几种常用的插值方法

几种经常使用的插值办法之五兆芳芳创作
数学系信息与计较科学1班李平
指导老师：唐振先
摘要:插值在诸如机械加工等工程技巧和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在良多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值仍是数值积分微分方程数值解等数值计较的根本.本文归结了几种经常使用的插值办法,并复杂阐发了其各自的优缺点.
关头词:任意阶多项式插值,分段多项式插值.
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间拔出一些未知函数值,而插值函数的类型最复杂的选取是代数多项式.用多项式成立插值函数的办法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种根本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite和spine插值和分段线性插值.
一．任意阶多项式插值：
1.用单项式根本插值公式进行多项式插值：
多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A1+A2X+…A n X n-1,它是一个单项式根本函数X0,X1…X n-1的荟萃来定义多项式,由已知n个点（X,Y）组成的荟萃,可以使多项式通过没数据点,并为n个未知系数Ai
写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵.
虽然这个进程直不雅易懂,但它都不是成立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定.另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差别,这就导致了多项式计较中的舍入误差.
2.拉格朗日根本插值公式进行插值：
先机关一组插值函数L i （x ）=011011()()()()
()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i
i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式.与单项式
根本函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,成立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估量值受舍入误差要小得多.拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论阐发中很便利,但是,当插值节点增加、削减或其位置变更时全部插值函数均要随之变更,从而整个插值公式的结构也将产生变更,这在实际计较是很是倒霉的.
3.使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值：
首先,定义均差,f 在xi,xj 上的一阶均差()()
[,]j i i j j i f x f x f x x x x -=-，其
中(i ≠j).f 在x i ，x j ，x k 的二阶均差f[x i ，x j ，
x k]=
[,][,]
i j j k
j k
f x x f x x
x x
-
-，k阶均
f[x i…x k]=
01
[][]
k i k
k
f x x f x x
x
x
-
-
-.
由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f[x0]+f[x0-x1](x-x0)+…+f[x0，x n](x-x0)…(x-x n-1).实际计较中经常利用下表给出的均差表直接机关牛顿插值公式
,，
…
…
但凡拉格朗日插值解决的问题牛顿插值多项式都可以解决,不但如此,更重要的是牛顿均值克服了拉格朗日插值多项式的缺点,当需要提高近似值的精确度而增加结点时,它不必重新计较,只要在前面再计较一项均插便可,削减了计较量,不必计较全部系数,节约了大量人力,物力,财力.
增加插值多项式的阶数其实不一定能增加插值的精度,据定义,插值式,F(x)可以与结点(xi，yi)，i=1，…，n处的实际函数匹配,但却不克不及包管支点之间求F(x),还能很好的迫近产生(xi，yi)数据的实际函数F(x).例如,如果F(x)为一个已知的解析函数,并且定义F(x)的节点荟萃中数据点的数目可以增加（多项式F(x)的阶数也增加）,但是,由于F(x)的起伏增
加,那么插值式就可能在节点见振带,基于当实际函数F(x)平滑时,这种多项式摆动也可能产生,这种振荡不是由多项式摆动引起的,而是由多项式的项相加来求插值多项式时产生舍入误差造成的.有时多项式摆动可通过谨慎选择根本函数的取样来成为,但如果数据是由不容易重复实验取得的,就不克不及这么做了,这会司会用下面介绍分段插值法.
二、分段插值多项式
1、分段线性插值：
分段线性插值最复杂的插值计划,只要将每个相邻的节点用直线接起来,如此形成的一条新的折线就是分段线性插值函数,记作I n (x j )=y i 并且I n (x)在每个区间[x j x j+1]上是线性函数（j=0,1…n-1）
I n (X)可以定义为I n (x j )=0
()n i i i y l x =∑其中l 0(x)=101x x x x --，[0,1]x x x ∈
其他，l 0(x)=0
l j (x)=11j j j x x x x ----，1[,]j j x x x -∈；n l ()x =11j j j x x x x ++--1,[,];j j x x x +∈其他，l j (x)=0 l n (x)=11n n n x x x x ----1,[,];n n x x x -∈其他，l n (x)=0
I n (x j )具有很好的收敛性,即对于x ∈[a,b]有：当n 趋向于无穷大时,I n (x )=g(x)成立.
用I n (x )计较x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计较量与节点个数n 无关,但n 越大分段越多,插值误差就越小,但是,该办法折线在节点处显然不但滑,即I n (X)在节点处导数不
存在着影响它在需要滑腻插值曲线的（如机械插值等领域中的应用）.
2分段三次Hermite 插值
为清楚起见,先用三次Hermite 插值的机关办法加以解释,三次Hermite 插值的做法是,在[x k x k+1]上寻找一个次数不超出3的多项式H 3(x)它满足插值条件
H 3(x k )=f(x k ),H 3(x k+1)=f(x k+1)
'
3()k H x =m k ,'
31()k H x +=m k+1
相应的插值基函数为
于是有H 3(x)=αk （x ）f(x k )+αk+1（x ）f(x k+1)＋m k βk (x)＋m k+1βk+1(x).
