吴淞中学高三开学考(2019.09)

吴淞中学高三开学考数学试卷
2019.09
一. 填空题
1. 函数21()lg(1)x f x x -=+的定义域为
2. 双曲线22312x y -=的两渐近线的夹角大小为
3. 用行列式解线性方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩
，则y D 的值为 4. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为 cm
5. 直线240x y +-=经过抛物线22y px =的焦点，
则抛物线的准线方程是
6. 已知函数sin()y x ωϕ=+（0ω>，02π
ϕ<≤）
的部分图像如图，则点(,)P ωϕ的坐标为
7. 设36log (1)6()36x x x f x x --+>⎧=⎨≤⎩
的反函数为1()f x -，若11()9f a -=，则(4)f a += 8. 二项展开式7(23)x +中，在所有的项的系数中随机选取一个，恰好为奇数的概率是
9. 在平面直角坐标系xOy 内，曲线|1||3|||7x x y ++-+=所围成的区域的面积为
10. 已知梯形ABCD 中，12AD DC CB AB ===，P 是BC 边上一点，且 AP x AB y AD =+uu u r uu u r uuu r ，当P 在BC 边上运动时，x y +的最大值是
11. 求方程2sin sec tan 10x x x -+-=在[0,2]x π∈的解集
12. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且22a =，515S =，数列{}n b 满足222n n n b +=-
（*n ∈N ），记集合*2(2){|
,}2
n n S b M n n n λ-=≥∈+N ，若M 的子集个数为16，则实数λ的 取值范围为
二. 选择题 13. 0a >且1a ≠，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知无穷数列{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 为其前n 项和，则“0||1q <<”是“存 在0M >，使得||n S M <对一切*n ∈N 恒成立”的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
15. 已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若z z =，则为实数
B. 若20z <，则z 为纯虚数
C. 若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数
D. 若31z =，则2z z =
16. 已知0a >且1a ≠，函数2()log ()a f x x x b =++在区间(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ||||a g x x b =-的图像是（ ）
A. B. C. D.
三. 解答题 17. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1114AA A B ==，D 、E 分别为1AA 与11A B 中点.
（1）求异面直线1C D 与BE 所成角的大小；
（2）求四面体1BDEC 体积.
18. 已知函数2()log (424)x x f x b =+⋅+，()g x x =.
（1）当5b =-时，求()f x 的定义域；
（2）若()()f x g x >恒成立，求b 的取值范围.
19. 设函数2()||f x x x a =+-（x ∈R ，a ∈R ）.
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()10f x <对(1,3)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.
20. 已知椭圆2
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x y +=，A 是它的上顶点，点n P 、n Q （*n ∈N ）各不相同且均在椭圆上. （1）若1P 、1Q 恰为椭圆长轴的两个端点，求△11APQ 的面积；
（2）若0n n AP AQ ⋅=u u u r u u u u r ，求证：直线n n P
Q 过一定点； （3）若11n n P Q y y n +=-
，△n n AP Q 的外接圆半径为n R ，求lim n n R →∞的值.
21. 若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列， 则称函数()f x 是等比源函数.
（1）判断下列函数①2y x =；②1y x
=
；③2log y x =；哪些是等比源函数？ （不需要证明）
（2）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论；
（3）证明对任意的正整数d 、b ，()g x dx b =+都为等比源函数.
参考答案
一. 填空题
1. (1,0)(0,1]-U
2. 3
π 3. 9- 4. 13 5. 2x =- 6. (2,)3
π 7. 2- 8. 916 9. 33 10. 3
2 11. 5{,,}44ππ
π
12. 35(,]164
二. 选择题
13. C 14. A 15. C 16. A
三. 解答题
17.（1）1
arccos 5；（2）18.（1）(,0)(2,)-∞+∞U ；（2）3b >-.
19.（1）单调递减区间是1(,)2-∞，单调递增区间是1
(,)2+∞；（2）[2,4].
20.（1）2；（2）证明略；（3）4.
21.（1）①②③都是等比源数列；（2）不是，证明略；（3）证明略.。