2025届广东八校高三第四次联考数学答案

2024—2025学年度上学期普通高中高三第四次联合教学质量检测
高三数学试卷解析版
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合{}12A x x =<<，
{}B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．2a ≥ C ．1a ≤ D ．2a ≤
【答案】B
【详解】由A B A = 知A B ⊆，
又{}|12A
x x =<<，
{|B x x a =<，所以2a ≥， 故选：B.
2．在ABC 中，点D 是边BC 上一点，若AD xAB y AC =+ ，则22
(1)23
x y ++
的最小值为（ ） A ．56
B ．45
C ．4
3
D ．1 【答案】B
【详解】在ABC 中，点D 是边BC 上一点，由AD xAB y AC =+
，得1x y +=
，即1y x =−， 则222
222(1)115444[32(2)](588)()23666555
x y x x x x x ++=+−=
−+=−+≥，当且仅当45x =时取等号， 所以所求的最小值为4
5
.
故选：B
3．正项递增等比数列{}n a ，前n 项的和为n S ，若2430a a +=
，1581a a =，则6S =（ ） A ．121 B ．364 C ．728 D ．1093
【答案】B
【详解】在正项递增等比数列{}n a 中1581a a =，所以2415
81a a a a ==， 又2430a a +=，所以24327a a = = 或24
27
3a a = = （舍去），
设数列{}n a 的公比为()0q q >，则131
327a q a q = = ，所以131q a = = ，所以6613
36413S −==−.
故选：B.
4．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A ．
8
81
B ．
1681
C ．
2481
D ．
3281
【答案】A
【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍. 所以向左下落的概率为23
，向右下落的概率为1
3，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
故此时概率为：1
3
14
218C 3381
=
. 故选：A
5．函数()sin cos f x a x b x =
+图象的一条对称轴为直线π6
x =，则a
b =（ ）
A
B
．C
D
．【答案】C
【详解】由题意可得0a ≠，0b ≠，
(
)()sin cos f x a x b x x ϕ=++，其中tan b
a
ϕ=，[)0,2πϕ∈， 由函数()f x 图象的一条对称轴为直线π
6
x =， 即有
()ππ
2π62
k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π3k k ϕ=+∈Z ， 又[)0,2πϕ∈，故π3
ϕ=
，故1π
tan 3
a b ==
故选：C.
6．已知点1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y
B a b a b
+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12
F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127
cos 9
F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（ ）
A
B
C
D
【答案】B
【详解】点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 必在2MF 上，因此2,,M F N 共线，1MF MN =，
122MF MF a +=，设1MF m =2
2MF a m =−，MN m =，2222NF MN MF m a =−=−， 又122NF NF a +=
，∴142F N a m =−， 1MF N 中，由余弦定理得：222
111122cos F N MF MN MF MN F MF =+−∠，
∴2222
7(42)29
a m m m m −=+−×，化简得32m a =，
∴13
2
MF a =
，212MF a =，
12MF F △中，122F F c =，
由余弦定理得2
2231317(2)()()222229c a a a a =+−×××
，解得c e a
==
故选：B ．
7．已知函数()f x 定义域为()0,∞+，1x ∀，()20,x ∈+∞，()()
122112
0x f x x f x x x −<−，且()36f =，
()
22224f a a a a +>+，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()(),20,−∞−∪+∞
B ．()(),31,−∞−+∞
C ．()3,1−
D ．()()320,1−− ,
【答案】B
【详解】由条件得1x ∀，()20,x ∈+∞，()()
212
121
0f x f x x x x x −>−，()f x x
∴在()0,∞+上递增. 由()2
2
224f a a a a +>+得
(
)()2223223
f a a f a a
+>=
+，
则22
20
323a a a a a +>⇒<− +> 或1a >． 故选：B ．
8．在△ABC 中，AD 为BAC ∠的角平分线（D 在线段BC 上），
1,2CD AD ==，当AB AC +取最小值时，BD =（ ）.
