2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第4章 第3讲 三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质
一、填空题
1．函数f(x)＝sin错误!图象的对称轴方程为________．
答案x＝错误!＋错误!(k∈Z)
2．将函数f(x）＝sin ωx（其中ω〉0）的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象经过点错误!，则ω的最小值是________．
解析将函数f（x）＝sin ωx的图象向右平移错误!个单位长度得到函数y＝sin错误!的图象，因为所得图象经过点错误!，则sin错误!＝0，
所以ω
2
π＝kπ，即ω＝2k，又ω〉0，所以ωmin＝2.
答案2
3．若函数f（x)＝sin错误!（φ∈［0,2π]）是偶函数，则φ＝________.解析由已知f(x)＝sin错误!是偶函数,可得错误!＝kπ＋错误!，即φ＝3kπ＋错误!(k∈Z)．又φ∈[0,2π］,所以φ＝错误!.
答案错误!
4．若三角函数f（x)的部分图象如图,则函数f(x）的解析式，以及S ＝f（1）＋f（2）＋…＋f(2 012)的值分别为________．
解析根据已知图象，可设f（x)＝A sin(ωx＋φ）＋1（ω>0，A〉0)，由T＝4得错误!＝4，∴ω＝错误!，A＝错误!＝错误!＝错误!，又f（0）＝错误!sin φ＋1＝1，∴sin φ＝0，得φ＝0,∴f(x)＝错误!sin错误!＋1.
又f(1)＋f(2)＋f(3）＋f(4）＝1.5＋1＋0。

5＋1＝4，
∴S＝f（1)＋f(2）＋…＋f（2 012）＝503×[f（1）＋f（2）＋f （3）＋f(4)］＝503×4
＝2 012.
答案f(x)＝错误!sin错误!＋1，S＝2 012
5．函数f(x）＝sin错误!，g(x)＝cos(x＋φ),｜φ|〈错误!。

如果f(x)有对称轴经过g（x）的对称中心，则g错误!的值为________．
解析考查三角函数的对称性．熟记f(x)＝A sin（ωx＋φ）图象的对称轴与对称中心的通解．
f(x）图象的对称轴为x＝错误!π＋错误!(k∈Z），g(x)的对称中心为
错误!(n∈Z)，
∴φ＝错误!π＋错误!，
∵｜φ｜<错误!,∴φ＝错误!或－错误!，∴g错误!＝－错误!或错误!.
答案－错误!或错误!
6．定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π,且当x∈[0，错误!］时，f(x）＝sin x，则f错误!的值为________．
解析f错误!＝f错误!＝f错误!＝sin错误!＝错误!。

答案错误!
7．若f（x）＝2sin ωx(0<ω<1）在区间错误!上的最大值是错误!，则ω＝________。

解析由0≤x≤错误!,得0≤ωx≤错误!<错误!，
则f（x）在错误!上单调递增，且在这个区间上的最大值是错误!，所以2sin 错误!＝错误!，且0〈错误!<错误!，
所以ωπ
3
＝错误!,解得ω＝错误!.
答案错误!
8．已知函数f（x)＝错误!（sin x＋cos x）－错误!|sin x－cos x｜，则f （x)的值域是________．
解析f（x）＝错误!（sin x＋cos x）－错误!｜sin x－cos x｜
＝错误!
画出函数f（x）的图象,可得函数的最小值为－1，最大值为错误!，故值域为错误!.
答案错误!
9．已知过原点的直线与函数y＝|sin x｜(x≥0)的图像有且只有三个交点,α
是交点中横坐标的最大值，则错误!的值为________．
解析y＝｜sin x|（x≥0)的图像如图，
若过原点的直线与函数y＝｜sin x|（x≥0）的图像有且只有三个交点,则第三个交点的横坐标为α，且α∈错误!，
又在区间(π，2π）上，y＝｜sin x｜＝－sin x,则切点坐标为（α,－sin α)，
又切线斜率为－cos α，
则切线方程为y＋sin α＝－cos α（x－2）
y＝－cos x＋αcos α＝－sin α,
又直线过原点，把[0，0)代入上式得，α＝tan α
∴1＋α2sin 2α
2α
＝错误!
＝（1＋tan2α)cos2α
＝错误!cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
10．设函数f（x)＝sin（ωx＋φ)错误!,给出以下四个论断：
①它的最小正周期为π；
②它的图像关于直线x＝错误!成轴对称图形；［来源:学+科+网]
③它的图像关于点错误!成中心对称图形;
④在区间错误!上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可）．
解析若①、②成立,则ω＝错误!＝2；令2·错误!＋φ＝kπ＋错误!，k ∈Z，且|φ|〈错误!，故k＝0,∴φ＝错误!.此时f(x)＝sin错误!，当x＝错误!时，sin错误!＝sin π＝0，∴f(x）的图像关于错误!成中心对称；又f（x）在错误!上是增函数，∴在错误!上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.
答案①②⇒③④（也可填①③⇒②④）
二、解答题
11．设f（x)＝错误!。

