高三数学一轮复习：第八章 立体几何 ppt

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证明：因为 E∈平面 ABD，H∈平面 ABD， 所以 EH⊂平面 ABD. 因为 EH∩FG＝O， 所以 O∈平面 ABD. 同理可证 O∈平面 BCD. 所以 O∈平面 ABD∩平面 BCD＝BD. 即 B，D，O 三点共线．
2019年5月13日
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点 拨： (1)本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线 的基本思路：首先由其中的两个点 B 和 D 确定一条直线，然 后证明点 O 也是直线 BD 上的点，也就是证明点 O 是两个平 面的交线上的点．在证明点 O 也是直线 BD 上的点时，运用 了公理 1 以及公理 3，这种方法是证明点共线的通用方法．(2) 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第 三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式
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解：在图 3 中，过点 E 作 EN 平行于 B1B 交 CD 于点 N， 连接 NB 并延长交 EF 的延长线于点 M，连接 AM，则 AM 即为 有阴影的平面与平面 ABCD 的交线．
在图 4 中，延长 DC，过点 C1 作 C1M∥A1B 交 DC 的延长 线于点 M，连接 BM，则 BM 即为有阴影的平面与平面 ABCD 的交线．
• 8.3 空间点、线、面之 间的位置关系
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1．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此 平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________． (2)公理 2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 公理 2 的推论如下： ①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面． (3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________ 过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共 线、三线共点等问题．
所以四边形 BEFG 为平行四边形， 所以 EF∥BG.由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH， 所以 EF 与 CH 共面．又 D∈FH，所以 C，D，F，E 四点 共面．
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点 拨： 点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先 由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在 该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证 明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问 题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来 进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：首先由部分 点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者 推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．
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下列如图所示的正方体和正四面体中，P、 Q、R、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是 ________．(填所有满足条件图形的序号)
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解：易知①③中 PS∥QR，所以四点共面．
在②中构造如图所示的含点 P，S，R，Q 的正六边形，易 知四点共面．在④中，由点 P，R，Q 确定平面 α，由图象观察 知点 S 在平面 α 外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.
(2)③0，π2 互相垂直 异面垂直
3．同一条直线 4．相等或互补
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(2017届河北承德实验中学高三测试)空间四点 A、B、 C、D 共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
解：空间四点 A、B、C、D 共面不共线，有两种情形：① 无任何三点共线，但四点共面，②其中某三点共线，另一点在 该直线外，这两种情况都有三点不共线．故选 B.
证明：(1)连接 EF，CD1，A1B. 因为 E，F 分别是 AB、AA1 的中点，所以 EF∥BA1.
又 A1B∥D1C，所以 EF∥CD1， 所以 E，C，D1，F 四点共面．
(2)因为 EF∥CD1，EF＜CD1，
所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 P∈CE，CE 平面 ABCD，
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类型一 基本概念与性质问题
(2017福建闽侯三中月考)ABCD－A1B1C1D1 是正方体，在 图 1 中，E、F 分别是 D1C1、B1B 的中点，画出图 1、2 中有阴影的平 面与平面 ABCD 的交线，并给出证明．
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一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
()
A．AB∥CD B．AB 与 CD 相交 C．AB⊥CD D．AB 与 CD 所成的角为 60°
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解：将展开图还原，得如图所示正方体，
解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不 一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选 D.
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(2015·福建六校联考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面 给出四个命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b 一定是异面直线． 上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．
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类型四 异面直线问题
(2017上海徐汇区学习能力诊断)已知空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是
边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD 的中点． (1)求证：BC 与 AD 是异面直线； (2)求证：EG 与 FH 相交．
2.
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18Leabharlann (2017广东梅州丰顺一中月考)如图所示，正 方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点．
求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三线共点．
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得 P∈平面 ABCD.
同理 P∈平面 ADD1A1.
又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA，
所以 P∈直线 DA.所以 CE、D1F、DA 三线共点．
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类型三 共面问题
如图，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB
1
1
＝90°，BC 綊2AD，BE 綊2FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
在图 4 中，C1M 在平面 DCC1D1 内，因此与 DC 的延长线相交， 交点为 M，则点 M 为平面 A1C1B 与平面 ABCD 的公共点，又点 B 是这两个平面的公共点，因此直线 BM 是两平面的交线．
点 拨： 本题解题的关键在于构造平面，可考虑过一条直线及 另一条直线上的点作平面，进而找出两面相交的交线．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
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1 解：(1)证明：因为 GH 是△AFD 的中位线，所以 GH 綊2
AD.又 BC 綊12AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 为平行
四边形． (2)C，D，F，E 四点共面． 1 理由：BE 綊2AF，又由 G 为 FA 的中点知，BE 綊 FG，
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2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共面直线相 平交 行直 直线 线： ：同 同一 一个 个平 平面 面内 内， ，有且只有
. .
异面直线：不同在任何一个平面内，
.
(2)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指 “不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不 平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两 条直线”． ②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行 又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直 观性．
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证明：在图 3 中，因为直线 EN∥BF，所以 B、N、E、F 四点 共面，因此 EF 与 BN 相交，交点为 M.因为 M∈EF，且 M∈NB，而 EF⊂平面 AEF，NB⊂平面 ABCD，所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点．又因为点 A 是平面 AEF 和平面 ABCD 的公共点，故 AM 为两平面的交线．
易知 AB 与 CD 是异面直线，且它们所成的角为 60°. 故选 D.
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类型二 点共线、线共点问题
如图，E，F，G，H 分别是空间四边形 AB，BC，CD， DA 上的点，且 EH 与 FG 交于点 O.求证：B，D，O 三点共线．
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③异面直线所成的角：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一 点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面 直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是 ____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直 线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．
3．平行公理 公理 4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线 的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据． 4．等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角____________．
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自 查 自 纠： 1．(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点
解：公理是不需要证明的原始命题，而选项 A 是面 面平行的性质定理．故选 A.
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(2017黑龙江哈师大附中月考)若∠AOB＝∠A1O1B1， 且 OA∥O1A1，OA 与 O1A1 的方向相同，则下列结论中正确
的是
()
A．OB∥O1B1 且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行
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(2017河南南阳一中月考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，O 为 CD 上的 动点，VP－OAB 恒为定值，且△PDC 是正三角形，则直线 PD 与直线 AB 所成角的 大小是________．
解：因为 VP－OAB 为定值，所以 S△ABO 为定值， 即 O 到线 AB 的距离为定值． 因为 O 为 CD 上的动点，所以 CD∥AB. 所以∠PDC 即为异面直线 PD 与 AB 所成角． 因为△PDC 为等边三角形，所以∠PDC＝60°. 所以 PD 与 AB 所成角为 60°.故填 60°.
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(2017海南儋州市洋浦中学月考)在下列命题中，不是公理的 是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线
解：由公理 4 知①正确；当 a⊥b，b⊥c 时，a 与 c 可以 相交、平行或异面，故②错；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β， 并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”，故④错．故 填②③④.
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