2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测三

课时跟踪检测（三） 等差数列的概念与通项公式
层级一 学业水平达标
1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
解析：选B ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A －B ＝B －C .
又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.
2．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( )
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
解析：选D 由题意知，公差d ＝4－2＝2，则a 1＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝18.故选D.
3．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( )
A ．a n ＝a ＋(n －1)d
B ．a n ＝a ＋(n －3)d
C ．a n ＝a ＋2(n －2)d
D ．a n ＝a ＋2nd
解析：选C 数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －
2)d .
4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于( )
A.14
B.12
C.13
D.23
解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝b －x ，b －x ＝2x －b ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13
. 5．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( )
A ．a 3a 6>a 4a 5
B ．a 3a 6<a 4a 5
C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5
D ．a 3a 6＝a 4a 5
解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝
(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6
－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.
6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________.
解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3.
答案：－3
7．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则首项a 1＝________，公差d ＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝19，d ＝－2. 答案：19 －2
8．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则首项a 1＝________，公差d ＝________.
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝10，a 1＋a 1＋d ＋a 1
＋2d ＝3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－2，d ＝3. 答案：－2 3
9．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ；
(2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.
解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－5，d ＝1. (2)设数列的首项为a 1，公差为d ，
由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
∴a 9＝2×9－1＝17.
10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)．
(1)求a 2，a 3；
(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式a n .
解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20.
(2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12
n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12
n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列． (3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12
， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n .
层级二 应试能力达标
1．(重庆高考)在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6 解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴a 4－a 2＝a 6－a 4，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－
4＝0.
2．在等差数列{a n }中，a 1＝13
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( ) A ．48
B ．49
C ．50
D ．51 解析：选C a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23
， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23
(n －1)＝33，∴n ＝50. 3．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的( )
A ．第60项
B ．第61项
C ．第62项
D ．第63项
解析：选B 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝33，a 1＋44d ＝153，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝21，d ＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18. 令201＝3n ＋18，∴n ＝61.
4．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等
差数列，则a 2－a 1b 2－b 1
等于( ) A.m n
B.m ＋1n ＋1
C.n m
D.n ＋1m ＋1
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝
y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1
.
5．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，
∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，
∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.
又a n >0，∴a n ＝4n －3.
答案：4n －3
6．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20.
答案：20
7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…；按原来的顺序排成新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式．
解：由题意b n ＝a 2n ，又a n ＝3n ＋2，
∴b n ＝3×2n ＋2.
8．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ≥2，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n
，设b n ＝1a n ， n ∈N ＋.
(1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
解：(1)证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1
⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1
＝5. ∴{b n }是公差为4，首项为5的等差数列．
(2)由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.
∴a n ＝1b n ＝14n ＋1
，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19
， ∴a 1a 2＝
145. 令a n ＝14n ＋1＝145
，∴n ＝11. 即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．。