项目三任务六拉杆计算

三、轴向拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力
（b）计算机各段的正应力
AB段：
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400 F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
2、横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a a
当应力不超过一定限度时，横向应变变ε 与
轴向应变ε之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比

法国科学家泊松（1781~1840）于1829年从 理论上推演得出的结果。

表4-1给出了常用材料的E、ν值。
l
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢为典型的塑性材料。
在应力–应变图中呈现如下四个阶段：
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、低碳钢拉伸时的力学性能 （1） 弹性阶段（oa’段） oa段为直线段，a点对应的应力 称为比例极限，用σp表示 正应力和正应变成线性正比关系， 即遵循胡克定律，σ=E· ε 弹性模量E 和α的关系
二 、轴向拉杆的内力与轴力图
2、轴力图 例1 一等直杆及受力情况如图（a）所
示，试作杆的轴力图。如何调整外力，
使杆上轴力分布得比较合理。 解： (a) 求AB段轴力 1–1截面：
FN1 5 kN
2–2截面：
FN2 5 kN 10 kN 15 kN
二 、轴向拉杆的内力与轴力图
2、轴力图
(0.38
总位移：
5 3 mm 1.1 mm ) 1.3 mm 3 4
ΔB Bx By
2 2
1.1
2
1.3 1.7mm
2
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料的力学性能： 是材料在受力过程中表现出的各种物理性质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸 和压缩时的力学性能。 1、标准试样 试样原始标距与原始横截面面积
BC段： CD段：
FNBD 10 103 20MPa AAC 500
FNBD 10 103 50MPa ACD 200
(e) 计算杆件内最大应力
max
10 103 50 MPa 200
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移 （f）计算杆件的总变形
l l AB lBC LCD FNAB l AB F l F l NBD BC NBD CD EAAC EAAC EACD
一 、轴向拉伸的概念
1、轴向拉伸的概念
在工程中以拉伸或压缩为 主要变形的杆件，称为拉杆。 若杆件所承受的外力或外力
合力作用线与杆轴线重合的变形，
称为轴向拉伸。
二 、轴向拉杆的内力与轴力图
1、拉杆的内力
Fx 0
FN F
唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截面沿
杆轴线并通过形心。 通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。
LY12
71 380
混凝土 木材（顺纹）
木材（横纹）
15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8
0.49 ~ 0.98
0.16 ~ 0.18 0.0539
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移
等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在
空间位置的改变，即产生了位移（Displacement ）。 例4 F1=30kN，F2 =10kN , AC段的横截面面积 ：
四、轴向拉(压)时的变形
1、轴向变形与胡克定律 长为 l 的等直杆，在轴向力作用下，伸长了
l l1 l
线应变（Longitudinal strain ）为：

l l
试验表明：当杆内的应力不超过材料的某一极限值， 则正应力和正应变成线性正比关系
四、轴向拉(压)时的变形
1、轴向变形与胡克定律
E
称为胡克定律
英国科学家胡克（Robet Hooke，1635~1703）于1678年 首次用试验方法论证了这种线性关系后提出的。 胡克定律：
FN l l EA
上式只适用于在杆长为l长度内F 、N、E、A均为常值的情 况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
四、轴向拉(压)时的变形
杆BC是工字钢，其横截面面积为
模量E=200GPA ，杆BC是工字钢，求托架在F力作用下，节点B 的铅垂位移和水平位移？ 解：
（a）取节点B为研究对象，求两杆轴力
Fx 0
Fy 0
FN 1 FN 2
3 F sin 30o 0 5
FN 2
4 F cos 30 0 5
=－20kN (b) 计算各段杆件横截面 上的轴力
AB段：FNAB=FRA=－20kN
BD段：FNBD=F2=10kN
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移 (c) 画出轴力图，如图（c）所示。
(d) 计算各段应力
AB段：
AB
BC
CD
FNAB 20 103 40MPa AAC 500
三、轴向受拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力
平面假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面
(cross-section )仍保持为平面，两平面相对的位移 了一段距离。 轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分布
FN A
三、轴向受拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力
正应力与轴力有相同的正、负号，即： 拉应力(Tensile stress )为正，
BC段：
BC
CD
CD段：
DE段：
DE
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
三、轴向拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力 例3 石砌桥墩的墩身高h=10m。其横截
面尺寸如图所示。
如果载荷 F=1000kN，材料的重度 γ=23kN/m³，求墩身底部横截面上的压
四、轴向拉(压)时的变形
2、横向变形、泊松比 表4.1 常用材料的E、ν值。
材料名称
低碳钢 中碳钢 低合金钢 合金钢 灰口铸铁 球墨铸铁 铝合金 硬铝合金
牌号
Q235 45 16Mn 40CrNiMoA
E
200 ~ 210 205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180

