吉林省吉林大学附属中学高三数学上学期第一次摸底考试试题 理 新人教A版

吉林省吉林大学附属中学2014届高三数学上学期第一次摸底考试
试题
1．本次考试使用条形码粘贴，学生需认真核对条形码粘贴上的信息，确认无误后粘到答题卡上指定位置；
2．客观题填涂必须使用2B 铅笔，且按要求填满填涂点；
3．答题内容必须全部书写在答题卡题目规定的答题区域内（每题的答题区域以方框为界）；
4．必须保持答题卡的卷面整洁、平整，不得揉、搓或折叠，以免影响扫描效果．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合{12}A =，，{|05}B x x =∈<<N ，若A C B ⊆⊆，则满足条件的集合C 的个
数为
（A ）4
（B ）3
（C ）2
（D ）1
（2）函数()lg(2)f x x =++ （A ）(20)(0)-+∞，， （B ）(2)-+∞，
（C ）(21]-，
（D ）(1)+∞，
（3）若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=
（A ）1 （B ）12 （C ）1
2
- （D ）－1
（4）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩
超过2米”， 命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题()()p q ⌝∨⌝表示 （A ）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 （B ）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 （C ）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米 （D ）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
（5 （A ）两条直线 （B ）两条射线
（C ）两条线段
（D ）一条射线和一条线段
（6）已知函数()cos f x x x =－，x ∈R ，若()f x ≥1，则x 的取值范围为
（A ）{|}3
x k x k k π
πππ+
+∈Z ≤≤，
（B ）{|22}3
x k x k k π
πππ++∈Z ≤≤，
（C ）5{|}66x k x k k ππππ++∈Z ≤≤， （D ）5
{|22}66
x k x k k ππππ++∈Z ≤≤，
（7）ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，
，2sin sin cos a A B b A +=，
则b a
= （A
） （B
）（C
（D
（8）函数()(1)(1)(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间
（A ）(11)-，和(12)，内 （B ）(1)-∞-，和(11)-，内
（C ）(12)，和(2)+∞，内 （D ）(1)-∞-，和(2)+∞，内
（9）曲线sin sin cos x y x x =
+在点1
()42
M π，处的切线的斜率为
（A ）12- （B ）1
2
（C
）
（D
（10） “0a <”是“函数2()||f x ax x =-在区间(0)+∞，上单调递增”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（11）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是
（A ）
（B ） （C ） （D ） ()y f x =
（12）已知函数()sin 2
x
f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍（纵坐不变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ⋅有下列命题，其中真命题的个数是
①函数()()y f x g x =⋅是奇函数； ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数；
③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π，0)中心对称；
④函数()()y f x g x =⋅
. （A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）已知幂函数()a f x x =的图象过点11
()24
，，则log 8a = .
（14）如图，ABC △中，点D 在BC 边上，且2 2.5AC BC ==，，
10.5AD BD ==，，则AB 的长为 .
（15）已知αβ，
均为锐角，且cos(sin()αβαβ+-=
，则2=β . （16）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2
()97a f x x x
=++.
若“[0)x ∃∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分)
已知p :|3|2x ->，q :(1)(1)0x m x m ≤－＋－－，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
（18）(本小题满分12分)
已知函数()sin()(00)2
f x A x x π
ωϕωϕ=+∈><<R ，，，的部分图象
如图所示．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
（19）(本小题满分12分)
在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设S 为ABC △的面积，满足
222
)S a b c =
＋－．
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． （20）(本小题满分12分)
已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点()P a b ，成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”. （Ⅰ）将函数()sin()244g x x x x ππ=-+--∈R ，的图像向左平移4
π
个单位，再向上平
移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数22()log 2x
h x x
-=图像对称中心的坐标；
（Ⅲ）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).
（21）(本小题满分12分)
已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；
B C
A
（Ⅱ）若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，求证：当2x >时，()()f x g x >； （Ⅲ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +>
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
（22）(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，锐角ABC △的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D
与边AC 的切点.
（Ⅰ）求证：A D F E ，，，四点共圆；
（Ⅱ）若50C ∠=︒，求DEF ∠的度数.
（23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)，曲线2C 的参
数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
(0a b ϕ>>，为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标
系中，射线l θα=：与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=时，这两个交点重合．
（Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；
（Ⅱ）设当4π
α=
时，l 与1C ，2C 的交点分别为11A B ，，当4
π
α=-
时，l 与1C ，2C 的
交点分别为22A B ，，求四边形1221A A B B 的面积．
（24）(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数()||f x x a =-.
（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
2013－2014学年上学期高三年级第一次模拟考试
参考答案及评分标准(理科数学)
（12）解析：()()()h x f x g x =⋅sin sin 2x x =22cos sin 22
x x
=，
①错误，()h x 是偶函数；②错误，4π即为()h x 的一个周期；
F E
D
C B A
③正确，可以验证()(2)0h x h x π+-=恒成立，故(π，0)是()y h x =的图像的一个对称中心；
④错误，令t ＝cos 2
x
，t ∈[－1，1]，则m (t )＝2t (1－t 2)＝2( t －t 3)，令m ′(t )＝2( 1－3t 2)
＝0
，得=t .
当t ＝±1时，函数值为0；
当t =时，
函数值为
当t =时，
∴m (t )max
()h x
二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
（13）3 （14
（15）4π （16）8
7
a -≤
提示：
（16）解析：()y f x =是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为2
2
970()00970a x x x f x x a x x x ⎧+->⎪⎪⎪
==⎨⎪⎪++<⎪⎩
，，，，，，
又“0x ∃≥，()1f x a <+”是假命题，则0x ∀≥，()1f x a +≥是真命题，
当0x =时，1a +0≥，解得1a -≤，①
当0x >时，297a x x +-1a +≥，
结合均值不等式有6||7a -1a +≥，得85a ≥或8
7
a -≤，②
①②取交集得a 的取值范围是8
7
a -≤.
