中考数学专题讲练 线段最值问题二(教师版)

线段最值问题（二）
一．利用轴对称求最值
轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点
A 、
B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．
2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．
3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使
PA PB
-最大．
4．如图，直线l 和l 异侧两点
A 、
B ，在直线l 上求作一点P ，使
PA PB
-最大．
l
l
l
5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点
A 、
B ，使PAB ∆的周长最小．
6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形
PAQB 的周长最小．
7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离
之和最小．
l
8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离
之和最小．
9．造桥选址问题
二．利用二次函数求最值
利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．
l 2
l 1
一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值
二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值
三．易错点：
1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；
2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．
题模一：利用轴对称求最值
例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31），
n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．点D、E的坐标分别为（m），（n，
3
【答案】4
【解析】如图所示：
n）（m、n为非负数），
∵点D、E的坐标分别为（m），（n，
3
∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，
设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=+b，
把C 的坐标（1
，
故直线CC ′的解析式为y=
+
，
联立直线OE 的解析式和直线CC ′
的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，
解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩．
故交点坐标为（1.5，
∴点C ′坐标为（2，0），
设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=
x +b ′， 把B 的坐标（3，
b ′
b ′
故直线BB ′的解析式为y=
x +
联立直线OD 的解析式和直线BB ′
的解析式可得y=x 3⎧⎪
⎨-+⎪⎩
解得x=1.5
y=2
⎧⎪
⎨⎪⎩，
故交点坐标为（1.5
，
2
），
∴点B ′坐标为（0，23），
则B ′C ′=22
2(23)+=4，即CE +DE +DB 的最小值是4．
例1.1.2 已知抛物线2
1y=
x bx 2
+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线2
1y=
x bx 2
+经过点A （4，0）， ∴
1
2
×42+4b=0， ∴b=﹣2，
∴抛物线的解析式为：y=
12x 2﹣2x=1
2
（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），
∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，
因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，
∴
4k b=0
3k b=3
+
⎧
⎨
+
⎩﹣
，
解得：
k=3
b=12
⎧
⎨
-
⎩
，
∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，
当x=2时，y=﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）
A．10B．102C．20D．22
【答案】B
【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以，PQ=P1Q，PR=P2R，
所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，
所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△P1OP2为等腰直角三角，
所以，P1P2=2OP1=102，
即△PQR最小周长是102．
故选B．
例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）
A．62B．6C．32D．3
【答案】C
【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=6，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=6×
2
2
=32．
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=32．
例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】
作点A 关于直线a 的对称点A′，并延长AA′，过点B 作BE⊥AA′于点E ，连接A′B 交直线b 于点N ，过点N 作NM⊥直线a ，连接AM ，
⊥A 到直线a 的距离为2，a 与b 之间的距离为4， ⊥AA′=MN=4，
⊥四边形AA′NM 是平行四边形， ⊥AM+NB=A′N+NB=A′B ，
过点B 作BE⊥AA′，交AA′于点E ，
易得AE=2+4+3=9，AB=230，A′E=2+3=5，
在Rt⊥AEB 中，BE=22AB AE -=39，
在Rt⊥A′EB 中，A′B=22¡äA E BE +=8． 故选：B ．
题模二：利用二次函数求最值
例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2
+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；
（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值．
【答案】 （1）y=﹣12x 2+3
2x+2
（2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）
（3
【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得
a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩
解得1a=23
b=2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣ ∴抛物线的解析式为：y=﹣12x 2+32
x+2． （2）∵抛物线的解析式为y=﹣
12x 2+32x+2， ∴点C 的坐标是（0，2），
∵点A （﹣1，0）、点D （2，0），
∴AD=2﹣（﹣1）=3，
∴△CAD 的面积=132=32
⨯⨯， ∴△PDB 的面积=3，
∵点B （4，0）、点D （2，0），
∴BD=2，
∴|n|=3×2÷2=3，
∴n=3或﹣3，
①当n=3时， ﹣12m 2+32
m+2=3， 解得m=1或m=2，
∴点P 的坐标是（1，3）或（2，3）．
②当n=﹣3时，
﹣
1
2
m2+3
2
m+2=﹣3，
解得m=5或m=﹣2，
∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
综上，可得
点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，
设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，
∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴
n=2
4m+n=0
⎧
⎨
⎩
解得
1
m=
2
n=2
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
﹣
∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣
1
2
x+2，
∵点P的坐标是（m，n），
∴点F的坐标是（4﹣2n，n），
∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣
8
5
）2+
16
5
，
∵n＞0，
∴当n=8
5
时，线段EG的最小值是：
164
=5
55
，
即线段EG的最小值是4
5
5
．
例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线
