九年级数学上册第二十一章一元二次方程基础过关单元测试卷含解析新版新人教版

第二十一章 一元二次方程 （基础过关）
考试时间:120分钟
一、选择题（每小题3分,共36分）
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 ( ) A. 22
10x x
+
= B. 2
0ax bx c ++= C. (1)(2)1x x -+= D. 223250x xy y --= 【答案】C 。

【解析】一元二次方程必须满足四个条件:（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数。

由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案: A 、22
1
0x x +
=不是整式方程,故本选项错误； B 、当a =0时,方程就不是一元二次方程,故本选项错误；
C 、由原方程,得230x x +-=,符合一元二次方程的要求,故本选项正确；
D 、方程2
2
3250x xy y --=中含有两个未知数；故本选项错误。

故选C 。

【考点】一元二次方程的定义。

2.方程8652-=a a 化为一元二次方程一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5,6,-8 B. 5,-6,-8 C. 5,-6,8 D. 6,5,-8 【答案】C
【解析】先将该方程化为一般形式:25680a a -+=.从而确定二次项系数为5,一次项系数为-6,常数项为8 答案选C 。

【考点】一元二次方程的项和系数
3、若5200k +<,则关于x 的一元二次方程240x x k +-=的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 【答案】A
【分析】根据已知不等式求出k 的范围,进而判断出根的判别式的值的正负,即可得方程解的情况。

【解析】∵5k+20＜0,即k ＜﹣4,∴△=16+4k ＜0,则方程没有实数根．故选A
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根． 4、某市从2018年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计,该市2018年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2020“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2019年、2020年“竹文化”
旅游收入的年平均增长率约为（ ） A ．2% B ．4.4% C ．20% D ．44%
【分析】设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据2018年及2020年“竹文化”旅游收入总额,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论． 【解答】解:设该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x, 根据题意得:2（1+x ）2
=2.88,
解得:x 1=0.2=20%,x 2=﹣2.2（不合题意,舍去）．
答:该市2019年、2020年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%． 故选:C ．
【考点】一元二次方程的应用．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
5．关于x 的一元二次方程()2
2
110a x x a -++-=的一个根是0,则a 值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．1
2
【答案】B ．
【解析】根据题意得:210a -=且10a -≠,解得:1a =-,故选B ． 【考点】1．一元二次方程的解；2．一元二次方程的定义． 6.三角形两边长分别为3和6,第三边是方程
的根,则三角形的周长为( )
A .13
B .15
C .18
D .13或18
【答案】A
【解析】解一元二次方程可求得方程的两根为
,那么根据三角形的三边关系,可知3＜
第三边＜9,得到合题意的边为4,进而求得三角形周长为3+4+6=13．故选A 【考点】解一元二次方程,三角形的三边关系,三角形的周长 7、根据下列表格对应值:
x
3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++
-0.02
0.01
0.03
判断关于x 0(0)ax bx c a ++=≠x A.x ＜3.24 B.3.24＜x ＜3.25 C.3.25＜x ＜3.26 D.3.25＜x ＜3.28
【答案】B
【解析】当3.24＜x ＜3.25时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正, 说明在3.24＜x ＜3.25范围内一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=, 即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选B. 【考点】利用夹逼法求近似解
8．在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场．设有x 个队参赛,根据题意,可列方程为 A ．
1
2
x （x –1）=36 B ．
1
2
x （x +1）=36 C ．x （x –1）=36 D ．x （x +1）=36
【答案】A
【解析】设有x 个队参赛,根据题意,可列方程为:
1
2
x （x –1）=36,故选A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系,注意2队之间的比赛只有1场,最后的总场数应除以2． 9.已知12x x 、是方程2630x x ++=的两个实数根,则21
12
x x x x +的值等于 A ．6- B ．6 C ． 10 D ．10- 【答案】C
【解析】∵12x x 、是方程2630x x ++=的两个实数根,∴126x x +=-,123x x ⋅=。

∴
()()22
22121221211212122623103
x x x x x x x x x x x x x x +---⋅++====。

故选C 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。

10.关于x 的方程0122=-++k kx x 的根的情况描述正确的是. A ．k 为任何实数,方程都没有实数根
B ．k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
C ．k 为任何实数,方程都有两个相等的实数根
D ．根据k 的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 【答案】B 。

【解析】求出一元二次方程根的判别式的值,然后据此判别,从而得出答案；
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k ）2
－4×（k －1）=4k 2
－4k+4=（2k ﹣1）2
+3＞0,
∴不论k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根。

故选B 。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【点睛】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键． 11、已知a 是方程21=0x x +-的一个根,则
22
21
1a a a
---的值为 A ．
15
-+ B ．
2
5
1±-
C ．－1
D ．1
【答案】D 【解析】∵
()()()()()()()()()22221212111====1111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+------+--+-+-+-+, 又∵a 是方程21=0x x +-的一个根,∴21=0a a +-,即2=1a a +。

