(完整版)第十二讲简单的三角恒等变换经典难题复习巩固

精典专题系列第12讲
简单的三角恒等变换
一、导入：难解的结
古罗马时代，一位预言家在一座城市内设下了一个奇特难解的结，并且预言，将来解开这个结的人必定是亚细亚的统治者。

长久以来，虽然许多人勇敢尝试，但是依然无人能解开这个结。

当时身为马其顿将军的亚历山大，也听说了关于这个结的预言，于是趁着驻兵这个城市之时，试着去打开这个结。

亚历山大连续尝试了好几个月，用尽了各种方法都无法打开这个结，真是又急又气。

有一天，他试着解开这个结又失败后，恨恨地说：“我再也不要看到这个结了。

”
当他强迫自己转移注意力，不再去想这个结时，忽然脑筋一转，他抽出了身上的佩剑，一剑将结砍成了两半儿–结打开了。

大道理：勇敢地跳出思想的绳索，打开心结。

过后会发现，事情实际上没有看到的和想象中的那么困难。

积极一点，什么都会给你让路。

二、知识点回顾：
1．半角公式
(1)用cosα表示sin2
α
2，cos
2
α
2，tan
2
α
2.
sin2
α
2＝
1－cosα
2；cos
2
α
2＝
1＋cosα
2；tan
2
α
2＝
1－cosα
1＋cosα
.
(2)用cosα表示sin
α
2，cos
α
2，tan
α
2.
sin
α
2＝±
1－cosα
2；cos
α
2＝±
1＋cosα
2；tan
α
2
＝±
1－cosα
1＋cosα
.
(3)用sinα，cosα表示tan
α
2.
tan
α
2＝
sinα
1＋cosα
＝
1－cosα
sinα.
2．形如asinx＋bcosx的化简
asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝
b
a.
三、专题训练：
考点一三角函数式的化简
化简：(
1
tan
α
2
－tan
α
2)·(1＋tanα·tan
α
2)．
[自主解答]原式＝(
cos
α
2
sin
α
2
－
sin
α
2
cos
α
2
)·(1＋
sinα
cosα·
sin
α
2
cos
α
2
)＝
cosα
sin
α
2cos
α
2
·(1＋
sinα
cosα·
sin
α
2
cos
α
2
)＝
2cosα
sinα
2cosα
sinα
·
sinα
cosα
·
sin
α
2
cos
α
2 DSE金牌化学专题系列
＝2cosα
sinα＋2sin α2cos α2
＝2cosαsinα＋4sin 2α2sinα＝2cosα＋4sin 2α2sinα＝2(1－2sin 2α2)＋4sin 2
α2sinα＝2sin α
. 变式训练：化简1＋cosθ－sinθ1－cosθ－sinθ＋1－cosθ－sinθ
1＋cosθ－sinθ.
解：原式＝2cos 2θ2－2sin θ2cos θ22sin 2θ2－2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2－2sin θ2cos θ
2
2cos 2θ2－2sin θ2cos θ
2＝2cos θ2(cos θ2－sin θ2)2sin θ2(sin θ2－cos θ2)＋2sin θ2(sin θ2－cos θ2)2cos θ2(cos θ2－sin θ2
)
＝－cos θ2sin θ2－sin θ2cos θ2＝－cos 2θ2＋sin 2
θ2sin θ2cos θ2
＝－2
sin θ.
考点二 三角函数式的求值
(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝2
3
，求cos(α＋β)的值．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－1
7
，求2α－β的值．
[自主解答] (1)∵0<β<π
2
<α<π，
∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β
2<π，
∴cos(α2－β)＝ 1－sin 2(α2－β)＝53，
sin(α－β2
)＝
1－cos 2(α－β2)＝45
9
，
∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α
2－β)]
＝cos(α－β2)·cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋23×459＝75
27
，
∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729
. (2)∵tanα＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tanβ1－tan (α－β)tanβ＝12－171＋12×17
＝1
3
>0，
∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tanα
1－tan 2α＝2×
131－(13)2＝34
>0，
∴0<2α<π
2
，
∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋17
1－34×1
7
＝1.
∵tanβ＝－1
7<0，
∴π
2
<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π
4
.
变式训练：已知α是锐角，且
(sin2α＋cos2α－1)(sin2α－cos2α＋1)
sin4α
＝ 3.求角α的值．
解：∵(sin2α＋cos2α－1)(sin2α－cos2α＋1)sin4α
＝sin 22α－(cos2α－1)22sin2α·cos2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos2α－12sin2α·cos2α＝－2cos 22α＋2cos2α2sin2α·cos2α＝1－cos2αsin2α
＝2sin 2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα， ∴由已知可得tanα＝3，又∵α是锐角． ∴α＝π3
.
考点三
asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用
设函数f(x)＝sin(π4x －π6)－2cos 2π
8
x ＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，4
3]时，y ＝g(x)的最大值．
[自主解答] (1)f(x)＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32 sin π4x －32cos π4x ＝ 3 sin(π4x －π
3)，
故f(x)的最小正周期为T ＝2π
π4
＝8.
(2)在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))， 它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))．
由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，
∴g(x)＝f(2－x)＝ 3 sin[π4(2－x)－π3]＝ 3 sin(π2－π4x －π3
)＝ 3 cos(π4x ＋π
3)．
当0≤x ≤4
3
时，
π3≤π4x ＋π3≤2π3
. ∴当x ＝0时，即π4x ＋π3＝π
3时，
g(x)max ＝3cos π3＝3
2
.
思考：将本例(2)中“直线x ＝1对称”改为“坐标,原
点对称”，如何求解？
解：设(x ，y )为y ＝g (x )图象上的任意一点，则(x ，y )关于原点的对称点为(－x ，－y )，∴－y ＝3sin (－π4x －π3
)
即g(x)＝3sin(π4x ＋π