y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；
（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；
（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD
的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，
）．
【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．
（2）如图1所示；
∵BD∵DE，
∵∵BDE=90°．
∵∵BDC+∵EDO=90°．
又∵∵ODE+∵DEO=90°，
∵∵BDC=∵DE0．
在∵BDC和∵DOE中，，
∵∵BDC∵∵DEO．
∵OD=AO=1．
∵D（0，1）．
（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．
∵x=﹣=，
∵点B′的坐标为（2，4）．
∵点B与点B′关于x=对称，
∵MB=B′M．
∵DM+MB=DM+MB′．
∵当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即∵BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，
∵∵BDM的最小值=+．
设直线B′D的解析式为y=kx+b．
将点D、B′的坐标代入得：，
解得：k=，b=1．
∵直线DB′的解析式为y=x+1．
将x=代入得：y=．
∵M（，）．
（4）如图3所示：过点F作FG∵x轴，垂足为G．
设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．
∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S∵O D A= OD•OA=×1×1=，S∵AGF=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，
∵S∵FD A=S梯形D O GF﹣S∵OD A﹣S∵AGF=﹣a2+a﹣．
∵当a=时，S∵FD A的最大值为．
∵点P的坐标为（，）．
例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条
直线l解析式为：y=﹣1
2
x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C
（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，
解得：a=﹣2
9
．∴抛物线的解析式为y=﹣
2
9
x2﹣4
9
x+16
9
．
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．
把x=0代入y=﹣1
2
x+4得：y=4，∴A（0，4）．
将y=0代入得：0=﹣1
2
x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．
∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan∠MAG=tan∠ABO=1
2
．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．∴l是⊙M的切线．
（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，∴∠FPE=∠FBD．∴tan∠FPE=1
2
．
∴PF：PE：EF=5：2：1．∴△PEF的面积=1
2
PE•EF=1
2
×
25
PF•
5
PF=1
5
PF2．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为（x，﹣2
9
x2﹣4
9
x+16
9
），则F（x，﹣
1
2
x+4）．
∴PF=（﹣1
2
x+4）﹣（﹣2
9
x2﹣4
9
x+16
9
）=﹣
1
2
x+4+2
9
x2+4
9
x﹣16
9
=2
9
x2﹣1
18
x+20
9
=2
9
（x﹣
1
8
）
2+71
32．∴当x=
1
8
时，PF有最小值，PF的最小值为
71
32
．∴P（
1
8
，
55
32
）．
∴△PEF的面积的最小值为=1
5
×（71
32
）2=
5041
5120
．
随练1.1四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）
A．80°B．90°C．100°D．130°
【答案】C
【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．
延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB ⊥AB ，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=′MAB ，∠A″=∠NAD ，
∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=130°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M
∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．
故选C ．
随练1.2 如图，在平面直角坐标系中，A 点的坐标是123（，），B 点的坐标是27（，）
，在x ，y 轴上分别有一点P 和Q ，若有四边形PABQ 的周长最短，求周长最短的值．
【答案】 如图所示：四边形PABQ 的周长最短，
∵A 点的坐标是123（，），B 点的坐标是27（，）
， ∴2210429AB =+=，123A '-（，），27B '-（，）
，
故22''1410274A B =+=，
则四边形PABQ 的周长最短的值为：229274+．
【解析】 利用作B 点关于y 轴对称点B '，作A 点关于x 轴对称点A '，进而连接A B ''，交y 轴于点Q ，交x 轴于点P ，进而利用勾股定理得出答案．
随练1.3 如图，已知30MON ∠=︒，在OM 上有两点A 、B 分别到ON 的距离为2cm 和1cm ，若在ON 上找一点P 使PA PB -的值最大，求P 点到O 点的距离．
【答案】 因为A 、B 在OM 上，要使PA PB -的值最大，P 应在OM 上，
如果P 不在OM 上，则P 、A 、B 构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB -＜，
所以，P 是OM 和ON 的交点，即O 点，
所以P 到O 的距离为0．
【解析】 根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P 点在OM 和ON 的交点处PA PB -的值最大，从而求得P 点到O 点的距离．
随练1.4 小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l 的同侧有A 、B 两点，请你在直线l 上确定一点P ，使得PA PB +的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：
①作点A 关于直线l 的对称点A ''．
②连结A B '，交直线l 于点P ．则点P 为所求．
请你参考小明的作法解决下列问题：
（1）如图1，在ABC △中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，6BC =，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得PDE △的周长最小．
①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）
②请直接写出PDE △周长的最小值__________．
（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．
【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．
（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，
由轴对称的性质可知'DP D P =，
DPE C DE DP PE ∆=++
'DE D P PE =++ 'DE D E ≥+
∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，
即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分
此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，
∴DE //BC 且132
DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，
由轴对称的性质可知'DP D P =，'DD BC ⊥，
∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，
所以'4DD =，
∵DE //BC ，'DD BC ⊥
∴'DD DE ⊥，
在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，
由勾股定理'5D E =，
∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分
（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，
则CH 和EF 平行且相等，