A ．1
2
B
C 1
D 1+ 【答案】C
【详解】设,BD x ADC α=∠
=，DAC ∠θ=，则()
0,
πα∈，
则在ADC △中由余弦定理可得2222cos AC AD CD AD CD α=+−⋅⋅， 即2414cos AC α=+−
，所以AC =，
由角平分线定理可得
AB BD
AC CD
=
，所以AB =又ABD ADC ABC S S S +=
， 故111
sin sin sin 2222
AB AD AD AC AB AC θθθ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，
化简得1cos x θ+=①，
而在△ADC 中由余弦定理
cos θ=
代入①得11cos x α=
−.又因为()0,πα∈，所以()cos 1,1α∈−，所以1,2x ∞
∈+
，
故
1,2AB AC x ∞
=
=
∈+ . 所以
()
f x AB AC =+=
所以()
f x ′
令()1
012
f x x =⇒=
−>
′或10x <（舍去），
所以当112x
∈−
时，ff ′(xx )<0，则()f x
单调递减，
当)
1,x ∞∈
−+时，ff ′(xx )>0，则()f
x 单调递增，
所以1x
=时，()f x 取得最小值，即AB AC +取得最小值.
所以AB
AC +取得最小值时，1BD =.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知12,z z 是关于x 的方程()2
20x x m m −+=
∈R 的两根，则（ ）
A ．122z z +=
B ．12=z z
C ．若1m >，则12z z =
D ．若1m >，则22
12
2z z +<
【答案】ACD
【详解】关于x 的二次方程220,44x x m m −+=∆=−．
当1m ≤时，0∆≥，所以1212,,2z z z z ∈+=
R ，12z z m =，但12=z z 不一定成立． 当1m >时，0∆<，12,z z 是方程的两个复数根，12122,z z z z m +=
=仍成立，此时12=z z ，故A 正确，B 错误．
若1m >，方程220x x m −+=的两根为1x =，所以12,z z 互为共轭复数，C 正确．
若1m >，由于12122,z z z z m +==，所以()2
22
1212122422z z z z z z m +=+−=−<，D 正确．
故选：ACD
10．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为
SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且
2AC CB
=，SM SC λ= ，(01,01)SN SB =<<<<
µλµ，则（ ）
A ．存在()0,1λ∈，使得BC AM ⊥
B ．当2
3
µ=
时，存在()0,1λ∈，使得//AM 平面ONC
C ．当1
3λ=，23µ=时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，5
7
µ= 【答案】BCD
【详解】对于A ，BC AC ⊥，则BC 与AM 不可能垂直，若BC AM ⊥，则⊥BC 面SAC ，则BC SA ⊥，则⊥BC 面SAB 矛盾，A 错．
对于B ，取SN 中点P ，则//AP ON ，过P 作//PM CN 交SC 于点M ，此时M 为SC 中点，则面//APM 平面
ONC ，∴//AM 平面ONC ，B 对．
对于D ，如图建系，()0,A −，()
0,B ，()0,0,6S ，
()
0,,66N µ− (
)
0,6AN µ=
+−
，()
C ，6)SC =− ，，0AN SC ⋅=
∴6636360+−+=
µµ，∴5
7
µ=，D 对．
对于C,23
µ=
时，2
3ASN SAB S S =△△，13λ=时，M 到平面SAB 的距离是C 到平面SAB 距离的13.
1121
3333M SAN SAN SAB V S h S h −=′=⋅⋅△△，其中h ′表示M 到平面SAB 的距离，h 是C 到平面SAB 距离，
2212211
3627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h V −−=
=⋅==××××=△△C 对， 故选：BCD ．
11．已知圆221:(1)1Q x y −+=
和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=的交点为,A B ，则（ ） A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y −=
B ．线段AB 的中垂线方程为10x y −=
C ．公共弦AB 的长为
D ．P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 【答案】AB
【详解】对于A ，因为圆22
1:(1)1Q x y −+=
和圆222:(1)(2)5Q x y ++−=，圆心距
11<<+,两圆相交，将两式作差可得公共弦AAAA 所在直线的方程为440x y −=
，即0x y −=，故选项A 正确；
对于B ，因为圆22
1:(1)1Q x y −+=
的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AAAA 中垂线的斜率为1−，即线段AAAA 中垂线方程为()01y x −=
−−，整理可得10x y +−=，故选项B 正确；
对于C ，圆心()11,0Q 到直线0x y −=
的距离为d 1Q 的半径rr =1，所以
AB =C 错误；
对于D ，点P 为圆1Q 上一动点，圆心()11,0Q 到直线0x y −=
的距离为d =1Q 的半径rr =1，所以
点P 到直线AAAA 1，故选项D 错误． 故选：AB ．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，(10)P x m >=
，(68)P x n ≤≤=，则21
m n
+的最小值为 .