如果函数Ψ满足条件：
（1） Ψ∈C 1[a,b]
（2） 满足插值条件：Ψ（x k ）
=f(x k ),
''()()k k x f x ϕ=,k=0,1,2,…,n. （3） 在每个小区间[x k-1,x k ],k=1,2,…,n 上Ψ是三次多项式. 则称Ψ为f 的分段三次Hermite 插值多项式.
按照分段线性插值和三次Hermite 插值公式可得到Ψ的表达式
Ψ(x)='0
[()()()()]n k k k k k f x x f x x αβ=+∑
其中
αk ，βk ，k=0,1,2,…,n ，称为以节点x 0，x 1,…,x n 的分段三次
Hermite插值基函数，对于给定n个插值点x1＜x2＜…＜x n 和其相应函数值 f(x k)和一阶函数值f '(x k),k=0,1,2,…,n.
显然,分段三次Hermite插值可以产生平滑变更的插值式,但它有一个明显的缺点,就是在每个界点处的函数斜率必须已知,而从实验中取得的数据,这个斜率就不存在.下面要介绍的三次样条插值可以解决这个问题,同时能得到插值式所期望的滑腻度.
3、三次样条插值
1.样条函数在[a,b]上取n+1个插值结点a=x0<x1<…<x n=b已知函数f(x)在这n+1个点的函数值为y k=f(x k)则在[a,b]上函数y=f(x)的m次样条插值函数S(x)满足:
(1)S(x)在(a,b)上直到m-1阶导数连续;
(2)S(x k)=y k,(k=01…n);
(3)在区间[x k,x k+1](k=01…n-1)上,S(x)是m次多项式.2.三次样条函数在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足: (1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续,即:s'(x k-0)=s'(x k+0)，s″(x k-0)=s″(x k+0)(k=01…n-1)
(2)S(x k)=y k(k=0，1，…n);
(3)在区间[x k x k+1](k=0，1…n-1)上S(x)是三次多项式.
3.三次样条函数的计较由二阶导数连续,设s″(x k)=m k,(k=0,1,…,n),m k是未知待定的数.因S(x)是分段三次多项式,则在每个区间[x k x k+1]内,S″(x)是分段一次多项式,
记
h k =x k+1-x k
则:s ″(x k )=111111k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x m m m m x xk x x h h ++++++----+=+-- 将上式在区间[x k x k+1]上积分两次,并且由S(x k )=y k S(x k+1)=y k+1,来确定两个积分常数.当x ∈[x k x k+1]时,332
2
'11111()()()()()6666k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x h x x h x x s x m m y m y m h h h h +++++----=+--+-,
利用S(x)一阶导数连续的性质,对上式求导,得:
22'1111()()1()()()226k k k k k k k k k k k k x x x x h s x m m m m y y h h h ++++--=+--+- 在上式中,令x=x k 得:
将上式中的k 换成k-1,得:s '(x)在[x k-1,x k ]上的表达式,将x=x k 代
入, '11(0)63k k k k
k k k k h h y y s x m m h ++-+=--+, 而s '(x k +0)=s '(x k -0)联立上述两式,得到关于m 的方程: 1111111
636k k k k k k k
k k k k k k h h h h y y y y m m m h h --+--+-+--++=-, 两边乘以16
k k h h -+得:
111111111
62()k k k k k k k k k k k k k k k k k h h y y y y m m m h h h h h h h h -+--+------++=-+++, 上式中,等式左边含未知量m k-1,m k ,m k+1等式右边y k-1,y k ,y k+1是已知的,令
11k k k k h h h λ--=+，11k k k k k h h h μλ-==-+，
11116()k k k k k k k k k y y y y c h h h h +-----=-+11111[,][,]66[,,]k k k k k k k k k f x x f x x f x x x h h +--+--==+
则得:λk m k-1+2m k +μk m k+1=C k (k=12…n-1).
三次样条插值的整体滑腻性有提高,应用普遍,但其误差估量较困难,并且它的求解代价很大,起精确度受端点条件影响很大.
总结:插值是数值阐发领域的一个主要部分,选择插值战略的第一步是了解应用的需要：你要在表格中查些什么？是否需要频频计较近似值？在条件有限的情况下,机关固定的阶数的插值多项式可能会是一种更复杂的办法有解决计划；当要频频计较迫近值时,推荐用牛顿多项式插值形式.
对表格数据的常规插值,推荐使用分段线性插值；如果插值的总体平滑很重要,应该考虑三次样条插值或三次Hermite 插值；同时当表格数据组成函数的导数不存在时,推荐使用三次样条插值.
参考文
1.（美）GeraldRecktenwald,数值办法和MATLAB 实现与应用
,陆金甫数值阐发根本[M]初等教育出版社1995版
3.杨顶辉,谢金星大学数学实验[M]清华大学出版社2005版。