2018长沙市中学考试数学模拟试卷(一)

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2021 年长沙市中考数学模拟试卷 (一)
一、 〔共 12 小 ，每小 3 分，共 36 分〕
1． 出四个数 0，
， 1，其中最小的是〔 〕
A ．0
B ．
C ．
D ． 1
2．以下 形中是 称 形的是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
3．将一个 方体内部挖去一个 柱〔如 所示〕 ，它的主 是〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下面是一位同学做的四道 ： ① 2a+3b=5ab ；② 〔 3a 3〕2=6a 6；③ a 6÷a 2=a 3；④ a 2?a 3=a 5
，
其中做 的一道 的序号是〔
〕
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
5．今年清明 期 ，我市共款待游客 48.6 万人次，旅游收入
218 000 000 元．数据 218 000
000 用科学 数法表示 〔 〕
A ． 8
9
8
9
×10
B ．×10
C ．×10
D ．×10
6．抛物 y=x 2
先向右平移 1 个 位，再向上平移 3 个 位，获取新的抛物 解析式是 〔
〕
A ． y=〔 x+1〕 2+3
B ． y= 〔x+1 〕 2 3
C ． y=〔 x 1〕 2 3
D ． y= 〔x 1〕 2
+3 7．以下 法属于不能能事件的是〔
〕
A ．四 形的内角和 360°
B ． 角 相等的菱形是正方形
C ．内 角相等
D ．存在 数 x 足 x 2
+1=0
8．如 ， A ， B ， C ， D ⊙ O 上四点，假设∠ BOD=110 °， ∠ A 的度数是〔 〕
A ． 110°
B ． 115°
C ． 120°
D ． 125°
9．二次函数 y=ax 2
+bx+c 象上局部点的坐 足下表： x ⋯ 3 2 1 0 1
⋯
y ⋯
323
611
⋯
函数 象的 点坐 〔 〕
A ．〔 3， 3〕
B ．〔 2， 2〕
C ．〔 1， 3〕
D ．〔 0， 6〕
10．假设 次 接四 形的各 中点所得的四 形是菱形， 四 形必然是〔 〕
A ．矩形
B ．等腰梯形
C ． 角 相等的四 形
D ． 角 互相垂直的四 形
11．正六 形的 心距
， 正六 形的 是〔
〕
A ．
B ．2
C ． 3
D ． 2
12．：在 △ ABC 中， BC=10 ，BC 上的高 h=5，点 E 在 AB 上， 点 E 作 EF ∥BC ，
交 AC 于点 F ．点 D BC 上一点， 接 DE 、 DF ． 点 E 到 BC 的距离 x ， △DEF 的面 S 关于 x 的函数 象大体 〔
〕
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空 〔共
6 个小 ，每小 3 分，共 18 分〕
13．因式分解 2x 2 8xy+8y 2=
．
14．如 ， 1 的小正方形网格中，⊙ O 的 心在格点上， ∠
AED 的余弦
是
．
15．如 ，四 形 ABCD 矩形，增加一个条件： ，可使它成 正方形．
16．假设关于 x 的一元二次方程 kx 2
2x+1=0 有 数根， k 的取 范 是
．
17． 合 践 上，小宇 用光学原理来 量公园假山的高度，把一面 子放在与假山
AC 距离 21 米的 B ，尔后沿着射 CB 退后到点 E ， 恰幸好 子里看到山 A ，利
用皮尺 量
BE=2.1 米．假设小宇的身高是
1.7 米， 假山 AC 的高度
．
18．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是．三、解答题：〔本大题2 个小题，每题 6 分，共 12 分〕
19．计算：．
20．先化简，再求值：÷〔x+1﹣〕，其中x=3．
四、解答题：〔本大题2 个小题，每题8 分，共 16 分〕
21．为认识中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了局部学生进行了
一次中考体育科目测试〔把测试结果分为四个等级： A 级：优秀； B 级：优秀； C 级：及格；D级：不及格〕，并将测试结果绘成了以下两幅不完满的统计图．请依照统计图中的信息
解答以下问题：
〔1〕本次抽样测试的学生人数是；
〔2〕图 1 中∠α的度数是，并把图 2 条形统计图补充完满；
〔3〕假设全市九年级有学生35000 名，若是所有参加此次中考体育科目测试，请估计不及格
的人数为．
（4〕测试老师想从 4 位同学〔分别记为 E、 F、 G、H ，其中 E 为小明〕中随机选择两位同学认识平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
22．如图，△ ABC 中，∠ BCA=90 °， CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C， D 作 BA 和 BC 的平行线，两线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE ．