【答案】6+6
【详解】 随机变量X 服从正态分布2~(8,)X N σ，
1
(8)2P X ∴≥=，由(10)P x m >=，(68)(810)P x P x n ≤≤=≤≤=，
1
2
m n ∴+=，且0,0m n >>，
则()21212223236n m m n m n m n m n
+=++=++≥+=+
当且仅当
2n m m n =，即m n
=
所以21
m n
+的最小值为6+．
故答案为：6+.
13．在数列{}n a 中，11
1,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥−N 恒成立，则实数k 的最小值为 . 【答案】
4
27
【详解】由1
34n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=， 故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列， 所以1
233
3n n n a −+=×=，
则不等式()235n k a n +≥−可化为353
n n k −≥
，令()()
*35
3n
n f n n −=∈N ， 当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >； 又()()11
32351361333n n n n n n
f n f n ++−−−+−=
−=，
则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，
所以()()333543327f n f ×−≤=
=，则427k ≥，即实数k 的最小值为4
27
. 故答案为：
427
. 14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 【答案】5
7
【详解】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =−，
又点()5,4P ，则
25c PF ==， 在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点G ， 过P 作PM 垂直直线2x =−，交直线2x =−于点M ，
由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=−−=，故椭圆离心率
25
27
c e a =≤．
故答案为：5
7
.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin cos c B C ⋅，b =． (1)求角B ；
(2)若2a c +=
，求边AC 上的角平分线BD 长； (3)若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围． 【答案】(1)π3
(3)32
【详解】（1）在ABC
中，由正弦定理及sin cos c B C ，
得sin sin cos B C B C A
)
cos sin B C B C B C +=，
即sin sin sin B C B C =，而(0,π)C ∈，sin 0C ≠，
解得tan B =(0,π)B ∈，所以π
3
B =. （2）由π3
B =
及b =()2
2233c a ac c a ac =+−=+−， 又2a c +=
，解得1
3
ac =， 由ABC ABD BDC
S S S =+ 得111sin sin sin 22222B B
ac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅， 即ππsin ()sin 36ac BD c a =⋅+
，则11232
BD ××
，所以BD =
（3）因为E 是AC 的中点，所以
()
12
BE BA BC =+ ， 则()
()
2222211322444
ac
BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，
由正弦定理得，2πsin 4sin sin 4sin sin sin 3b ac A C A C A A B ===−
即2
πcos 2sin
cos212sin 216ac A A A A A A
=+=−+=−+
，
ABC 为锐角三角形， π02
2ππ
032A A
<< <−<
，所以ππ,62A ∈ ，所以ππ5π2,666A −∈ ，
所以π1sin 2,162A −∈ ，所以
(]π2sin 212,36ac A
=−+∈
， 所以
23279,444ac BE + =∈
，
所以32BE ∈ ，即边AC 上的中线BE
的取值范围为32 ． 16.（本小题15分）
已知函数2()e (1)mx f x
x mx =−−． (1)当1m =时，曲线()y f x =在点(,())k f k （1,2,3k =）处的切线记为k l ．
①求1l 的方程；
②设k l 的交点构成ABC ，试判断ABC 的形状（锐角、钝角或直角三角形）并加以证明． (2)讨论()f x 的极值．
【答案】(1)①e 0+=
y ；②ABC 为钝角三角形，证明见解析； (2)答案见解析.
【详解】（1）当1m =时，2()e (1)x f x x x =
−−，则2()e (2)x f x x x ′=+−， ①因为2(1)
e(112)0f ′=+−=，2(1)e(111)e f =−−=−，所以1l 的方程为e 0+=y . ②ABC 为钝角三角形，证明如下:
由①知1l 的方程为e 0+=
y ， 又222(2)
e (222)4e
f ′=+−=，222(2)e (221)e f =−−=， 所以2l 的方程为2
2e 4e (2)y x −=
−，即224e 7e y x =−， 又233(3)
e (332)10e
f ′=+−=，323(3)e (331)5e f =−−=， 所以3l 的方程为3
35e 10e (3)y x −=
−，即3310e 25e y x −， 由224e 7e e y x y =− =− ，得到7e 14e x −=，所以7e 1,e 4e A −
−
， 由3310e 25e e y x y =− =− ，得到22
25e 1
10e x −=，所以2225e 1,e 10e B −− ， 由3322
10e 25e 4e 7e y x y x =
− =−
，得到3
25e 730e ,10e 410e 4x y −=−−，所以325e 730e ,10e 410e 4C − −−
，
得到2222
7e 125e 115e 5e 2,0,04e 10e 20e BA
−−−−+=−= ， ()33233225e 725e e 30e 30e 10e 430e ,e ,e 10e 410e 10e 410e 10e 410e 4BC
−−+−=−+=+
−−−−
， 则
()
222215e 5e 230e 10e 4
20e 10e 10e 4BC BA −−++−⋅=×− ， 注意到2215e 5e 20,30e 10e 40,10e 40−−+<+−>−>，
所以
cos 0BC BA BC BA B ⋅=⋅<
，得到cos 0B <， 又AA ∈(0,π)，所以π,π2B
∈
，即ABC 为钝角三角形.
