=30°，
∵∠AED=90°，∴DA=BD=2DE，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=3，∴DA=BD=6，
∴BC=BD+CD=6+3=9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
利用角平分线的性质定理判断A；利用直角三角形两锐角互余判断B；证明
△AED≌△ACD，由此判断C；利用三角形三边关系得到AC+CD>AD，由此判断D．
【详解】
∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，
∴DE=DC ，∠BAD=∠DAC ，
∵BD+DC=BC ，
∴BD+ED=BC ，故A 正确；
∵∠C=90︒，
∴∠B+∠BAC=90︒，
∴∠B+2∠DAC=90︒，故B 错误；
∵DE ⊥AB ，
∴∠AED=∠C=90︒,
又∵∠BAD=∠DAC ，DE=CD ，
∴△AED ≌△ACD ，
∴∠ADE=∠ADC ，
∴AD 平分∠EDC ，故C 正确；
在△ACD 中，AC+CD>AD ，
∴ED ＋AC >AD ，故D 正确；
故选：B ．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系，角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
由AD FC =推出AC=FD ，根据已知AB FE =添加夹角相等或第三边相等即可判定．
【详解】
∵AD FC =，
∴AC=FD ，
∵AB FE =，
∴当A F ∠=∠（//AB EF 也可得到）或BC ED =时，即可判定F ABC ED ≌△△， 故B E ∠=∠不能判定F ABC ED ≌△△，
故选：C ．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，
∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，
故选：D．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．12．B
解析：B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是BAC
∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△CEF ≌△CED （AAS ）
∴CE=CF ，
∴四边形ABDC 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b +，
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题
13．（5－5）【分析】根据余角的性质可得∠BCP=∠CAQ 根据全等三角形的判定与性质可得AQCQ 根据线段的和差可得OQ 可得答案【详解】解：作BP ⊥y 轴AQ ⊥y 轴如图∴∠BPC=∠AQC=90°∵BC=A
解析：（5，－5）
【分析】
根据余角的性质，可得∠BCP=∠CAQ ，根据全等三角形的判定与性质，可得AQ ，CQ ，根据线段的和差，可得OQ ，可得答案．
【详解】
解：作BP ⊥y 轴，AQ ⊥y 轴，如图，
∴∠BPC=∠AQC=90°
∵BC=AC ，∠BCA=90°，
∴∠BCP+∠ACQ=90°．
又∠CAQ+∠ACQ=90°
∴∠BCP=∠CAQ ．
在△BPC 和△CQA 中，
BPC CQA BCP CAQ BC AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ Rt △BPC ≌Rt △ACQ （AAS ），
AQ=PC=8-3=5；CQ=BP=8．
∵QO=QC-CO=8-3=5，
∴A （5，-5），
故答案为：（5，-5）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出AQ ，CQ 是解题关键．
14．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线 解析：2
【分析】
根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，
∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，
∴OD OE OF ==．
∵C 90∠=，
∴四边形ECFO 是正方形，
∴OE OF CE CF ===．
∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222
=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522
⨯⨯=⨯++， 解得：1OE =， ∴CE OE 1==，
∴AE AC CE 2=-=．
在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt AEO Rt ADO ≅，
∴AD AE 2==．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．20°或50°【分析】根据题意分两种情况进行讨论然后根据角平分线的性质
计算解决即可【详解】解:①如图∵∠BOC=70°∴∠AOC=100°∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠AOC=50°∠AOD-=2
解析：20°或50°
【分析】
根据题意,分两种情况进行讨论,然后根据角平分线的性质计算解决即可.
【详解】
解:①如图
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=100°,
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=1
∠AOC=50°,
2
∠=20°;
BOD
∠=∠AOD-AOB
②如图,
∵30
∠=︒,
AOB
∠BOC=70°,
∴∠AOC=40°,
∵OD平分∠AOC
∴∠
AOD=1
2
∠AOC=20°,
BOD
∠=∠AOD+AOB
∠=50°;
故答案为：20°或50°
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由角平分线得出相等的角，在解决问题时注意要分类讨论.
16．3【分析】过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意可以得到
△BAD≌△BED从而得到DE的长度【详解】解：如图过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意知在△BAD和△BED中∴△BA
解析：3
【分析】
过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，
由题意知在△BAD和△BED中，
A DEB
ABD EBD BD BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△BED，
∴ED=AD=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
17．58【分析】根据∠C=90°AD=AC证明
Rt△CAE≌Rt△DAE∠CAE=∠DAE=∠CAB再由∠C=90°∠B=26°求出∠CAB的度数然后即可求出∠AEC的度数【详解】解：∵在△ABC中∠C
解析：58
【分析】
根据∠C=90°，AD=AC证明Rt△CAE≌Rt△DAE，∠CAE=∠DAE=1
2
∠CAB，再由∠C=90°，
∠B=26°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．【详解】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB交BC于点E，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵
AC AD AE AE
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴Rt△CAE≌Rt△DAE，
∴∠CAE=∠DAE=
1
2
∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=26°，
∴∠CAB=90°-26°=64°，
∵∠AEC=90°-1
2
∠CAB=90°-32°=58°．
故答案为：58．
【点睛】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证Rt△CAE≌Rt△DAE．
18．6【分析】过点P作PH⊥AMPQ⊥AN连接AP根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ再根据三角形的面积求出BC然后求出AC+AB再根据S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BPC
解析：6
【分析】
过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得
PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.