（1〕求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2〕假设∠ B=60 °， BC=6 ，求四边形 ADCE 的面积．
五、解答题： 〔本大题 2 个小题，每题
9 分，共 18 分〕 23．某校为美化校园， 方案对面积为 1800m 2
的地域进行绿化， 安排甲、乙两个工程队完成． 已 知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为
400m 2
地域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天．
m 2？ 〔1 〕求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少
〔2 〕假设学校每天需付给甲队的绿化花销为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使此次的绿化总
花销不高出 8 万元，最少应安排甲队工作多少天？
24．如图，在 △ ABC 中， CA=CB ，以 BC 为直径的圆⊙ O 交 AC 于点 G ，交 AB 于点 D ，过点 D 作⊙ O 的切线，交 CB 的延长线于点 E ，交 AC 于点 F ．
（ 1〕求证： DF ⊥ AC ．
（ 2〕若是⊙ O 的半径为 5， AB=12 ，求 cos ∠ E ．
六、解答题： 〔本大题 2 个小题，每题 10 分，共 20 分〕
25．定义：假设函数 y 1 与 y 2 同时满足以下两个条件：
① 两个函数的自变量
x ，都满足
a ≤x ≤
b ；
② 在自变量范围内关于任意的
x 1 都存在 x 2，使得 x 1 所对应的函数值 y 1 与 x 2 所对应的函数
值 y 2 相等． 我们就称 y 1 与 y 2 这两个函数为 “兄弟函
数 〞．设函数 y 1=x 2
﹣ 2x ﹣ 3， y 2=kx ﹣ 1
〔1〕当 k=﹣ 1 时，求出所有使得 y =y 2成立的 x 值；
1
（ 2〕当 1≤x ≤3 时判断函数 y 1= 与 y 2=﹣ x+5 可否是 “兄弟函数 〞，并说明原由；
（ 3〕：当﹣ 1≤x ≤2 时函数 y 1=x 2﹣ 2x ﹣ 3 与 y 2=kx ﹣ 1 是“兄弟函数 〞，试求实数 k 的取值
范围？
26．如图，⊙ E 的圆心 E 〔 3， 0〕，半径为 5，⊙ E 与 y 轴订交于 A 、 B 两点〔点 A 在点 B 的上方〕，与 x 轴的正半轴交于点 C ，直线 l 的解析式为 y= x+4 ，与 x 轴订交于点 D ，以点
C 为极点的抛物线过点 B ．
（ 1〕求抛物线的解析式；
（ 2〕判断直线 l 与⊙ E 的地址关系，并说明原由； 〔3〕动点 P 在抛物线上，当点
P 到直线 l 的距离最小时．求出点P 的坐标及最小距离．
2021 长沙市中考数学模拟试卷〔一〕
参照答案与试题解析
一、选择题〔共12 小题，每题 3 分，共 36 分〕
1．给出四个数0，，﹣1，其中最小的是〔〕
A．0B．C．D．﹣ 1
【考点】实数大小比较．
【解析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于所有负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：依照实数比较大小的方法，可得
﹣1＜ 0＜，
∴四个数0，，﹣1，其中最小的是﹣1．
应选： D．
2．以以下图形中是轴对称图形的是〔〕
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【解析】依照轴对称图形的看法进行判断即可．
【解答】解： A 、是轴对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故错误．
应选： A．
3．将一个长方体内部挖去一个圆柱〔以以下图〕，它的主视图是〔〕
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【解析】找到从正面看所获取的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
应选 A ．
4．下面是一位同学做的四道题： ① 2a+3b=5ab ；② 〔 3a 3〕2=6a 6；③ a 6÷a 2=a 3；④ a 2?a 3=a 5
，
其中做对的一道题的序号是〔 〕
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【解析】 ① 依照合并同类项，可判断 ① ，
② 依照积的乘方，可得答案；
③ 依照同底数幂的除法，可得答案；
④ 依照同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】 解： ① 不是同类项不能够合并，故
① 错误；
② 积的乘方等于乘方的积，故
