高中数学 2.1.3 函数的简单性质 单调性课件 苏教版必修1

∵
(x1 x2 )(x1 x2 2)
1 x1 x2
∴ x1 x2 0, x1 x2 2 0
∴ f (x1 ) f (x2 ) 0, 即 f (x1) f (x2 ).
作差变形 (biàn判号 xíng)
∴ f (x)
数．
x2在 区2x间 3[－1，＋∞）上是单调增函
下结论
则k的取值范围(fànwéik)为___12____
2.下列(xiàliè)函数在(0,2)是增函数的C是( )
A. y 1 x
B. y x2 2x 1
C. y x D. y | x 1|
3.如果(rúguyǒ)函x2 数 2(a 1)x 2
(在,4)
a 3 区间
上是减函数,那么实数a的取值范围是________
y
y=-x+1
1
O1 x
y
1
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象(tú xi下àn降ɡ)呈______趋势
(xiàjiàn
第四页，共25页。
g)
观察(guānchá)第三组函数图象，指出其变化趋势.
y
y y=x2
y
O1
-1
1
-1
x
1
O1 x
1
O1
x
从左至右图象(tú 局xià部nɡ()j呈úb_ù_)_上__升________ 或下降
y2 y
y1
O
y
y1
y2
x1 x2
xO
x1
x2 x
图象 特征
自左至右，图象(tú xiànɡ)自上左升至右，图象(tú xiànɡ)下
数量 特征
y随x的增大而增大. 当x1＜x2时，y1＜y2
y随x的增大而减小. 当x1＜x2时，y1＞y2
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注意：
1、函数单调(dāndiào)性是对于定义域内的某个子区间而 言的。是函数的局部性质
x
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练习(liànxí)： 填表
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
(há
k >0 k <0 k >0
k <0
nsh
ù) 单调
(, ) (, ) (,0),(0, ) (,0),(0, )
(dāndià
o单)调区性间 增函数 减函数 减函数
增函数
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1 x2
（取值） 1 x1 x2
x1 x1x2
x1 x2, x1 x2 0, x1 x2 0（. 作差变形）
f (x1) f (x2 ) 0
即f (x1) f (x2 )
（判号）
则函数f (x) 1 -1在区间(, 0) x
是增函数。 （下结论） 第二十页，共25页。
证明函数单调(dāndiào)性 的步骤
的函数值满足: y1< y2<y3<······< yn．能否就
说在区间(0，+∞) 上y随着(suízhe)x的增大，
而增大呢？
若x取无数个呢?
y
yn y3 y2 y1
0 x1 x2 x3 xn
x
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情景创设如2图为某地区一天24小时(xiǎoshí)内的气温变化图．观察这张
气温变化图：
2、理解函数单调性的时候注意三点(sān diǎn)：①x1、x2 是在同一个区间上②任意取的两个实数，具有任意性③一 般都不妨设为一大一小。
3、函数单调性反映的是函数在相应(xiāngyīng)区间上函数值 随x而变化的趋势。
第十四页，共25页。
数学
例1.画出下列函数图像(tú xiànɡ)，并写出单
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练习(liànxí)：求证f函(x数) x2 2x 3 在区 间
［－1，＋∞）上是单调减函数．
证：在区间[－1，＋∞）上任意取两个值 x1,，x2且 ，
x1 x2 则
取值
f (x1 ) f (x2 ) (x12 2x1 3) (x22 2x2 3)
(x1 x2 )(x1 x2 ) 2(x1 x2 )
作图是发
现函数单
调性的方
－5
－3
o1
3 5 x 法之一.
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例2 求证(qiúzhèfn(gx)):函数1 1 x
上是单调(dāndiào)增函数.
(在,区0)间
证明
设x1, x2是区间(, 0)内任意
f
((mxz1)hínèg两nf)g(：个x2 )实数(，x11且1x)1(xx212。1)
第二十三页，共25页。
练习 判断函数f (x) x2 2x 的 单调性，并加以证明。
y
单调(dāndiào)递减区间
f (x) x2 2x (, 1]
单调递增(dìzēng)区
o
1 2
间：
x [1,)
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课堂练习:
1.若f (x) (2k 1)x b在 (,) 上是增函数,
例1.画出下列函数(hánshù)图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2.
y x2 +2的单调增区间是_(____,_0_];
y
y=-x2+2
2
1
y x2 +2的单调减区间是_[_0_,____) .
-2 -1
12 x
-1
-2
变式1：讨论 y ax2 (a 0) 的单调性
变式2：讨论 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
时 少 直 觉
作 两 边 飞
本 是 相 倚
联统
依
系一
莫体
分
第二页，共25页。
情景创设1
观察(guānchá)第一组函数图象，指出其变化趋势.
y
y=x+1
1
O1 x
y
1
O1 x
y
1
O1
x
从左至右图象(tú xi上àn升ɡ)呈______趋势 (shàngsh
ēng) 第三页，共25页。
观察第二组函数图象(tú xiànɡ)，指出其变化趋势.