∴
22
211
==111
a a a ---。

故选D 。

【考点】方程根的定义,分式化简,代数式代换。

12、已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形
ABC 的两条边长,则三角形ABC 的周长为（ ）
A. 10
B. 14
C. 10或14
D. 8或10 【答案】B.
【分析】∵2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根,∴4430m m -+=,解pol 得4m =. ∴方程为28120x x -+=,解得122,6x x == . ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长,
∴根据三角形三边关系,只能是6,6,2.∴三角形ABC 的周长为14.故选B. 【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程；确定三角形的条件. 二、填空题（每小题3分,共18分）
13、扬帆中学有一块长30m,宽20m 的矩形空地,计划在这块空地上划出四分之一的区域种花,小禹同学设计方案如图所示,求花带的宽度．设花带的宽度为x m,则可列方程为 .
【答案】（30–2x ）（20–x ）=
3
4
×20×30 【解析】设花带的宽度为x m,则可列方程为（30–2x ）（20–x ）=
3
4
×20×30,故选D ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 14、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根,则代数式_____21682=-++-a a a . 【答案】2
【分析】由方程043222=-+-a ax x 没有实数根,得0 ∆,求的a 的范围,然后根据此范围化简代数式。

【解析】∴0 ∆,即()0432442 -⨯⨯-a a ,0862 +-a a ,得42 a 则代数式224|2||4|21682=-+-=-+-=-++-a a a a a a a 【考点】根的判别式。

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。

当0 ∆时,方程没有实数根。

同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。

15、(
)()2
2
22
22260,a b
a
b a b +-+-=+=则 。

【答案】3．
【解析】用换元法:22a b x +=,则原化为: x 2
–x –6=0解得, x =–2或3.
即222a b +=-或223a b +=,因为220a b +≥,所以223a b += 故答案为3.
【考点】因式分解法解一元二次方程（换元法）；
16．关于x 的方程x 2–2x +2m –1=0有实数根,且m 为正整数,求m 的值及此时方程的根 ． 【答案】x 1=x 2=1．
【解析】∵关于x 的方程x 2–2x +2m –1=0有实数根, ∴b 2–4ac =4–4（2m –1）≥0,解得m ≤1,
∵m 为正整数,∴m =1,∴x 2
–2x +1=0,则（x –1）2
=0,解得:x 1=x 2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式,正确得出m 的值是解题关键． 17.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x ﹣1
4
＝0的两个实数根,且x 1﹣x 2＝1,则m ＝______．
【答案】
12
【分析】先根据根与系数的关系得出x 1+x 2＝2m ﹣1 ①,x 1x 2＝﹣1
4②,结合x 1﹣x 2＝1求出12
1x m x m =⎧⎨=-⎩,
将其代入②求解可得．
【解析】根据题意知x 1+x 2＝2m ﹣1 ①,x 1x 2＝﹣1
4
②, ∵x 1﹣x 2＝1 ③,
由①③,得:12
1x m
x m =⎧⎨=-⎩,
代入②,得:m （m ﹣1）＝﹣1
4
, 解得m ＝
12,故答案为:12
． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是掌握1x ,2x 是一元二次方程
20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时,12b
x x a +=-
,12c x x a
=． 18、已知实数a ,b 分别满足a 2
﹣6a +4=0,b 2
﹣6b +4=0,且a ≠b ,则b a
a b
+的值是 . 【答案】7
【分析】根据已知两等式得到a 与b 为方程x 2
﹣6x +4=0的两根,利用根与系数的关系求出a +b 与ab 的值,所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算,再利用完全平方公式变形,将a +b 与ab 的值代入计算即可求出值
【解析】根据题意得:a 与b 为方程x 2
﹣6x +4=0的两根,∴a +b =6,ab =4,
则原式=
()2
236874
a b ab ab +--==
【考点】根与系数的关系．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键. 三、解答题（共46分）
19、（6分）按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）:
（1）2420x x +-=；（公式法）（2）2410x x -+=；（配方法） （3）x (x －2)＋x －2＝0． 【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元
二次方程有四种解法:直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。

本题即应用因式分解
（2）移项,得241x x -=-．配方,得24414x x -+=-+, 2(2)3x -=
由此可得2x -= ∴12x =22x =-（3）把方程左边因式分解,得(2)(1)0x x -+=． 从而,得20x -=,或10x +=；所以1221x x ==-，。