② 错误；
③ 同底数幂的除法底数不变指数相减，故 ③ 错误； ④ 同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 ④ 正确；
应选： D ．
5．今年清明节期间，我市共款待游客 48.6 万人次，旅游收入
218 000 000 元．数据 218 000
000 用科学记数法表示为〔 〕
A ．×108
B ．×109
C ．×108
D ．×10
9
【考点】 科学记数法 —表示较大的数．
【解析】 依照科学记数法的表示方法：
a ×10n
，可得答案． 【解答】 解： 218 000 000 用科学记数法表示为
×108， 应选： A ．
6．抛物线 y=x 2
先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，获取新的抛物线解析式是 〔
〕
A ． y=〔 x+1〕 2+3
B ． y= 〔x+1 〕 2﹣ 3
C ． y=〔 x ﹣ 1〕 2﹣ 3
D ． y= 〔x ﹣ 1〕 2
+3
【考点】 二次函数图象与几何变换． 【解析】 依照 “上加下减，左加右减 〞的原那么进行解答即可． 【解答】 解：由 “左加右减 〞的原那么可知，抛物线
y=x 2
向右平移 1 个单位所得抛物线的解析 式为： y= 〔x ﹣ 1〕 2
；
由“上加下减 〞的原那么可知，抛物线 y= 〔 x ﹣ 1〕 2
向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：
y=〔 x ﹣ 1〕2
+3．
应选 D ．
7．以下说法属于不能能事件的是〔
〕
A ．四边形的内角和为 360°
B ．对角线相等的菱形是正方形
C ．内错角相等
D ．存在实数 x 满足 x 2
+1=0 【考点】 随机事件．
【解析】 依照必然事件、不能能事件、随机事件的看法进行判断即可．
【解答】 解：四边形的内角和为
360°是必然事件， A 错误；
对角线相等的菱形是正方形是必然事件， B 错误；
内错角相等是随机事件， C 错误；
文案大全
8．如， A ， B， C， D ⊙ O 上四点，假设∠BOD=110 °，∠ A 的度数是〔〕
A． 110°B． 115°C． 120°D． 125°
【考点】周角定理；内接四形的性．
【解析】由 A ， B， C，D ⊙ O 上四点，假设∠ BOD=110 °，依照在同或等中，同弧或等
弧所的周角相等，都等于条弧所的心角的一半，即可求得∠ C的度数，又由的
内接四形的性定理，即可求得答案．
【解答】解：∵ A ， B， C，D ⊙ O 上四点，∠ BOD=110 °，
∴∠ C=∠ BOD=55°，
∴∠ A=180 ° ∠ C=125 °．
故 D．
2
9．二次函数 y=ax +bx+c 象上局部点的坐足下表：
x⋯32101⋯
y⋯323611⋯
函数象的点坐〔〕
A ．〔 3， 3〕B．〔 2， 2〕C．〔 1， 3〕D．〔 0， 6〕
【考点】二次函数的性．
【解析】依照二次函数的称性确定出二次函数的称，尔后解答即可．【解答】
解：∵ x= 3 和 1 的函数都是 3 相等，∴二次函数的称直 x= 2，
∴ 点坐〔2， 2〕．
故： B．
10．假设次接四形的各中点所得的四形是菱形，四形必然是〔〕
A ．矩形
B ．等腰梯形
C．角相等的四形D．角互相垂直的四形
【考点】中点四形．
【解析】第一依照意画出形，由四形EFGH 是菱形，点E， F，G， H 分是AD ，
AB ， BC ， CD 的中点，利用三角形中位的性与菱形的性，即可判断原四形必然是角相等
的四形．
【解答】解：如，依照意得：四形EFGH 是菱形，点E，F， G， H 分是AD ，
AB ， BC ， CD 的中点，
∴E F=FG=GH=EH ， BD=2EF ， AC=2FG ，
∴BD=AC ．
∴原四形必然是角相等的四形．
应选： C．
11．正六边形的边心距为，那么该正六边形的边长是〔〕
A．B．2C．3D．2
【考点】正多边形和圆；勾股定理．
【解析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB= ， AB= OA，
∵OA 2
=AB
2
+OB
2
，
∴OA 2
=〔 OA 〕
2
+〔〕2，
解得 OA=2 ．
应选： B．
12．：在△ ABC 中， BC=10 ，BC 边上的高h=5，点 E 在边 AB 上，过点 E 作 EF∥BC ，
交 AC 边于点 F．点 D 为 BC 上一点，连接DE 、 DF．设点 E 到 BC 的距离为 x，那么△DEF
的面积 S 关于 x 的函数图象大体为〔〕
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【解析】判断出△ AEF 和△ ABC 相似，依照相似三角形对应边成比率列式求出EF，再依照三角形的面积列式表示出S 与 x 的关系式，尔后获取大体图象选择即可．
【解答】解：∵ EF∥ BC，
∴△ AEF ∽△ ABC ，
∴ = ，
∴EF=
?10=10 ﹣2x ，
∴S=
〔 10﹣ 2x 〕 ?x= ﹣ x 2+5x= ﹣〔 x ﹣ 〕 2