【详解】
解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP
∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线
∴PH=PE，PE=PQ
∴PH=PE=PQ=3
∵S△BPC=1
2
×BC×PE=7.5
∴BC=5
∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC
=1
2
×AC×PQ+
1
2
×AB×PH-7.5
=1
2
×3（AC+AB）-7.5
∵AC+AB+BC=14，BC=5
∴AC+AB=9
∴S△ABC=1
2
×3×9-7.5=6 cm2
【点睛】
本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．
19．30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】
解析：30
【分析】
根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD≌△BCE．
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC．
∵∠DAC＋∠ABC＝90°，
∴∠EBC＋∠ABC＝90°．
∴△BDE为直角三角形．
∵AB＝17，BD＝5，
∴AD＝AB－BD＝12．
∴S△BDE＝1
2
BD BE＝30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．
20．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可
解析：①③
【分析】
由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12
AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．
【详解】
解：如图所示：连接BD 、DC ．
（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°
∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，
故①正确；
②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=120°．
∴∠ABC=60°．
∵∠ABC 是否等于60°不知道，
∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；
③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE ⊥AB ，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=12
AD ． 同理：DF=
12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．
④∵DM 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ．
在Rt △BED 和Rt △CFD 中
DE DF BD DC ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．
∴BE=FC ．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF ，BE=FC ，
∴AB+AC=2AE ．故④错误．
因此正确的结论是：①③，
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
三、解答题
21．32
【分析】
根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出
3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．
【详解】
解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，
∴90ADC CEB ∠=∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，
在ACD △与CBE △中，
ADC
CEB ACD
CBE AC BC
∴ACD CBE ≌
(AAS) ∴ 3CD BE ==， AD CE =，
∵ 358CE CD DE =+=+=，
∴ 8AD =．
ACE 11883222S CE AD △．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 22．见解析
【分析】
根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．
【详解】
证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，
∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，
∠ABF+∠F=180°-90°=90°，
∴∠ACD=∠ABF ，
在△AFB 和△ADC 中，
90ACD ABF AB AC
CAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；
∴CD=BF ，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠BCE=∠FCE ，
在△BCE 和△FCE 中，
90BCE FCE CE CE
BEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩
＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），
∴BE=EF ，
∴BF=2BE
∴CD=2BE ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．
23．（1）45︒；（2）不会变化，理由见解析．
【分析】
（1）根据题意可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，12
BOD AOB ∠=∠，
12BOE BOC ∠=∠．即可推出12DOE AOC ∠=∠，即可求出DOE ∠． （2））根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关，所以DOE ∠的大小不会变化．
【详解】
（1）由图可知DOE BOD BOE ∠=∠-∠，
∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ．
∴12BOD AOB ∠=
∠，12BOE BOC ∠=∠． ∴1111()2222
DOE AOB BOC AOB BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵∠AOC 是直角，
∴90AOC ∠=︒，
∴1452
DOE AOC ∠=
∠=︒． （2）根据（1）可知DOE ∠的大小与∠BOC 的大小无关， ∴DOE ∠的大小不会变化且大小为
12
AOC ∠． 【点睛】
本题考查角的计算，角平分线的性质．利用角平分线的性质找出图形中角的关系是解答本题的关键．
24．（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取a 和b 即可；
（2）作射线OA ，通过截取角度即可得解．
【详解】
（1）作射线CF ，在射线上顺次截取CD=a ，DE=b ，如下图所示，线段CE 即为所求：
（2）首先作射线OA ，如下图所示，∠AOB 即为所求：
【点睛】
本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关
键．
25．（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）根据平行线的性质可得：EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠，继而根据全等三角形的判定证得()ADE CFE AAS ≅△△，继而即可求证结论；
（2）由全等三角形的性质可得：12AD CF ==，求得8BF =，继而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵//AD BC ，
∴EAD ECF ∠=∠，EDA EFC ∠=∠．
∵E 为AC 的中点，
∴AE CE =．
在ADE 和CFE 中，,,,EAD ECF EDA EFC AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ADE CFE AAS ≅△△．
∴DE EF =．
（2）解：∵
ADE CFE ≅，
∴12AD CF ==．
∵:2:3BF CF =，
∴8BF =，
∴81220BC BF CF =+=+=．
【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
26．（1）作图见解析，45；（2）能，45
【分析】
（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以
点H 、点G 为圆心，以大于
12
HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ；
（2）根据题意，得114522
COM AOC BOC ∠=∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．
【详解】
（1）作图如下
用量角器量得：∠MON ＝45
故答案为：45；
（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90° ∴()11145222
COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12
CON BOC ∠=∠ ∴11454522MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+
∠-∠=． 【点睛】
本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，从而完成求解．。