（2）因为2()e (1)mx f x
x mx =−−，则22()e [(2)2]e (2)()mx mx f x mx m x m mx x m ′=−−−=+−， 当0m =时，()2f x x ′=，由()0f x ′=，得到0x =，当0x >时，()0f x ′>，0x <时，()0f x ′<， 此时0x =是()f x 的极小值点，极小值为(0)1f =−，无极大值， 当0m ≠时，由()0f x ′=，得到2
x m
=−或x m =，又e 0mx >， 若0m >，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′>，2,x m m
∈−
时，()0f x ′<， 此时，2x m
=−
是()f x 的极大值点，极大值为2
22()e (41)f m m −=+−，
x m =是()f x 的极小值点，极小值为2
()e m f m =−，
若0m <，当2(,)(,)x m m ∈−∞−+∞ 时，()0f x ′<，2,x m m
∈−
时，()0f x ′>，
此时，2x m
=−
是()f x 的极大值点，极大值为2
22()e (41)f m m −=+−，
x m =是()f x 的极小值点，极小值为2
()e m f m =−.
综上，当0m =时，极小值为(0)1f =−，无极大值，
当0m ≠时，极大值为22()e 1)f m −=+−，极小值为2
()e m f m =−. 17.（本小题15分）
如图，在四棱锥P ABCD −中，平面PDC ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，112AB
CD AD ===，M 为棱PC 的中点.
(1)证明：//BM 平面PAD ； (2)若PC =，1PD =，
（i ）求二面角P DM B −−的余弦值；
（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM PQ 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2)（i
）（ii
）存在，PQ 【详解】（1）取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，如图所示：M 为棱PC 的中点，
MN CD ∴ ，1
2
MN CD =
， AB CD ，1
2
AB CD =，AB MN ∴∥，AB MN =，
∴四边形ABMN 是平行四边形，BM AN ∴ ，
又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， //BM ∴平面PAD .
（2
）PC = 1PD =，2CD =，
222PC PD CD ∴=+，PD DC ∴⊥，
平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD DC =，PD ⊂平面PDC ，
PD ∴⊥平面ABCD ，
又AD ，CD ⊂平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，PD CD ⊥，又AD DC ⊥，
∴以点D 为坐标原点，DA ，DC DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
如图：则()0,0,1P ，()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，
M 为棱PC 的中点，
10,1,2M
∴ ，()1,1,0B
（i ）
10,1,2DM =
，()1,1,0DB = ， 设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =
，
则1020
n DM y z n DB x y ⋅=+= ⋅=+=
，令2z =，则1y =−，1x =，
()1,1,2n ∴=−
，
平面PDM 的一个法向量为()1,0,0DA =
，
cos ,n DA n DA n DA ⋅∴==
根据图形得二面角P DM B −−为钝角， 则二面角P DM B −−
的余弦值为 （ii ）假设在线段PA 上存在点Q ，使得点Q 到平面BDM
设PQ PA λ=
，01λ≤≤，
则(),0,1Q λλ−，()1,1,1BQ λλ−−−
，
由（2）知平面BDM 的一个法向量为()1,1,2n
=− ，
()11212BQ n λλλ⋅=−++−=−
，
∴点Q 到平面BDM 的距离是
BQ n n ⋅=
, 1
2λ∴=
PQ ∴18.（本小题17分）
已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
()2,1P
，不过原点O 的直线
l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB = ，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.
