2023版高考数学一轮总复习：高考中函数与导数解答题的提分策略课件理

则0<x1<1<x2<e.(6分)
1
要证2<

1
+ <e,即证2<x1+x2<e.

先证x1+x2>2.
要证x1+x2>2,即证x2>2-x1,
因为0<x1<1<x2<e,所以x2>2-x1>1,
又f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以即证f(x2)<f(2-x1),
又f(x1)=f(x2),所以即证f(x1)<f(2-x1),
(1)因为f(x)=x(1-ln x),所以f(x)的定义域为(0,+∞),f＇(x)=1-ln x+
1
x(-)=-ln x.(1分)
当x∈(0,1)时,f＇(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,f＇(x)<0.(3分)
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(4分)
(2)由题意,a,b是两个不相等的正数,且bln a-aln
解题思维1 高考中函数与导数解答题的提分策略
考情解读
函数是中学数学的核心内容,导数是研究函数的重要工具,函
数与导数作为历年来的压轴题之一,主要考查学生的数学运算、逻辑推理
等核心素养及分析问题、解决问题的能力.在高考中,函数与导数常与其
他知识结合起来,形成层次丰富的各类综合题.常涉及的函数有:指数函数、
即证当x∈(0,1)时,f(x)-f(2-x)<0.(7分)
构造函数F(x)=f(x)-f(2-x),
则F＇(x)=f＇(x)+f＇(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],
当0<x<1时,0<x(2-x)<1,则-ln[x(2-x)]>0,
即当0<x<1时,F＇(x)>0,所以F(x)在(0,1)上单调递增,
阅卷人在对高考中的解答题阅卷评分时,一般是依据该题考查的知识点和基
本技能等“据点给分”或“分步给分”.考生只要在解题过程中抓住得分点,
提分 就能得到步骤分.分步得分一般有两种措施:(1)一步步地解答,能写几步就写
探源 几步,得到相应的步骤分;(2)跳步解答,若在解题过程中卡在某一步,则可以
跳过这一步,写出后续步骤;若题目的第一问做不出来,且该题两问之间是递
进关系,可将第一问作为“已知”,完成第二问,也可得相应的步骤分.
2.典例 [2020新高考卷Ⅰ,12分]已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角
形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
思维导引
给什么
所以当1<x<e时,h(x)<h(e)=f(e)+e=e,即f(x)+x<e成立,
所以x1+x2<e成立.(11分)
综上可知,
1
2<

1
+ <e成立.(12分)

一题
多解
满分
策略
第(2)问也可用如下思路求解.
思路一:同解析先判断出x1<m,再求出f(x)在(e,0)处的切线方程y=-x+e,及y=x+e与y=m的交点(e-m,m),易知x2<e-m,进而可得x1+x2<e.
ln

1

1

ln+1

= − ,即
=
ln
b=a-b,两边同时除以ab,得
−
ln+1
1
1
,即f( )=f( ).(5分)



由(1)知f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且当0<x<e时,f(x)>0,当x>e
时,f(x)<0.
1
1
令x1= ,x2= ,不妨设x1<x2,
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a,b为两个不相等的正数,且bln a-aln
1
b=a-b,证明:2<
+
1
<e.

思维导引 （1）
求什么 要讨论f(x)的单调性,需求出f ＇(x),根据f ＇(x)>0和f ＇(x)<0得
想什么 函数的单调性.
（2）
给什么
得什么
求什么
想什么
差什么
找什么
规范答题
找什么 切线方程.
(2)
求什么
想什么
在f(x)≥1的条件下,求a的取值范围,即∀x>0,aex-1-ln x+ln a≥1.
得什么
(1)
由f(x)=aex-1-ln x+ln a及a=e,可得f(x 要求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积,需
想什么 先求出切线方程,再求出切线在两坐标轴上的截距.
差什么 要求切线方程,必须先求导函数f ＇(x),再求f ＇(1)及f(1),由点斜式可得
所以当0<x<1时,F(x)<F(1)=0,
所以当0<x<1时,f(x)-f(2-x)<0成立,所以x1+x2>2成立.(8分)
再证x1+x2<e.
由(1)知,f(x)的极大值点为x=1,f(x)的极大值为f(1)=1,
过点(0,0),(1,1)的直线方程为y=x,
设f(x1)=f(x2)=m,当x∈(0,1)时,f(x)=x(1-ln x)>x,(9分)
对数函数、分式函数、分段函数以及三次函数.常涉及的考法有:求切线
方程,判断单调性或求单调区间、极值、最值,求参数范围,零点问题,证
明不等式等.常涉及的思想有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结
合思想以及转化与化归思想等.常出现在解答题中,属于中高档难度的题.
1.典例 [2021新高考卷Ⅰ,12分]已知函数f(x)=x(1-ln x).
思路二:同证明x1+x2>2的方法,要证x1+x2<e,即证1<x2<e-x1,即证f(x2)>f(ex1),即证f(x1)>f(e-x1),构造函数φ(x)=f(x)-f(e-x)(x∈(0,1)),研究函数
φ(x)的性质进行证明.
1.正确运用公式与法则
熟练利用求导公式与法则,正确求导是破题的关键.
直线y=x与直线y=m的交点坐标为(m,m),则x1<m.
欲证x1+x2<e,即证x1+x2<m+x2=f(x2)+x2<e,
即证当1<x<e时,f(x)+x<e.(10分)
构造函数h(x)=f(x)+x,则h＇(x)=1-ln x,
当1<x<e时,h＇(x)>0,所以函数h(x)在(1,e)上单调递增,
2.分类讨论做到不重不漏
分类讨论是难点,需明晰分类的标准,要做到合理分类,不重不漏.
3.定义域优先
在利用导数讨论函数的单调性时,要先确定函数的定义域,求单调区间必须在
定义域内进行.
4.会构造函数
满分
证明双元不等式,常需要通过变形、转化为单元不等式,再通过构造函数,利
策略
用导数判断新构造函数的单调性,利用函数的最值即可证得结果.