函数及指数函数、对数函数、幂函数知识清单课件-2025届高三数学一轮复习

3.两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 y轴 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 x轴 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 原点 对称.
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)； a＋b
函数.
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝f1x 的单调性 相反.
4.复合函数的单调性：同增异减.
确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”. (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函 数分离成一个常数和一个分式和的形式.
么函数f(x)就叫做奇函数
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数y＝ f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.
⑥余弦函数
f(x)＝cos
x，对应
f(x)＋f(y)＝2f
x＋y
2
f
x－y，来源于 2
cos
α＋
α＋β α－β cos β＝2cos 2 ·cos 2 ；
⑦正切函数 f(x)＝tan x，对应 f(x±y)＝1f∓xf±xffyy，来源于 tan(α±β) ＝1ta∓ntaαn±αttaannββ.
2025届高考数学（人教B版2019）
一轮复习知识清单课件必修第一册 第三章及必修第二册第四章——函 数及指数函数、对数函数、幂函数
知识点一 函数的概念及其表示
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应， 那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，即相同的 自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
知识点四 函数的对称性
1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 原点 对称，偶函数关于 y轴 对称. (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 x＝a ；若f(x＋a)是奇 函数，则函数f(x)图象的对称中心为 (a,0) . 2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 (a,0) 对称.
抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过 代入特殊值求值、通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(－x)判 定抽象函数的奇偶性、换x为x＋T确定周期性. (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－ f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；
1.函数奇偶性常用结论 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点 对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a(a>0).
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转 化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x) ＝0(偶函数))是否成立.
②若给出的是“积型”抽象函数 f(xy)＝…，判断符号时要变形为 f(x2)－ f(x1)＝f x1·xx21－f(x1)或 f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f x2·xx12. (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；
②幂函数 f(x)＝xa，对应 f(xy)＝f(x)f(y)或 f xy＝ffxy； ③指数函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)，对应 f(x＋y)＝f(x)f(y)或 f(x－y)＝ffxy；
知识点三 函数的奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
偶函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x) ，那么 关于 y轴 对称
函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果
奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，那 关于原点对称
2.函数的最值
前提 条件 结论
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
(1)∀x∈D，都有 f(x)≤M ； (2)∃x0∈D，使得__f(_x_0)_＝__M__
(1)∀x∈D，都有 f(x)≥M ； (2)∃x0∈D，使得__f(_x_0)_＝__M__
M是函数y＝f(x)的最大值
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) . 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n) . 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的 零点 .
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c (a>0)
在它的定义域上单调递增时， 义域上单调递减时，我们就称它是
我们就称它是增函数
减函数
增函数
减函数
图象 描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ，那么就说函数y＝ f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
④对数函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)，对应 f(xy)＝f(x)＋f(y)或 f xy＝f(x)－ f(y)或 f(xn)＝nf(x)；
⑤正弦函数f(x)＝sin x，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin 2α－
sin 2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；
知识点五 函数性质的综合应用
(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把 不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的 函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶 性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内， 或已知单调性的区间内求解.
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助 奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想 求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观 求解相关问题.
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函 数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式 等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然 后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
知识点二 函数的单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)， 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那 那么就称函数f(x)在区间I上单 么就称函数f(x)在区间I上单调递 定义 调递增，特别地，当函数f(x) 减，特别地，当函数f(x)在它的定
由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大 小等.
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考 中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、 对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再 利用单调性解决相关问题.
知识点六 二次函数与幂函数
若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ 2 对称.
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝
f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 成中心对称.
M是函数y＝f(x)的最小值
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有
fx1－fx2 x1－x2
>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔
f(x)在区间I上单调递增(减).
2.在公共定义 域 内 ， 增 函 数 ＋ 增 函 数 ＝ 增 函 数 ， 减 函 数 ＋ 减 函 数 ＝ 减
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 . 4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的 子集. 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义 域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
图象 (抛物线)
y＝ax2＋bx＋c (a<0)
函数 定义域
值域
对称轴 顶点 坐标
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
_R__
__4_a_c4_－a__b_2，__＋__∞___
__－__∞__，__4_a_c4_－a__b_2_
x＝_－__2_ba__
__－__2b_a_，__4_a_c4－_a_b_2__
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点 (1,1) 和 (0,0) ，且在(0，＋∞)上单调 递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点 (1,1) ，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为 奇函数 ；当α为偶数时，y＝xα为 偶函数 .
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的 单调性解决. (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系， 应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方 程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函 数，要注意衔接点的取值.
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集 合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应. (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数.
函数解析式的求法 (1)配凑法.(2)待定系数法.(3)换元法.(4)解方程组法.