∴四边形CHEF 为平行四边形，
∴CF HE =，
由轴对称的性质可知GE ME =，
CGEF C CG GE EF CF =+++
1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++
∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，
连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，
……………4分
此时3DH =，3DG AG AM ===，
∴9DM =，
在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：
MH =5DG == ∴516
CGEF C =++=+
……………………………………………5分
随练1.5在平面直角坐标系中，已知y=
﹣1
2
x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形
ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为2时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．
（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣1
2
x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最
小值为25．
【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴
1
1
1641 2
c
b c
=-
⎧
⎪
⎨
-⨯++=-
⎪⎩
，
解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=﹣1
2
x2+2x﹣1．
（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离2时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，
∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵直线的斜率为1，
∴△P′PM是等腰直角三角形，
∵
，
∴P′M=PM=1，
∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，
∵y=﹣1
2
x2+2x﹣1=﹣1
2
（x﹣2）2+1，
∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣1
2
（x﹣3）2+2，
令y=0，则0=﹣1
2
（x﹣3）2+2，
解得x1=1，x=52，
∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），
解
()2
1
32
2
1
y x
y x
⎧
=--+
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，得
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），
∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．
（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴
．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为
．
随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥
BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．
【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3
．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==
【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），
∵点C的横坐标为4，BC=4，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=BC=4，
∵A（2，6），
∵D（6，6），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，
∵点D在此抛物线上，
∵6=a（6﹣2）2+2，
∵a=，
∵抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，
（2）∵AD∵BC∵x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∵E（，3），
∵BE=，
∵S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3
∵点F（m，6）是线段AD上，
∵2≤m≤6，
即：S=m﹣3
．（2≤m≤6）
（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，
∵B（0，3），C（4，3），
∵A（2，6），
∵直线AC解析式为y=﹣x+9，
∵FM∵x轴，垂足为M，交直线AC于P
∵P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）
∵PN=m，PM=﹣m+9，
∵FM∵x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN∵y轴，∵∵MPN=90°，
∵MN===
∵2≤m≤6，
∵当m=时，MN最小==
作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）
A．3B．33C．2D．23
【答案】D
【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，
则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，
∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°， ∵cos60°=12，OA OB ''=12， ∴∠OA′B′=90°，
∴A′B′=22OB OA ''-=23，
∴线段AQ+PQ+PB 的最小值是：23．
作业2 阅读材料：
例：说明代数式21x ++2(3)4x -+的几何意义，并求它的最小值．
解：21x ++2(3)4x -+=22(0)1x -++22(3)2x -+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则22(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离，22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．
设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则PA=PA ′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA ′+PB 的最小值，而点A ′、B 间的直线段距离最短，所以PA ′+PB 的最小值为线段A ′B 的长度．为此，构造直角三角形A ′CB ，因为A ′C=3，CB=3，所以A ′B=32，即原式的最小值为32．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）代数式2(1)1x -++2(2)9x -+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，
1）、点B____的距离之和．（填写点B 的坐标）
（2）代数式249x ++21237x x -+的最小值为____．
【答案】 （1）（2，3）（2）10
【解析】
（1）⊥原式化为22(1)1x -++22(2)3x -+的形式，
⊥代数式2(1)1x -++2(2)9x -+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，
故答案为（2，3）；
（2）⊥原式化为22(0)7x -++2(6)1x -+的形式，
⊥所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，
如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，
⊥PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，
⊥PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，
⊥A （0，7），B （6，1）
⊥A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
⊥A′B=22'A C BC +=2268+=10，
故答案为：10．
作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若P(1，2)，Q(4，2)．
①在点A(1，0)，B(5
2
，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；
②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.