【考点】解一元二次方程。

20、（8分）（2020·山东省初三三模）阅读下面材料:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母d 表示,我们可以用公式(1)
2
n n S na d -=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n 表示数的个数,a 表示第一个数的值,）
例如:3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)
2
-×2＝120． 用上面的知识解决下列问题．
（1）计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116
（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
【答案】（1）1180；（2）到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【分析】（1）根据题意,由公式(1)
2
n n S na d -=+
⨯来计算等差数列的和,即可得到答案； （2）根据题意,设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程,解方程即可得到答案．
【解析】（1）由题意,得6d =,20n =,2a =, ∵(1)2
n n S na d -=+
⨯,∴20(201)
22062S -=⨯+
⨯401140=1180=+； （2）解:设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意,得 1200x+
(1)
2
x x -×400＝25200,整理得:（x ﹣9）（x+14）＝0, ∴x ＝9或x ＝﹣14（负值舍去）．∴2009+9-1=2017； 答:到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,以及计算等差数列的和公式,解题的关键是熟练掌握题意,正确找出等量关系,列出方程进行解题．
21、（8分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业,据统计,目前广东5G 基站的数量约1.5万座,计划到2020年底,全省5G 基站数是目前的4倍,到2022年底,全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底,全省5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划,求2020年底到2022年底,全省5G 基站数量的年平均增长率． 【答案】（1）计划到2020年底,全省5G 基站的数量是6万座． （2）2020年底到2022年底,全省5G 基站数量的年平均增长率为70%． 【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答:计划到2020年底,全省5G 基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底,全省5G 基站数量的年平均增长率为x , 根据题意,得:6（1+x ）2=17.34, 解得:x 1=0.7=70%,x 2=–2.7（舍去）．
答:2020年底到2022年底,全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键． 22、（8分）已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根12,x x . （1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-,求k 的值； 【解析】（1）依题意得
0≥,即()2
2140k k ⎡--⎤-≥⎣⎦ 。

解得1
2
k ≤。

（2）依题意212122(1) , x x k x x k +=-= , 以下分两种情况讨论:
①当120x x +≥时,则有12121x x x x +=-,即()2211k k -=-,解得121==k k
∵1
2
k ≤
,∴121==k k 不合题意,舍去 。

②021<+x x 时,则有()12121x x x x +=--,即()()
2211k k -=--,解得11k =,23k =- ∵1
2
k ≤
,∴3k =-。

综合①、②可知3k =- 。

【考点】一元二次方程根与系数的关系及判别式
23、（8分）已知:关于x 的一元二次方程x 2
﹣（m ﹣3）x ﹣m 2
=0．（1）求证:方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x 1,x 2,且|x 1|=|x 2|-2,求m 的值及此时这个方程的根。

【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣1+2,x 2 =﹣1﹣2或x 1=1﹣26,x 2=1+26． 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式△=b 2﹣4ac 的结果判断即可,当△＞0时,有两个不相等的实数根,当△=0时,有两个相等的实数根,当△＜0时,方程没有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=c
a
,表示出两根的关系,得到x 1,x 2异号,然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解. 【解析】（1）一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0, ∵a=1,b=﹣（m ﹣3）=3﹣m,c=﹣m 2
,
∴△=b 2﹣4ac=（3﹣m ）2﹣4×1×（﹣m 2）=5m 2﹣6m+9=5（m ﹣35）2+36
5
, ∴△＞0,则方程有两个不相等的实数根； （2）∵x 1•x 2=
c
a
=﹣m 2≤0,x 1+x 2=m ﹣3,∴x 1,x 2异号, 又|x 1|=|x 2|﹣2,即|x 1|﹣|x 2|=﹣2,
若x 1＞0,x 2＜0,上式化简得:x 1+x 2=﹣2,∴m ﹣3=﹣2,即m=1, 方程化为x 2+2x ﹣1=0,解得:x 1=﹣1+2,x 2=﹣1﹣2,
若x 1＜0,x 2＞0,上式化简得:﹣（x 1+x 2）=﹣2,∴x 1+x 2=m ﹣3=2,即m=5, 方程化为x 2﹣2x ﹣25=0,解得:x 1=1﹣26,x 2=1+26． 综上:略
【考点】根的判别式及解一元二次方程；分类讨论。

24．(8分)如图13－1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a 米. （1）用含a 的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的8
3
,求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价1y （元）、2y （元）与修建面积)(2m x 之间的函数关系如图13－2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元？
考点:一次函数的应用；一元二次方程的应用．.
分析:（1）用含a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的,列出方程进行计算即可；
（3）根据图象,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解,再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．
解答:解:（1）由图可知,花圃的面积为（40﹣2a ）（60﹣2a ）； （2）由已知可列式:60×40﹣（40﹣2a ）（60﹣2a ）=×60×40, 解以上式子可得:a 1=5,a 2=45（舍去）, 答:所以通道的宽为5米；
（3）设修建的道路和花圃的总造价为y ,由已知得y 1=40x ,
y 2=,则y =y 1+y 2=；
x 花圃=（40﹣2a ）（60﹣2a ）=4a 2﹣200a +2400； x 通道=60×40﹣（40﹣2a ）（60﹣2a ）=﹣4a 2+200a ,
当2≤a ≤10,800≤x
花圃≤2016,384≤x 通道≤1600, ∴384≤x ≤2016,
所以当x 取384时,y 有最小值,最小值为2040,即总造价最低为23040元, 当x =383时,即通道的面积为384时,有﹣4a 2+200a =384,
图13－2
图13－
解得a1=2,a2=48（舍去）,
所以当通道宽为2米时,修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是表示出花圃的长和宽．。