+ ，
2
∴S 与 x 的关系式为 S=﹣〔 x ﹣ 〕 + 〔 0＜ x ＜5〕， 纵观各选项，只有 D 选项图象吻合．
应选： D ．
二、填空题〔共
6 个小题，每题 3 分，共 18 分〕
13．因式分解 2x 2﹣ 8xy+8y 2= 2〔 x ﹣ 2y 〕 2
． 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用．
【解析】 第一提取公因式 2，进而利用完满平方公式分解因式即可．
2 2
2
2
=2〔 x ﹣ 4xy+4y 〕
故答案为： 2〔 x ﹣ 2y 〕 2
．
14．如图，边长为 1 的小正方形网格中， ⊙ O 的圆心在格点上， 那么∠ AED 的余弦值是 ．
【考点】 圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
【解析】 依照同弧所对的圆周角相等获取∠ ABC= ∠ AED ，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义求出 cos ∠ ABC 的值，即为 cos ∠ AED 的值．【解答】 解：∵∠ AED 与∠ ABC 都对 ，
∴∠ AED= ∠ ABC ，
在 Rt △ ABC 中， AB=2 ，AC=1 ， 依照勾股定理得： BC=
，
那么 cos ∠ AED=cos ∠ ABC= =
．
故答案为：
15．如图，四边形 ABCD 为矩形，增加一个条件： AB=AD ，可使它成为正方形．
【考点】 正方形的判断．
【解析】 由四边形 ABCD 是矩形，依照邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．
【解答】 解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴当 AB=AD 或 AC ⊥ BD 时，矩形 A BCD 是正方形． 故答案为： AB=AD ．
16．假设关于 x 的一元二次方程 kx 2
﹣ 2x+1=0 有实数根，那
么
k 的取值范围是k ≤1
且 k ≠0 ．
【考点】 根的鉴识式．
【解析】 依照方程根的情况能够判断其根的鉴识式的取值范围，
进而能够获取关于
k 的不等
式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能够为 0．
2
【解答】 解：∵关于 x 的一元二次方程
kx ﹣ 2x+1=0 有实数根，
即： 4﹣ 4k ≥0，
解得： k ≤1，
2
∵关于 x 的一元二次方程 kx ﹣ 2x+1=0 中 k ≠0，
17．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山 AC 距离为 21 米的 B 处，尔后沿着射线
CB 退后到点 E ，这时恰幸好镜子里看到山头
A ，利
用皮尺测量 BE=2.1 米．假设小宇的身高是 1.7 米，那么假山
AC 的高度为
17 米 ．
【考点】 相似三角形的应用．
【解析】 因为入射光辉和反射光辉与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面， 因此构成两个
相似三角形，利用相似比可求出假山 AC 的高度．
【解答】 解：∵ DE ⊥ EC ， AC ⊥ EC ，
∴∠ DEB= ∠ACB=90 °， ∵∠ DBE= ∠ABC ∴△ DEB ∽△ ACB ， ∴DE ： AC=BE ： BC ，
又∵ DE=1.7 米， BE=2.1 米， BC=21 米，
∴ ： AC=2.1 ： 21， ∴ A C=17 米，
18．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是1cm．
【考点】圆锥的计算．
【解析】第一求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，尔后依照圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：圆锥的底面周长是：2πcm，
设圆锥的底面半径是r，那么 2πr=2 π，
解得： r=1．
故答案是： 1cm．
三、解答题：〔本大题2 个小题，每题 6 分，共 12 分〕
19．计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特别角的三角函数值．
【解析】原式第一项利用特别角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法那么计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可获取结果．
【解答】解：原式 =×+4+﹣1﹣4
=．
20．先化简，再求值：÷〔x+1﹣〕，其中x=3．
【考点】分式的化简求值．
【解析】先把括号内通分，再把分子分解因式，接着把除法运算化为乘法运算，尔后约分后
获取原式 =，再把x=3代入计算即可．
【解答】解：原式 =÷
=?