第二十五页，共25页。
成果 (chéngguǒ）
y ax2 bx c (a 0)
函数
(há nsh ù) 单调
(dāndià o)区间
a0
(, b ) 2a
( b , ) 2a
a0
(, b ) 2a
单调(dānd减ià函o)数性 增函数 增函数
( b , ) 2a
x1 x2
f(x1) f(x2 )
f (x1)
f (x 2 )
函数f (x)在给定(ɡěi dìnɡ) 区间上为增函数。
O
x1
x2 x
如何(rúhé)用x与 f(x)来描述下降的图象？
y
y f(x)
在给定区间上任取x1, x2 ,
f (x1) f(x2)
O
x1 x2
x1 x2
f(x1) f(x2 )
(shùxué)应 调区间：
用
y
(1) y 1 (x 0);
y1
x
x
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)_,__(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) x
是单调减函数?
(0, )上
变：试讨论f (x) k (k 0) 在 , 0 和 0, 上的单调性？
f(t2)
f(t1)
t1
t2
问题(wèntí)1：说出气温在哪些时段内是逐步升 高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言来刻画[4,14]内“随着时间 的增大气温逐渐(zhújiàn)升高”这一特征？
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如何(rúhé)用x与 f(x)来描述上升的图象？
y
y f(x)
在给定区间上任取x1, x2 ,
减函数
第十八页，共25页。
练习(lià nxí):下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图 象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区 间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
解：
y＝f（x）的单调(dāndiào[)－区5间，－有3），[－3，1）
[1，3），[3，5]. 其中(qízhōng)y＝f（x）在[－5，－3）， 是减函数， 在[1[－，33，）y1上）， [3，5）上是增函数.
能否说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
y
3 1
012 x
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（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否(nénɡ fǒu)说在区间(0， +∞)上，y 随x 的增大而增大呢？
y
0
12 3 4
x
第八页，共25页。
（3）若有n个正数x1< x2<x3<······< xn，它们
第三步：判号.确定差的符号，适当的时候需要进行 讨论。
第四步：下结论.根据定义作出结论。
取值
作差变形 判号 第二十一页，共25页。
下结论
本堂课小结: 1.函数单调性的定义. 2.利用函数的图象(tú xià nɡ)求函数的单调区
间并判断其单调性. 3.利用函数单调性的定义证明函数在某区间
上的单调性.
x
函数f (x)在给定区间上为 减函数。
第十一页，共25页。
数学
(shù一xu般é地)构, 设函数 y f x的定义域为A,区间 I A.
建 如果对于区间I 内的任 意两 个 值 x1 , x2 ,当x1 x2 时,
都 有 f x1 f x2 ,那 么 就 说 y f x 在区间I 上 是单调增函数(increa sin g function) , I 称为 y f x
的单调减区间(decrea sin g int erval).
如果函数 y f x在区间I上是单调增函数或单调 减函数. 那么就说 y f x在区间I上具有单调性.单调增区间和单
调减区间统称为单调区 间.第十二页，共25页。
小结：单调函数的图像(tú xiànɡ)特征与数 量特征
增函数
减函数
图象
第一步：取值.即任取区间(qū jiān)内的两个值，且 x1<（x1）2.必须在同一单调区间上; （2）.必须是任意的,不能用定值代替;
（3）.必须设定它们的大小关系后,比较函数值的大小才有意义.
第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、 有理化(lǐhuà)等方法，向有利于判断差的符号的方向 变形。
第2章 函数(hánshù)概念与基本初等
函数(hánshù)Ⅰ
2.1.3 函数(hánshù)的简 单性质---单调性
第一页，共25页。
,
, (yǒngyuǎn) ——
离永 切 隔 数 形 数 焉 数
远莫离形少无能与
忘分结数形分形
华 罗 庚
几 何 代 数
家 万 事 休
合 百 般 好
时 难 入 微
的单调增区间 (increa sin g int erval).
如果对于区间I 内的任 意两 个 值 x1 , x2 ,当x1 x2 时,
都 有 f x1 f x2 ,那 么 就 说 y f x 在区间I 上 是 单调减函数(decrea sin g function) , I 称为 y f x
第五页，共25页。
图象在某一 区间内呈上 升趋势；
图象某一该 区间内呈下 降(xiàjiàng) 趋势；
在该区间(qū jiān)内 当x的增大时， 函数值y也增 大
在该区间内 当x的增大时， 函数(hánshù) 值y反而减小
函数 的这
种性 质称 为函 数的 单调 性。
第六页，共25页。
思考 （上，1）当对x＝于1(d时uì，yú)y某＝(os函)1ī；k数ǎ当，若x＝在2区时间，(y0＝，3+∞，)