3)
又∵0≤x ≤4
3
∴π3≤π4x ＋π3≤23π ∴32≤3sin(π4x ＋π
3)≤3， ∴g(x)的最大值为 3.
变式训练：已知集合
P ＝{x|x 2－
34πx ＋π28≤0}，函数f(x)＝4sin 2(π
4
＋x)－23cos2x ＋t(x ∈P)最小值为3. (1)求t 的值；
(2)若不等式2＋m<f(x)在x ∈P 上恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝2[1－cos(π2＋2x)]－23cos2x ＋t ＝2sin2x －23cos2x ＋2＋t ＝4sin(2x －π
3
)＋2＋t ，
由P ＝{x|x 2－34πx ＋π2
8≤0}，可得π4≤x ≤π
2
，
所以π6≤2x －π3≤2π3，则有12
≤sin (2x －π
3)≤1.
因为函数f(x)＝4sin 2(π4＋x)－23cos2x ＋t(x ∈P)的最小值为3，所以4×1
2＋2＋t ＝3，解得t ＝－1.
(2)因为2＋m<f(x)在x ∈P 上恒成立，则由已知可得2＋m<3，得m<1，故m 的取值范围是(－∞，1)．
[考题印证] (2010·全国新课标)若cosα＝－4
5，α是第三象限的角，则1＋tan
α
21－tan
α
2
＝ ( )
A ．－12 B.1
2
C ．2
D ．－2
[规范解答] ∵cosα＝－4
5
，且α是第三象限的角，
∴sinα＝－3
5
，
∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝(cos α2＋sin α2)2(cos α2－sin α2)(cos α2＋sin α2)＝1＋sinαcos 2α2－sin 2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－
45
＝－1
2.
四、技法巧点：
1．三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分． (2)三角函数式化简的要求
①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 2．三角函数式的求值
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及 角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
五、巩固练习：
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．2π，3 B ．2π，1 C ．π，3 D ．π，1
解析：由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π
6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小
正周期为T ＝π，最大值为3.
2．已知cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π
6
＋α)的值是( )
A.2＋33 B ．－2＋33 C.2－33 D.－2＋33
解析：sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)＝1－cos 2(π6－α)＋cos(π
6－α)＝2＋33
.
3．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1
sin x 2cos x 2
，则f (π
12)的值为( )
A ．－4
3
3 B ．8 C ．
4 3 D ．－4 3
解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2
x
212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4
sin π6
＝8.
4．(2011·烟台模拟)已知sin(π4－x )＝3
5
，则sin2x 的值为( )
A.725
B.1625
C.1425
D.1925
解析：sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝7
25
.
5．(2011·东营模拟)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．[－1，2]
C ．(0，2]
D ．(1，2＋1
2
]
解析：由0<x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，而π4<x ＋π4≤7
12π，得1<t ≤ 2.又t 2＝1＋2sin x cos x ，
得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，有1<y ≤12(2＋1)2－1＝2＋1
2
，故选D.
6．已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z)，则cos 2α－β
2
＝( )
A.c 2a 2＋b 2
B.a 2c 2＋b 2
C.b 2a 2＋c 2
D.a c 2＋b 2
解析：在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2＋y 2＝1的两个交点，如图，从而|AB |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|c |
a 2＋
b 2
，由平面几何知识知|OA |2
－(12|AB |)2＝d 2
，即1－2－2cos (α－β)4＝
d 2
＝c 2
a 2＋b
2，
∴cos 2
α－β2＝c 2
a 2＋
b 2
. 二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．若sin(3π2－2x )＝3
5
，则tan 2x ＝________.
解析：sin(3π2－2x )＝35⇒cos2x ＝－35，tan 2
x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos2x
21＋cos2x 2
＝1－cos2x 1＋cos2x
＝4.
8．设f (x )＝1＋cos2x 2sin (π2
－x )
＋sin x ＋a 2sin(x ＋π
4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________.
解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π
4
)
＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π
4)
＝(2＋a 2)sin(x ＋π
4)．
依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.
9．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a·b ＝2
5，则tan(α＋π4
)的值为________．
解析：由a·b ＝25，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2
5
，
即1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝25，即sin α＝3
5
.
又α∈(π2，π)，∴cos α＝－4
5
，
∴tan α＝－3
4，∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34
＝17
.