=，
当 x=3 时，原式 ==．
四、解答题：〔本大题2 个小题，每题8 分，共 16 分〕
21．为认识中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了局部学生进行了
一次中考体育科目测试〔把测试结果分为四个等级： A 级：优秀； B 级：优秀； C 级：及格；
D级：不及格〕，并将测试结果绘成了以下两幅不完满的统计图．请依照统计图中的信息
解答以下问题：
〔1〕本次抽样测试的学生人数是40 ；
〔2〕图 1 中∠α的度数是54°，并把图2 条形统计图补充完满；
〔3〕假设全市九年级有学生35000名，若是所有参加此次中考体育科目测试，请估计不及格
的人数为7000 ．
（4〕测试老师想从 4 位同学〔分别记为 E、 F、 G、H ，其中 E 为小明〕中随机选择两位同学认
识平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计整体；扇形统计图；条形统计图．
【解析】〔 1〕由统计图可得：B 级学生 12 人，占 30%，即可求得本次抽样测试的学生人数；〔2〕由 A 级 6 人，可求得 A 级占的百分数，既而求得∠α的度数；尔后由 C 级占 35%，可求得 C 级的人数，既而补全统计图；
（3〕第一求得 D 级的百分比，既而估计出不及格的人数；
（4〕第一依照题意画出树状图，尔后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：〔 1〕本次抽样测试的学生人数是：=40 〔人〕；
故答案为： 40；
〔2〕依照题意得：∠α=360°×=54°，
C 级的人数是：40﹣ 6﹣ 12﹣ 8=14〔人〕，
如图：
〔3〕依照题意得：
35000×=7000 〔人〕，
答：不及格的人数为7000 人．
故答案为： 7000；
〔4〕画树状图得：
∵共有 12 种情况，选中小明的有 6 种，
∴P〔选中小明〕= =．
22．如图，△ ABC 中，∠ BCA=90 °， CD 是边 AB 上的中线，分别过点 C， D 作 BA 和 BC 的平行线，两线交于点 E，且 DE 交 AC 于点 O，连接 AE ．
（1〕求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2〕假设∠ B=60 °， BC=6 ，求四边形 ADCE 的面积．
【考点】菱形的判断与性质；勾股定理．
【解析】〔 1〕欲证明四边形 ADCE 是菱形，需先证明四边形 ADCE 为平行四边形，尔后再证明
其对角线互相垂直；
〔2〕依照勾股定理获取AC 的长度，由含30 度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积公式：S= AC?DE 进行解答．
【解答】〔 1〕证明：∵ DE∥ BC ， EC∥ AB ，
∴四边形 DBCE 是平行四边形．
∴EC ∥DB ，且 EC=DB ．
在 Rt△ ABC 中， CD 为 AB 边上的中线，
∴AD=DB=CD ．
∴EC=AD ．
∴四边形 ADCE 是平行四边
形．∴ED∥BC．
∴∠ AOD= ∠
ACB ．∵∠
ACB=90 °，
∴∠ AOD= ∠ ACB=90 °．∴平
行四边形 ADCE 是菱形；
∴AD=DB=CD=6 ． ∴AB=12 ，由勾股定理得
．
∵四边形 DBCE 是平行四边形， ∴DE=BC=6 ．
∴
．
五、解答题： 〔本大题 2 个小题，每题
9 分，共 18 分〕 23．某校为美化校园， 方案对面积为 1800m 2
的地域进行绿化， 安排甲、乙两个工程队完成． 已
知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的
2 倍，并且在独立完成面积为
400m 2
地域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天． m 2
？
〔1〕求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少
〔2〕假设学校每天需付给甲队的绿化花销为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使此次的绿化总
花销不高出 8 万元，最少应安排甲队工作多少天？
