2021年高考数学一轮复习 第3篇 三角函数及三角函数的图像与性质步骤规范1 北师大版

2021年高考数学一轮复习 第3篇 三角函数及三角函数的图像与性质步
骤规范1 北师大版
一、选择题
1．sin 600°的值为
( )．
A.3
2
B ．－
32
C ．－1
2
D ．12
解析 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°＝－3
2.
答案 B
2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan 2α的值为
( )． A ．－4
3
B ．4
3
C.34 D ．－34 解析 tan α＝－2
1
＝－2， tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×－2
1－4
＝43
. 答案 B
3．(xx·宜川模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是
( )．
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2
B ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋
π2 D ．y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2 解析 y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －
π2＝－cos 2x 为偶函数，且周期是π，故选A.
答案 A
4．(xx·鹰潭模拟)将函数y ＝cos x 的图像向右平移π
2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图像对应的解析式为
( )．
A ．y ＝1－sin x
B ．y ＝1＋sin x
C ．y ＝1－cos x
D ．y ＝1＋cos x
解析 函数y ＝cos x 的图像向右平移π2个单位长度，得到函数为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，再向
上平移1个单位长度，得到y ＝cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
x －π2＋1＝1＋sin x . 答案 B
5．(xx·温岭中学模拟)函数f (x )＝sin x sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋
π2的最小正周期为 ( )．
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．π2
解析 f (x )＝sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋
π2＝sin x cos x ＝1
2
sin 2x ， 故最小正周期为T ＝2π
2＝π.
答案 C
6．(xx·江西九校联考)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图像，只要将函数y ＝sin 2x 的图像
( )．
A ．向左平移π
4单位
B ．向右平移π
4单位
C ．向右平移π
8
单位
D ．向左平移π
8
单位
解析 y ＝sin 2x ――→向右平移π8个单位y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.
答案 C
7. 已知f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的表达式为 ( )．
A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4
B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4
C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9
D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43x ＋2518π 解析 由函数的部分图像可知34T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，则T ＝4π
3，结合选项知ω>0，故ω＝
2π
T ＝32，排除C ，D ；又因为函数图像过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，2，代入验证可知只有B 项满足条件．
答案 B
8．(xx·高安模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
ωx －
π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为 ( )． A.⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤k π＋
π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析 因为T ＝2π
ω＝π，所以ω＝2，所以函数为f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，由－π2＋
2k π≤2x －
π6≤π2＋2k π，得－π6＋k π≤x ≤π
3
＋k π，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．
答案 D
9．(xx·九江模拟)将函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π
6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则y ＝g (x )图像的一条对称轴是
( )． A ．x ＝π
12
B ．x ＝π6
C ．x ＝π
3
D ．x ＝
2π3
解析 将函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π6
，再向右平移
π6个单位长度，得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝
3sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －
π6，即g (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝k π＋π2时，解得x ＝k π＋π3，又当k ＝0时，x ＝π3，所以x ＝π
3是一条对称轴，故选
C. 答案 C
10．(xx·安康中学模拟)若函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋
π3的图像向右平移π
3
个单位后与原函数的图像关于x 轴对称，则ω的最小正值是 ( )． A.1
2 B ．1 C ．2
D ．3
解析 若函数向右平移π
3
个单位后与原函数的图像关于x 轴对称，函数f (x )的周期的
最大值满足T 2＝π3，所以T ＝2π3，所以T ＝2π3＝2π
ω
，即ω＝3，所以选D.
答案 D 二、填空题
11．(xx·西安模拟)已知角α的终边上一点的坐标为⎝
⎛
⎭
⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为________．
解析 因为tan α＝cos
5π6sin
5π6＝－3
212
＝－3，且sin 5π6＝12＞0，cos 5π6＝－3
2＜0，
所以α为第四象限角，所以α的最小正值为5π
3.
答案
5π
3
12．(xx·陕西五校联考)函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)(x ∈R )的最大值＝________.
解析 y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°) ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°] ＝sin(x ＋10°)＋
32cos(x ＋10°)－1
2
sin(x ＋10°) ＝12sin(x ＋10°)＋3
2cos(x ＋10°) ＝sin(x ＋10°＋60°) ＝sin(x ＋70°)， 故y max ＝1. 答案 1
13.如图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2图像的一部分，则其函
数解析式是________．
解析 由图像知A ＝1，T 4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π
2
，得T ＝2π，则ω＝1，所以y ＝sin(x ＋φ)．
由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ，1，可得φ＝2k π＋π3(k ∈Z )， 又|φ|＜π
2
，
所以φ＝π3，所以所求函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
答案 y ＝sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ＋
π3 14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像与直线y ＝b (0＜b ＜
A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是________．
解析 根据分析可得函数的周期为6，即2πω＝6，得ω＝π
3
，由三角函数的对称性可知，
函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，所以φ＝2k π－π2(k ∈Z )．又|φ|＜π，所以φ＝－π2，故函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2，
令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π
2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )．故函数f (x )的单
调递增区间是[6k,6k ＋3](k ∈Z )． 答案 [6k,6k ＋3](k ∈Z ) 三、解答题
15．函数f (x )＝A sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π
2
.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＝2，求α的值．
解 (1)∵函数f (x )的最大值为3， ∴A ＋1＝3，即A ＝2，
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，
∴最小正周期T ＝π，
∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，
∵0<α<
π2，∴－π6<α－π6<π3
， ∴α－π6＝π6，故α＝π
3
.
16．(xx·烟台期末考试)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，－1)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α，求f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调递增
区间．
解 (1)∵角α的终边经过点P (3，－1)， ∴sin α＝－12，cos α＝32，tan α＝－3
3，
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－3
6
. (2)f (x )＝sin 2x ·cos α＋cos 2x ·sin α ＝
32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.
∵0≤x ≤2π3，∴0≤2x ≤4π3，∴－π6≤2x －π6≤7π
6.
当－
π6≤2x －π6≤π2时，即0≤x ≤π
3
时，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.
17．(xx·衡水模拟)已知函数f (x )＝1＋sin x cos x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)若tan x ＝2，求f (x )的值．
解 (1)已知函数可化为f (x )＝1＋1
2sin 2x ，
所以T ＝
2π
2
＝π， 令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 则π4＋k π≤x ≤3π
4
＋k π(k ∈Z )， 即函数f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．
(2)由已知f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋cos 2
x
sin 2 x ＋cos 2
x ＝tan 2
x ＋tan x ＋1tan 2
x ＋1
， ∴当tan x ＝2时，f (x )＝22
＋2＋122＋1＝7
5
.
18．(xx·江西九校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中a ，b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图像关于直线x ＝π12对称．
(1)求a ，b 的值；
(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π2上总有实数解，
求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2
x ＋b sin x cos x .
由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2，得a ＋3b ＝8.① ∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，且f ′(x )的图像关于直线x ＝
π
12
对称，∴f ′(0)＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6
，
∴b ＝
32a ＋1
2
b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.
(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －
π6＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，
∴0≤2sin ⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
2x －
π6＋1≤3，即f (x )∈[0,3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π2上有解， 即f (x )＝－log 2k 在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π2上有解， ∴－3≤log 2k ≤0，
解得18≤k ≤1，即k ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤18，1./39290 997A 饺25617 6411 搑34825 8809 蠉{~24362 5F2A 弪 33654 8376 荶iF324724 6094 悔e27403 6B0B 欋。