（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q（45
，
25
）或Q（
45
-，
25
）
【解析】
解:（1）A、B……………………………………………………………………………2分
（2）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长. ………………………3分
∵P (1，2)，
∴P′ (1，－2).
设直线P′Q的表达式为y kx b
=+，
根据题意，有
242k b k b +=-⎧
⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =
-.……………4分 当0y =时，解得52x =
. 即52
t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，
∴22''5P Q PP PQ =+=.
∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分
（3）Q （
45，25）或Q （45-，25）.………………………………8分
作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；
（3）D 是点C 关于该抛物线对称轴的对称点，E 是该抛物线的顶点，M ，N 分别是y 轴、x 轴上的两个动点．
①当△CEM 是等腰三角形时，请直接写出此时点M 的坐标；
②以D 、E 、M 、N 位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M ，N 的坐标；若没有，请说明理由．
【答案】 （1）A （﹣2，0），B （6，0）．
（2）y=1
4
（x+2）（x﹣6）=
1
4
x2﹣x﹣3．
（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣11
2
）．
②M（0，﹣5
3
）N（
10
7
，0）
【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，
∴（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵OB＞OA，
∴OA=2，OB=6，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，
解得：a=1
4
，
∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=1
4
（x+2）（x﹣6）=
1
4
x2﹣x﹣3．
（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），
∵抛物线的关系式为y=1
4
x2﹣x﹣3=
1
4
（x﹣2）2﹣4，
∴点E（2，﹣4），
∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：
当CE=CM，
解得：3或m=3，
此时点M的坐标为（03）或（03）；
当CE=ME，
解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，
此时点M的坐标为（0，﹣5）；
当CM=ME时，有
解得：m=﹣11
2
，
此时点M的坐标为（0，﹣11
2
）．
综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，
﹣5）或（0，﹣11
2
）．
②四边形DEMN有最小值．
作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．
∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），
∴点D（4，﹣3），=．
∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，
∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），
∴EM+MN+DN=D′E′=
∴C四边形DEMN
设直线D′E′的解析式为y=kx+b，
则有
34
42
k b
k b ⎧-+
⎨
-=-+⎩
，解得：
7
6
5
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴直线D′E′的解析式为y=
7
6
x﹣
5
3
．
令y=
7
6
x﹣
5
3
中x=0，则y=﹣
5
3
，
∴点M（0，﹣
5
3
）；
令y=
7
6
x﹣
5
3
中y=0，则
7
6
x﹣
5
3
=0，解得：x=
10
7
，
∴点N（
10
7
，0）．
故以D、E、M、N位顶点的四边形的周长有最小值，最小值为5+85，此时点M的坐标为（0，﹣
5
3
），点N的坐标为（
10
7
，0）．
作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．
（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；
（2）当AB=22，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；
（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．
①当AB=22，且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S（t）的最大值，以及此时点P的坐标；
②当AB=m（正常数）时，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此时点P的坐标（t，T）满足的关系，若不存在说明理由．
【答案】见解析
【解析】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．
（1）若AB的中点落在y轴上，那么A、B的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A、B的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c的取值范围；
（2）由于直线AB的斜率为1，当AB=22时，A、B两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x的方程，那么A、B的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b、c的关系式，即可得到c的最小值以及对应的b的值，由此可确定抛物线的解析式；
（3）①在（2）中已经求得了b、c的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y轴，那么c=1，可据此求出b的值；进而可确定抛物线的解析式，过P作PQ∵y轴，交AB于Q，可根据抛物线和直线AB的解析式表示出P、Q的纵坐标，进而可求出PQ的表达式，以PQ为底，A、B横坐标的差的绝对值为高即可求出∵PAB的面积，进而可得出关于S（t）和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出∵PAB的最大面积及对应的P点坐标；
②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．
（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b -1）x+c -1=0①．
设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．
∵AB 的中点落在y 轴，
∵A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，
∵x 1+x 2=0，
故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩
∵c ＜1；（3分）
（2）∵AB=22，如图，过A 作x 轴的平行线，过B 作y 轴的平行线，它们交于G 点，
∵直线y=x+1与x 轴的夹角为45°，
∵∵ABG 为等腰直角三角形，
而AB=22，
AG=22
2=2，
即|x 1-x 2|=2，
∵（x 1+x 2）2-4x 1x 2=4，
由（1）可知x 1+x 2=-（b -1），x 1x 2=c -1．
代入上式得：（b -1）2-4（c -1）=4，
∵c=14
(b -1)2≥0∵c 的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x 2+x ；
（3）①∵由(2)知c=14
(b -1)2成立． 又∵抛物线与直线的交点在y 轴时，交点的横坐标为0，
把x=0代入①，得c -1=0，∵c=1．
∵这一交点为（0，1）； ∵14
(b -1)2=1∵b=-1或3； 当b=-1时，y=x 2-x+1，过P 作PQ ∵y 轴交直线AB 于Q ，则有：
P （t ，t 2-t+1），Q （t ，t+1）；
∵PQ=t+1-（t 2-t+1）=-t 2+2t ；
∵S （t ）=12-t 2+2t=-（t -1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；
当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：
S （t ）=12-t 2-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；