0.24 ~ 0.28 0.24 ~ 0.28 0.25 ~ 0.30 0.25 ~ 0.30 0.23 ~ 0.27 0.33
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移
FN 2 40 cos 30 5 43.3 43.3 kN 4 3 3 1 FN 2 F sin 30 43.3 40 46kN 5 5 2
FN1
（b）求AB、BC杆变形
FN1l1 46 103 N 150 10 mm l1 1.1mm π EA1 200 109 Pa (20) 2 mm 2 4
构件强度的影响。 （1）在设计脆性材料(Brittle material )构件时，应
考虑应力集中的影响。
（2）在设计塑性材料(Plastic material )的静强度问 题时，通常可以不考虑应力集中的影响。 （3）设计在交变应力作用下的构件时，制造构件的材料
无论是塑性材料或脆性材料，都必须考虑应力集中的影响。
二 、轴向拉杆的内力与轴力图
2、轴力图 用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆
轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与
横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。 作轴力图时应注意以下几点： （1） 轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按 比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。 （2） 习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值 （压力）的轴力图画在坐标的负向。
FN2l2 43.3 103 N 250mm l2 0.38mm 9 2 EA2 200 10 Pa 1430 m
（c) 求B点位移，利用几何关系求解。
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移 水平位移：
Δ Bx l1 1.1 mm
铅垂位移：
Δ By (
l 2 l1 ) cot cos
应力。
三、轴向拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力
2 2 π 2 m A 3 2 m2 9.14 m 2 4
墩身横截面面积：
2 2 π 2 m A 3 2 m2 9.14 m 2 4
墩身底面应力：
F Ah 1000 103 N 3 3 10 m 23 10 N / m A A 9.14 m2
34104 Pa 0.34 MPa
（压）
三、轴向拉时横截面上的应力
3、应力集中的概念 应力集中的程度用最大局部应力σmax 与该截面上的名义应力σn 的比值表示K=σmax
/ σn，比值K称为应力集中因数。
三、轴向拉时横截面上的应力
3、应力集中的概念
在设计时，从以下三方面考虑应力集中对
线成的纹线，称为45°
滑移线。
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、低碳钢拉伸时的力学性能 （3） 强化阶段（cd段） 材料晶格重组后，又增加了抵抗变形的能力， 要使试件继续伸长就必须再增加拉力，这阶段称为 强化阶段。 曲线最高点d处的应力，称为强度极限（σb） 则试样的应力–应变曲线会沿着fo1回到o1。 冷作硬化现象，在强化阶段某一点f处，缓慢卸 载，冷作硬化使材料的弹性强度提高，而塑性降低的 现象。
AAC=500mm2,CD段的横截面面积ACD=200mm2，弹性模 量E=200GPa。试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力；
（2）杆件内最大正应力；
（3）杆件的总变形。
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移 解：(a) 计算支反力
F
x
0, F2 F 1 F RA 0
FRA F2 F 1 (10 30)
tan
E
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
2、低碳钢拉伸时的力学性能 （2） 屈服阶段（bc段） 过b点，应力变化不大，应变急剧增大，
曲线上出现水平锯齿形状，材料失去继续
抵抗变形的能力，发生屈服现象 工程上常称下屈服强度为材料的屈服极限，用σs表示 材料屈服时，在光滑试 样表面可以观察到与轴
3–3截面：
FN3 30 kN
(b) 按作轴力图的规则，作出轴力图， (c) 轴力的合理分布： 如果杆件上的轴力减小，应力也减小，杆件的强度就 会提高。该题若将C截面的外力和D截面的外力对调，轴力
图如（f）图所示，杆上最大轴力减小了，轴力分布就比较
合理。
三、轴向受拉时横截面上的应力
1、应力的概念 内力在一点处的集度称为应力(Stress) 应力与截面既不垂直也不相切，力学中总是将它
压应力(Compressive stress )为负。
三、轴向拉时横截面上的应力
2、横截面上的应力 例2 一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为A1=400mm2，
A2=300mm2，A3=200mm2 ，试求各横截面上的应力。
解： （a）计算轴力画轴力图利 用截面法可求得阶梯杆各段 的轴力为 F1=50kN，F2=-30kN， F3=10kN，F4=-20kN。 轴力图如右所示。
有为比例试样。
国际上使用的比例系数k的值为5.65。
l0 k A
关系者,
若k 为5.65的值不能符合这一最小标距要求 时，可以采取较高的值（优先采用11.3值）。
五、材料在拉伸与压缩时的力学性能
1、标准试样 采用圆形试样，换算后 试样按照GB/T2975的要求切取样坯和制备试样。
r d
l
r
a
b
1 20 103 100 ( 3 200 10 500 10 103 100 10 103 100 ) 500 200
=0.015mm 整个杆件伸长0.015mm。
四、轴向拉(压)时的变形
3、拉压杆的位移 例5 图示托架，已知，F=40kN,圆截面钢杆AB的直径d=20mm径， 1430mm2 ，钢材的弹性
分解为垂直于截面和相切于截面的两个分量。
与截面垂直的应力分量称为正应力 （或法向应力），用σ表示。 与截面相切的应力分量称为剪应力 （或切向应力），用τ表示。
三、轴向受拉时横截面上的应力
1、应力的概念
应力的单位是帕斯卡，简称为帕，符号为“Pa” 1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1G2