【答案】(1)2
214x y +=
【详解】（1）由已知椭圆左顶点为(),0a −，到点()2,1P
解得2a =，
又椭圆离心率c e a = 解得1b =，
所以椭圆方程为：2
214x y +=；
（2）
如图所示，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，
22
221414
A A
B B
x y x y += ∴ += 两式相减，得()
222204A B A B x x y y −+−=
，整理得41A B A B A B A B y y y y x x x x +−×=−+−， 设()
,Q Q Q x y ，由2AB QB =
得Q 为线段AB 的中点，
2
A B
Q x x x +∴=，2A B Q y y y +=，
由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有1
2
OQ OP
k k ==， 即1
2
Q A B OQ
Q A B y y y k x x x +===+， 所以11
24A B A B y y x x −×=−−，故12A B AB A B
y y k x x −==−−， 设直线1
:2
l y x m =−+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程， 得2
21412x y y x m +=
=−+
，整理得()22
2210x mx m −+−=， 则()()
2
2Δ2810m m =−−−>
，得m <<且0m ≠， 且2A B x x m +=，()221A B
x x m =−，
B
AB x
∴=−=
点P到直线l
的距离为
d
1
2
2
APB
S AB d
∴==−
m
<<且0
m≠，
记()()()2
2
22
f m m m
=−−，()()()
2
421
f m m m m
′=−−−，
令()0
f m
′=
，及m
<<得m=，
所以()()()2
2
22
f m m m
=−−
在m
∈
时单调递增，在
上单调递减，
所以当m=APB
S
取最大值，
此时直线
l方程为
1
2
y x
=
−
与坐标轴交点为()
1
M，N
1
2
MON
S OM ON
∴=⋅=
.
19.（本小题17分）
函数()
()1
ln
1
a x
f x x
x
−
=−
+
.
(1)3
a=时，讨论()
f x的单调性；
(2)若函数()
f x有两个极值点
1
x、
2
x，曲线()
y f x
=上两点()
()
11
,x f x、()
()
22
,x f x连线斜率记为k，求证：
2
1
a
k
a
−
>
−
.
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个
小球编号各不相同的概率为p，求证：
2
1
e
p<
.
【答案】(1)增区间为(0,
2、()
2
+∞
，减区间为(22
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当3a =时，()()31ln 1
x f x x x −=−
+，该函数的定义域为(0,+∞)，
()()()()()
2
22221616
41111x x x x f x x x x x x x +−−+=−=+++′=， 由ff ′(xx )<0
可得22x <<+ff ′(xx )
02x
<<
2，
所以，函数()f x 的增区间为(0,2、()2∞+，减区间为(22+.
（2）因为()f x 定义域为(0,+∞)，()()()()
()()2
2211221111a x a x x a x f x x x x x +−−+−+=−=+′+， 对于方程()2
2210x a x +−+=
，()()
2
2Δ22442a a a =−−=−， 因为函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，则方程()2
2210x a x +−+=
在(0,+∞)上有两个不等的实根， 所以，()221212
Δ224480
10
220a a a x x x x a =−−=−>
=> +−> ，解得2a >, 则
()()()()1212
12121212
11ln ln 11a x a
x x x x x f x f x k
x x x x −−−−− −+−
=−− ()()()121212122ln 11a x x x x x x x x −−++=
−1
2121212ln ln ln 211221x x x x a x x a x x −=−=−−+−+−， 所以要证21
a
k a −>
−，即证1212ln ln 1111x x x x a −−>−−−，即证121212ln ln 2x x x x x x −>−+，
也即证()1122111212
2
2
212ln
ln 01x x x x x x
x x x x x x
− − −=
−<++（*）成立． 设()120,1x t x =∈，函数()()21ln 1t h t t t −=−+，则()()()()2
22114011t h t t t t t −=−=+′≥+， 所以，函数()h t 在(0,+∞)上单增，且ℎ(1)=0，
所以()0,1t ∈时，()0h t <，所以（*）成立，原不等式得证.
（3）由题可得201002020
A 100998281
100100
p ××⋅⋅⋅××==， 因为222998190990×−<，222988290890×−<，…，222918990190×=−<， 所以19
910p
<
，
又由（2）知()1,t ∞∈+，()()21ln 01
t h t t t −=−
>+，
取109t =，有1021101029ln ln 010991919
−
−=−>+， 即19
10ln 29
>
，即19
210e 9 > ，
所以19
29110e p
<<
．。