函数的性质(2)

2018年12月1日星期六
（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满
足f(x+2)=f(x+1)−f(x)，如果f(1)=lg(3/2)，
f(2)=lg15，则f(2007) =
1
。
解：f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)
=[f(x+1)−f(x)]−f(x+1)=−f(x)， 所以f(x)的周期是T=6，
函数的性质（二）
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（三）函数的周期性
1、函数f(x)，对于定义域内任意的x， 满足f(x+a)=f(x) (a>0，a为常数)，则f(x)是周 期为a的周期函数。其中满足条件的最小的 正数a叫做最小正周期。
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③指数函数型：
f ( x) a
x
f ( x y ) f ( x) f ( y )
f ( x) f ( x y) f ( y)
④对数函数型： f ( x) loga x
f ( xy) f ( x) f ( y)
例：（1）设函数f(x)(x∈N)表示除以3的余
数，则对任意的x, y∈N，都有( A ) A. f(x+3)=f(x) C. f(3x)=3f(x) B. f(x+y)=f(x)+f(y) D. f(xy)=f(x)f(y)
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数，−f(x−1)=f(1−x)，
f(2007)=f(3)=f(2)−f(1)=1.
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（3）设f(x)是定义在R上的奇函数，且
f(x+2)=−f(x)，证明：直线x=1是函数y=f(x)
图象的一条对称轴 .
证明：由已知f(1+x)=−f(x−1)，又f(x)为奇函
−0.5
.
(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x) ， 且在[−3, −2]上nα)，f(cosβ)的大小关系
为
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f (sin ) f (cos 。 )
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和一条对称轴x=b (a≠b)，则函数y=f(x)必是周期
函数，且一周期为T=4|a−b|；
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例：已知定义在R上的函数f(x)是以2为周 期的奇函数，则方程f(x)=0在[−2，2]上至 5 少有__________ 个实数根。
x f ( ) f ( x) f ( y ) y
⑤三角函数型： f ( x) tan x
f ( x) f ( y ) f ( x y) 1 f ( x) f ( y )
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1．借鉴模型函数进行类比探究。几类常见
的抽象函数 ：
①正比例函数型： f ( x) kx(k 0)
f ( x y ) f ( x) f ( y )
②幂函数型：
f ( x) x
2
f ( xy) f ( x) f ( y)
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x f ( x) f( ) y f ( y)
2．类比“三角函数图象”得：
①若y=f(x)图像有两条对称轴x=a, x=b(a≠b)，
则y=f(x)必是周期函数，且一周期为T=2|a−b|；
②若y=f(x)图像有两个对称中心A(a,0)、B(b,0)
(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，且一周期为
T=2|a−b| ；
③如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)
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3．由周期函数的定义推得：
①函数f(x)满足f(x+a)=−f(x)(a>0)，则f(x)是
周期为2a的周期函数；
1 ②若f(x+a)= (a>0)恒成立，则T=2a； f ( x)
例：已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) 为周期函数，若它的最小正周期为T， 则 f ( T )
2
0
.
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2．利用函数的性质（如奇偶性、单调性、
周期性、对称性等）进行演绎探究
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（四）抽象函数
抽象函数：抽象函数通常是指没有给 出函数的具体的解析式，只给出了其它一 些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶 性、解析递推式等）的函数问题。
求解抽象函数问题的常用方法有如下
几种常见形式：
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1 ③若f(x+a)=− (a>0)恒成立，则T=2a； f ( x)
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例：(1) 设f(x)是(−∞, +∞)上的奇函数，f(x+2) =−f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(47.5)等 于
（3）已知f(x)是偶函数，且f(1)=993，g(x)=
f(x－1)是奇函数，则f(2007)的值是 993 （4）设f(x)是定义域为R的函数，且 f(x+2)[1−f(x)]=1+f(x)，又f(2)=2+ 2 ， 则f(2006)= .
2 2 2
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