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知34π＜α＜π，tan α＋1tan α＝－10
3. 求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－8
2sin (α－π
2
)
的值．
解：∵tan α＋1tan α＝－10
3
，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，
解得tan α＝－3或tan α＝－1
3
.
又∵3π4＜α＜π，∴tan α＝－13
.
又∵5sin 2
α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2
α2－82sin (α－π2
)＝5·1－cos α2＋4sin α＋11·1＋cos α2
－8
－2cos α
＝5－5cos α＋8sin α＋11＋11cos α－16－22cos α＝8sin α＋6cos α－22cos α＝8tan α＋6－22
＝－526.
11．(2010·天津高考)在△ABC 中，AC AB ＝cos B
cos C
.
(1)证明B ＝C ；
(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π
3
)的值．
解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B
cos C
.
于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π＜B －C ＜π， 从而B －C ＝0.所以B ＝C .
(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得2B ＝π－A ，
故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝1
3
.
又0＜2B ＜π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝22
3
.
从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝429，cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－7
9
.
所以sin(4B ＋π3)＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝42－73
18
.
12．函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且2sin 2α＋sin2α1＋tan α
＝k ，π4<α≤π
2，
(1)把y 表示成k 的函数f (k )； (2)求f (k )的最大值．
解：(1)∵k ＝2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α
＝2sin α(sin α＋cos α)
cos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4<α≤π
2，∴sin α＋cos α>0. ∴sin α＋cos α＝
1＋k .∴y ＝
1＋k －2k ＋1.
由于k ＝2sin αcos α＝sin2α，π4<α≤π
2，
∴0≤k <1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k <1)．
(2)设
1＋k ＝t ，则k ＝t 2－1,1≤t < 2.
∴y ＝t －(2t 2－2)＋1， 即y ＝－2t 2＋t ＋3(1≤t <2)．
∵关于t 的二次函数在区间[1，2)内是减函数， ∴t ＝1时，y 取最大值为2.
六、反思总结：
当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）
1．已知sin10°＝a ，则sin70°等于 ( )
A ．1－2a2
B ．1＋2a2
C ．1－a2
D ．a2－1 解析：由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2.
2．(2011·海淀模拟)定义运算a ⊕b ＝a 2－ab －b 2，则sin π6⊕cos π
6
＝ ( )
A ．－12－34
B ．－12＋3
4 C ．－12 D.34
解析：sin π6⊕cos π6＝sin 2π6－sin π6cos π6－cos 2π6＝－12－34
.
3．已知角α在第一象限且cosα＝3
5，则1＋2cos (2α－π
4)
sin (α＋π
2
)
等于( )
A.25
B.7
5 C.145 D ．－25
解析：原式＝1＋2(cos2αco s π4＋sin2αsi n π
4
)cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos 2α＋2sinαcosα
cosα
＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝14
5.
4．(2010·全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－4
3
，则tanα＝________.
解析：由题设得tan(π＋2α)＝tan2α＝－4
3
，
由二倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan 2α
＝－4
3， 整理得2tan 2α－3tanα－2＝0，解得tanα＝2，或tanα＝－1
2
，
又α是第二象限的角，所以tanα＝－1
2
.
5．如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P(点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α1
3 cos α2＋α33
－sin
α13sin α2＋α3
3
＝________.
解析：记相应的三个圆的圆心分别是O 1，O 2，O 3，半径为r.依题知，可考虑特殊情形，从而求得相应的值，当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知此时有
α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π
3
，
此时cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π3＝cos(π＋π3)＝－cos π3＝－1
2
.
6.已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，|a －b|＝2
5
5.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π2<β<0<α<π2，且sinβ＝－5
13，求sinα的值．
解：(1)∵|a|＝1，|b|＝1，
∴|a －b|2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ) ＝1＋1－2cos(α－β)． ∵|a －b|2＝(255)2＝4
5
，
∴2－2cos(α－β)＝4
5，
解得cos(α－β)＝3
5
.
(2)∵－π2<β<0<α<π2，
∴0<α－β<π.
由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45.
由sinβ＝－513，得cosβ＝12
13
.
∴sinα＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝33
65
.。