【考点】 分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【解析】〔 1〕设乙工程队每天能完成绿化的面积是
x 〔 m 2〕，依照在独立完成面积为 400m 2
地域的绿化时，甲队比乙队少用
4 天，列出方程，求解即可； 〔2〕设应安排甲队工作 y 天，依照此次的绿化总花销不高出 8 万元，列出不等式，求解即
可．
【解答】 解：〔 1〕设乙工程队每天能完成绿化的面积是
x 〔 m 2
〕，依照题意得：
﹣
=4，
解得： x=50，
经检验 x=50 是原方程的解，
那么甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2=100 〔m 2
〕，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m 2、 50m 2
；
〔2〕设应安排甲队工作
y 天，依照题意得：
0.4y+
×≤8，
解得： y ≥10，
答：最少应安排甲队工作
10 天．
24．如图，在 △ ABC 中， CA=CB ，以 BC 为直径的圆⊙ O 交 AC 于点 G ，交 AB 于点 D ，过点 D 作⊙ O 的切线，交 CB 的延长线于点 E ，交 AC 于点 F ．
（ 1〕求证： DF ⊥ AC ．
（ 2〕若是⊙ O 的半径为 5， AB=12 ，求 cos ∠ E ．
【考点】切线的性质．
【解析】〔 1〕第一连接 OD ，由 CA=CB ， OB=OD ，易证得 OD ∥ AC ，又由 DF 是⊙ O 的切线，即可证得结论；
〔2〕第一连接 BG ，CD，可求得 CD 的长，尔后由AB ?CD=2S △ABC =AC ?BG ，求得 BG 的长，易证得 BG ∥ EF，即可得 cos∠ E=cos∠CBG=．
【解答】〔 1〕证明：连接 OD ，
∵CA=CB ， OB=OD ，
∴∠ A= ∠ ABC ，∠ ABC= ∠ ODB ，
∴∠ A=∠ODB ，
∴OD∥AC ，
∵DF 是⊙ O 的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC ．
（2〕解：连接 BG ，
CD．∵BC 是直径，
∴∠ BDC=90 °，
∵CA=CB=10 ，
∴A D=BD= AB= ×12=6 ，
∴CD==8 ．
∵AB ?CD=2S△ABC =AC ?BG，
∴BG==．
∵BG⊥AC ，DF⊥AC，
∴BG ∥ EF．
∴∠ E=∠CBG ，
∴c os∠ E=cos∠CBG= = ．
六、解答题：〔本大题2 个小题，每题10 分，共 20 分〕
25．定义：假设函数y1与 y2同时满足以下两个条件：
①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；
②在自变量范围内关于任意的x1都存在 x2，使得 x1所对应的函数值y1与 x2所对应的函数
值 y2相等．我们就称y1与 y2这两个函数为“兄弟函数〞．
设函数 y 1=x 2
﹣ 2x ﹣ 3， y 2=kx ﹣ 1
〔1〕当 k=﹣ 1 时，求出所有使得
y 1=y 2 成立的 x 值；
（ 2〕当 1≤x ≤3 时判断函数 y 1= 与 y 2 =﹣x+5 可否是 “兄弟函数 〞，并说明原由；
（ 3〕：当﹣ 1≤x ≤2 时函数 y 1=x 2﹣ 2x ﹣ 3 与 y 2=kx ﹣ 1 是“兄弟函数 〞，试求实数 k 的取值
范围？
【考点】 一次函数综合题．
【解析】〔 1〕将 k= ﹣1 代入一次函数，与二次函数联立方程组，求出方程组的解即为
x 的
值；
〔2〕假设两个函数是兄弟函数，联立方程组，求出
x 的值，判断 x 值可否吻合相应取值范 围，经过判断，两个函数不是兄弟函数；
〔3〕利用兄弟函数的定义，联立函数解析式，求出 x 的值，尔后将 x 的值带入 x 的取值范
围，获取一个不等式组，解不等式组即可．
【解答】 解：〔 1〕当 k= ﹣ 1 时， y 2=﹣ x ﹣1，
2
解得： x=2 或 x= ﹣ 1； ∴x 的 值为 2 或﹣ 1．
〔2〕不是
假设 =﹣ x+5，
那么 x 2
﹣ 5x+3=0 ，
解得： x=
，
∵3＜
＜4
∴4＜
＜ ， ＜
＜1，
两根均不在 1≤x ≤3，
∴函数 y 1= 与 y 2=﹣ x+5 不是 “兄弟函数 〞．
（ 3〕∵函数 y 1=x 2