故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；
②同（2）可得：（b -1）2-4（c -1）=m 2，
由题意知：c=1，则有：
（b -1）2=m 2，即b=1±m ；
当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，
∵P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）； ∵PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t
2-mt ；
∵S （t ）=12PQ×2AB=12（-t 2-mt ）×2m=-2m （t+2
m ）2+2m 3； ∵当t=-2
m 时，S （t ）最大=2m 3， 此时P （-12
m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：
S （t ）=-2m （t -2
m ）2+2m 3； ∵当t=12
m 时，S （t ）最大=216m 3， 此时P （12m ，34m 2+12
m+1）； 故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12
m+1）时，S （t ）有最大值，且最大值为2m 3．
作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；
（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12
作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．
【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1
（2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣
，4﹣
），C 3（2+
4+
）
（3）点P 有2个，PQ
【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4）， ∴c=016a 8a+c=4
⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0
⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2
-， 对称轴x=﹣1122
-⨯=1； （2）当y=0，0=
12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），
∵B （4，4），
∴直线BO 的解析式为：y=x ，
作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2
-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，
故C 1（2，0）
往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，
组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩
， 解得： 11x =222y =422⎧-⎪⎨-⎪⎩，22x =222y =422
⎧+⎪⎨+⎪⎩，
可得C 2（2﹣22，4﹣22），C 3（2+22，4+22），
综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣22，4﹣22），C 3（2+22，4+22）；
（3）∵y=12x 2﹣x=12
（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），
设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2，
故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244
-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，
故点P 有2个，PQ 的最小值为7．
作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；
（3）将抛物线向上平移32
个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．
【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=
23x 2+43x ﹣2． （2）DC=85． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣
2815x ﹣23x+2（27--＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324
【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE
=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．
解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，
得：
0932
02
a b
a b
=--
⎧
⎨
=+-
⎩
，解得：
2
3
4
3
a
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴抛物线的函数解析式为y=2
3
x2+4
3
x﹣2．
（2）令y=2
3
x2+4
3
x﹣2中x=0，则y=﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），
∴
∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，
∴△COM∽△CDE，
∴OC CM DC CE
=，
∴
DC=
（3）将抛物线向上平移3
2
个单位长度后的解析式为y=
2
3
x2+4
3
x﹣2+3
2
=2
3
x2+4
3
x﹣1
2
，
令y=2
3
x2+4
3
x﹣1
2
中y=0，即
2
3
x2+4
3
x﹣1
2
=0，
解得：x1
x2
．
∵点P在第三象限，
x＜0．
过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，如图所示．
（方法一）：在Rt △CDE 中，，CE=4，
∴，sin ∠DCE=DE CE
在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，
∴DD′=CD•sin ∠DCE=85
，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65
， ∴D （﹣85，65
），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12
）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12
）． ∴S △PDE =S △DD′E +S
梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2
x ＜0），
∵S △PDE =﹣
2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++532458＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324
．
故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣
2815
x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．
（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，
∴，
∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，
∴DD CD CD DE CD CE
''==， ∴DD′=85
，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65
， ∴D （﹣85，65
），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12
）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12
）． ∴S △PDE =S △DD′E +S
梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2
x ＜0），
∵S △PDE =﹣
2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++532458＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324
．
故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815
x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。