三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
解析：由题意p ：5x >或1x <，q ：11m x m ≤≤－＋， 设{|51}A x x x =><或，{|11}B x m x m =≤≤－＋， ……6分
∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ⊂≠， ……10分
∴15m >－或+11m <，∴6m >或0m <， ∴实数m 的取值范围(6)(0)+∞-∞，，. ……12分 （18）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π
2T
ω==， ……
2分
因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π
6
＋φ)＝0.
又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<
，从而5π6＋φ＝π，即π
6
ϕ=. ……4分
又点(0，1)在函数图象上，所以π
sin 16
A =，得A ＝2， ……
6分
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋
π6
)． （Ⅱ）由πππ
2π22π262k x k -++≤≤， ……
8分
得ππ
ππ36
k x k -+≤≤，k ∈Z ， ……10分
所以函数g (x )的单调递增区间是ππ
[ππ]36
k k -+，(k ∈Z). ……
12分 （19）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由题意可知1
2
ab sin C ·2ab cos C ， ……
3分
所以tan C ＝
……4分
因为0＜C ＜π，所以C ＝π
3
. ……
6分
（Ⅱ）由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A cos A ＋1
2
sin A
A ＋π
6
)． (9)
分
∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，∴当A ＋π6＝π2即A ＝π
3
时， ……
11分
sin A ＋sin B ......12分 （20）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为1()sin g x x x x =+∈R ，， (2)
分
∵x ∀∈R ，11()()g x g x -=-，∴1()g x 是奇函数，
又由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(2)4
π
-，. ……
4分
（Ⅱ）设22()log 2x
h x x
-=的对称中心为()P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数.
设()()f x h x a b =+-，则22()
()log 2()
x a f x b x a -+=-+，
由不等式2()
02()
x a x a -+>+的解集{|(2)}x a x a -<<--关于原点对称,得1a =. ……
6分
此时2
1()log (11)2(1)
x
f x b x x -=-∈-+，，. 任取(11)x ∈-，，由()()0f x f x -+=，得1b =-， ……8分
所以函数2
2()log 2x
h x x
-=图像对称中心的坐标是(11)-，. （Ⅲ）此命题是假命题.
举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b
，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数. ……10分
修改后的真命题:
“函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数
()
y f x a =+是偶函数”. ……12分 （21）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）∵()f x =1x x e -，∴()f x '=2x x
e
-. (2)
分
令()f x '=0，解得2x =.
∴()f x 在( ……3分
∴当2x =时，()f x 取得极大值(2)f =21
e
. (4)
分
（Ⅱ）证明：43()(4)x x g x f x e --=-=，413()()()x x x x
F x f x g x e e ---=-=-令,
∴()F x '=4244
22(2)()
x
x x x x x x e e e e e
-+-----=. ……6分
当2x >时，2x -＜0，2x ＞4，从而42x e e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(2,)+∞是增函数.
2211
()(2)0,2()().F x F x f x g x e e
∴>=-=>>故当时,成立 ……
8分
（Ⅲ）证明：∵()f x 在(,2)-∞内是增函数，在(2,)+∞内是减函数. ∴当12x x ≠，且12()()f x f x =，1x ，2x 不可能在同一单调区间内. 不妨设122x x <<，由（Ⅱ）可知22()()f x g x >， 又22()(4)g x f x =-，∴22()(4)f x f x >-. ∵12()()f x f x =，∴12()(4)f x f x >-.
∵2212,42,2x x x >-<<，且()f x 在区间(,2)-∞内为增函数， ∴124x x >-，即12 4.x x +> ……12分 （22）（本小题满分10分） 证明：（Ⅰ）由圆D 与边AC 相切于点E ，得90AED ∠=︒， ∵DF AF ⊥，得90AFD ∠=︒， ∴A D F E
，，，四点共圆. ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A D F E ，，，共圆，得∠DEF ＝∠DAF ，
1()2ADF ABD BAD ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠11
(180)9022
C C =︒-∠=︒-∠，
结合BF ⊥AF ，得∠DEF ＝∠DAF ＝90︒-∠ADF ＝12C ∠，∴1
2
DEF C ∠=∠.
由50C ∠=︒得∠DEF ＝25︒. ……10分
F
E D
C B
A
（23）（本小题满分10分） 解析：（Ⅰ）C 1是圆，C 2是椭圆．
当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.
当2
π
α=
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，
所以b ＝1. ……5分
（Ⅱ）C 1，C 2在平面直角标系下的方程分别为222
21 1.9
x x y y +=+=和
当4π
α=时，射线l 与C 1交点A 1
的横坐标为x ，与C 2交点B 1
的横坐标为x '=
当4
π
α=-
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此
四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．
故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2
.25
x x x x ''+-= ……
10分
（24）（本小题满分10分） 解析：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.
又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，∴31,
35,a a =⎧⎨+=⎩－－解得a ＝2. (5)
分
（Ⅱ）（解法一）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.
设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|＝213,532,21 2.x x x x x <⎧⎪
⎨⎪+>⎩
--，-，-≤≤，
所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5.
综上可得，g (x )的最小值为5. ……10分
从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．
（解法二）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，
由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， ∵f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，∴5m ≤，
∴m的取值范围为(－∞，5]． (10)
分。