﹣ 2x ﹣ 3 与 y 2=kx ﹣ 1 是“兄弟函数 〞，∴x 2
﹣ 2x ﹣ 3=kx ﹣ 1，
整理得： x 2
﹣〔 2+k 〕x ﹣ 2=0 ，
解得： x=
，
∵﹣ 1≤x ≤2 时函数 y 1=x 2
﹣ 2x ﹣ 3 与 y 2=kx ﹣ 1 是 “兄弟函数 〞，
∴﹣ 1≤
≤2，
解得： k ≤﹣3，
或 1≤
≤2，
解得： k≥﹣1．
∴实数 k 的取值范围： k≤﹣ 3 或 k≥﹣ 1．
26．如图，⊙ E 的圆心 E〔 3， 0〕，半径为 5，⊙ E 与 y 轴订交于A、 B 两点〔点 A 在点 B
的上方〕，与 x 轴的正半轴交于点C，直线 l 的解析式为y= x+4，与 x 轴订交于点D，以点
C 为极点的抛物线过点B．
（1〕求抛物线的解析式；
（2〕判断直线 l 与⊙ E 的地址关系，并说明原由；
〔3〕动点 P 在抛物线上，当点P 到直线 l 的距离最小时．求出点P 的坐标及最小距离．
【考点】二次函数综合题．
【解析】〔 1〕连接 AE ，由得： AE=CE=5 ， OE=3，利用勾股定理求出 OA 的长，结合垂径定
理求出 OC 的长，进而获取 C 点坐标，进而获取抛物线的解析式；
〔2〕求出点 D 的坐标为〔﹣，0〕，依照△AOE∽△ DOA，求出∠ DAE=90°，判断出直
线 l 与⊙ E 相切与 A ．
〔3〕过点 P 作直线 l 的垂线段PQ，垂足为Q，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线l 于
点 M ．设 M 〔 m， m+4〕，P〔 m，﹣
2
﹣〔﹣
2
m +m﹣ 4〕，获取 PM= m+4m +m﹣ 4〕
= m 2
﹣ m+8=〔 m﹣2〕
2
+，依照△ PQM 的三个内角固定不变，获取PQ 最小 =PM 最
小
?sin ∠QMP=PM最小 ?sin∠AEO=× =，进而获取最小距离．
【解答】解：〔 1〕如图 1，连接 AE ，由得： AE=CE=5 ， OE=3 ，
在 Rt△ AOE 中，由勾股定理得，OA===4，∵OC⊥AB ，
∴由垂径定理得，OB=OA=4 ，
OC=OE+CE=3+5=8 ，
∴A 〔 0， 4〕， B〔 0，﹣ 4〕， C〔 8， 0〕，
∵抛物线的极点为C，
2
将点 B 的坐标代入上解析的式，得64a=﹣ 4，故 a=﹣，
∴ y = ﹣ 〔x ﹣ 8〕 2
，
∴ y = ﹣ x 2+x ﹣ 4 为所求抛物线的解析式，
〔2〕在直线 l 的解析式 y= x+4 中，令 y=0，得
x+4=0 ，解得 x= ﹣ ，
∴点 D 的坐标为〔﹣
，0〕，
当 x=0 时， y=4 ， ∴点 A 在直线 l 上，
在 Rt △ AOE 和 Rt △ DOA 中，
∵
=，=，
∴
= ，
∵∠ AOE= ∠ DOA=90 °， ∴△ AOE ∽△ DOA ， ∴∠ AEO= ∠ DAO ， ∵∠ AEO+ ∠ EAO=90 °，
∴∠ DAO+ ∠ EAO=90 °，即∠ DAE=90 °，因此，直线 l 与⊙ E 相切与 A ．
〔3〕如图 2，过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ ，垂足为 Q ，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M ．
设 M 〔 m ， m+4〕，P 〔 m ，﹣
m 2
+m ﹣4〕，那
么
PM= m+4﹣〔﹣ 2
2
﹣ m+8=
2
，
m +m ﹣ 4〕 =
m 〔 m ﹣ 2〕 + 当 m=2 时， PM 获取最小值 ，
此时， P 〔2，﹣ 〕，
关于 △PQM ，
∵PM ⊥ x 轴，
∴∠ QMP= ∠ DAO= ∠ AEO ， 又∠ PQM=90 °，
∴△ PQM 的三个内角固定不变，
∴在动点 P 运动的过程中， △ PQM 的三边的比率关系不变， ∴当 PM 获取最小值时， PQ 也获取最小值， PQ 最小 =PM 最小 ?sin ∠ QMP=PM 最小 ?sin ∠ AEO= × = ，
∴当抛物线上的动点
P 的坐标为〔 2，﹣ 〕时，点 P 到直线 l 的距离最小， 其最小距离为 ．
2021长沙市中学考试数学模拟试卷(一)
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