(1）求f(x）的定义域;
(2)求f（x)的值域及取最大值时x的值．
解(1）由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知:
定义域为｛x｜2kπ＋错误!π≤x≤2kπ＋错误!,k∈Z｝．
(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，
∵1－2sin x≥0,∴0≤1－2sin x≤3,
∴f(x）的值域为[0，错误!］，
当x＝2kπ＋错误!,k∈Z时，f（x）取得最大值．
12．已知函数f(x)＝cos错误!＋2sin错误!sin错误!.
(1)求函数f(x）的最小正周期和图象的对称轴；
(2）求函数f（x)在区间错误!上的值域．
解（1)f（x）＝cos错误!＋2sin错误!sin错误!
＝错误!cos 2x＋错误!sin 2x＋（sin x－cos x）(sin x＋cos x）＝错误!cos 2x＋错误!sin 2x＋sin2x－cos2x
＝错误!cos 2x＋错误!sin 2x－cos 2x＝sin错误!.
∴最小正周期T＝错误!＝π，由2x－错误!＝kπ＋错误!(k∈Z），
得x ＝k π
2
＋错误!(k ∈Z )． ∴函数图象的对称轴为x ＝错误!＋错误!(k ∈Z ）．
（2）∵x ∈错误!，∴2x －错误!∈错误!，
∴－错误!≤sin 错误!≤1.
即函数f （x ）在区间错误!上的值域为错误!.
13．已知函数f （x )＝sin 2x ＋a cos 2x (a ∈R ，a 为常数)，且错误!是函数y ＝f (x )的零点．
（1)求a 的值，并求函数f （x )的最小正周期；
(2)若x ∈错误!，求函数f (x ）的值域，并写出f （x )取得最大值时x 的值．
解 （1）由于错误!是函数y ＝f (x )的零点，
即x ＝错误!是方程f (x ）＝0的解,
从而f 错误!＝sin 错误!＋a cos 2错误!＝0，
则1＋错误!a ＝0,解得a ＝－2。

所以f （x ）＝sin 2x －2cos 2x ＝sin 2x －cos 2x －1， 则f （x ）＝错误!sin 错误!－1，
所以函数f (x ）的最小正周期为π。

(2)由x ∈错误!，得2x －错误!∈错误!,
则sin错误!∈错误!，
则－1≤错误!sin错误!≤错误!,
－2≤错误!sin错误!－1≤错误!－1，
∴函数f（x）的值域为[－2，错误!－1]．
当2x－错误!＝2kπ＋错误!（k∈Z）,
即x＝kπ＋错误!π时，f(x)有最大值，
又x∈错误!，故k＝0时，x＝错误!π，
f（x)有最大值错误!－1。

14．已知a＞0，函数f(x)＝－2a sin错误!＋2a＋b，当x∈错误!时,－5≤f （x)≤1.
(1）求常数a，b的值；
(2)设g（x）＝f错误!且lg g（x）＞0,求g（x)的单调区间．
解(1）∵x∈错误!，∴2x＋错误!∈错误!.
∴sin错误!∈错误!，又∵a〉0,
∴－2a sin错误!∈[－2a，a］．∴f（x）∈[b，3a＋b]，
又∵－5≤f（x)≤1,∴b＝－5，3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5。

(2）由（1）得a＝2,b＝－5,∴f（x）＝－4sin错误!－1，
g(x）＝f错误!＝－4sin错误!－1
＝4sin错误!－1，
又由lg g(x)＞0，得g（x）＞1，
∴4sin错误!－1＞1，∴sin错误!＞错误!,
∴2kπ＋错误!＜2x＋错误!＜2kπ＋错误!，k∈Z，
其中当2kπ＋错误!＜2x＋错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋错误!，k∈Z，
∴g(x）的单调增区间为错误!，k∈Z.
又∵当2kπ＋π
2
＜2x＋错误!＜2kπ＋错误!,k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ
＋错误!＜x＜kπ＋错误!,k∈Z。

∴g（x)的单调减区间为错误!，k∈Z.
综上，g(x)的递增区间为错误!（k∈Z）；递减区间为错误!（k∈Z）．。