计数中涉及相邻与不相邻的问题——捆绑与插空

计数中涉及相邻与不相邻的问题——捆绑与插空
例1.A，B，C，D，E，F一共6个小朋友排成一排，其中A，B两个必须相邻，求一共有多少种排列方法？若A，B两个人不能相邻，求一共有多少种排法？
[答疑编号5721070101]
【答案】240；480
【解答】将A、B看成一个整体M，那么M与C、D、E、F排成一排共有种方法，而M中A与B的顺序又有两种确定方法，因此A、B相邻的排列方法一共有120×2=240种；
方法1：不考虑A，B是否相邻的问题，所有的排列方法数为种，减去A，B相邻的方法数240，得到A，B不相邻的排列方法数为种.
方法2：对于A、B不相邻的问题，可以用乘法原理按如下步骤完成排列：
第一步：将C、D、E、F排成一排，共有种方法；
第二步：在C、D、E、F形成的5个间隔中，选出两个空位由A、B站入，有种方法。

因此一共有24×20=480种排列方法。

方法总结：
（1）捆绑法：如果在排列的题目中要求某些人必须相邻（例如A，B），那么可以先将他们（A，B）捆绑在一起和其他人进行排列，然后再将捆绑在一起的这些人进行排列；
（2）插空法：如果在排列的题目中要求某些人不能相邻（例如A，B），那么可以先将其他人进行排列，再将他们插入到其他人形成的空位中进行排列。

例2.3个男生，3个女生排成一排，
（1）要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？
（2）要求男生不能相邻，女生也不能相邻，求一共有多少种排法？
（3）要求3个男生相邻，有多少种排法？
[答疑编号5721070102]
【答案】144；72；144.
【解答】（1）先将女生排列好，一共有种方法.女生排列好后一共有4个空隙可以排入男生，将3个男生排入4个空隙中一共有种方法.所以3个男生3个女生排成一排，男生不能相邻的排列方法一共有种.
（2）3个男生不能相邻，3个女生也不能相邻，那么排列的方式只有两种：“男女男女男女”和“女男女男女男”.每一种方式都有种排列方法，所以3个男生，3个女生排成一排一共有
种方法.
（3）将3个男生捆绑在一起，有种捆绑方法。

再将1个捆绑好的男生团与3个女生一起排列，有种排列方法，一共有种.
例3.用0，1，2，3，4五个数字一共可以排列出多少个没有重复数字的5位数？若0，1不能相邻，求一共有多少种排法？
[答疑编号5721070103]
【答案】96；54.
【解答】（1）用0，1，2，3，4五个数字一共可以排列出个不同的5位数.
（2）先将2，3，4排列好一共有种方法，总共分隔出了4个空隙；第二步，将0插入到空隙中，由于0不能做为自然数的首位，所以一共有3种方法；第三步，将1插入到空隙中，由于不能和0相邻，所以一共也是3种方法.利用乘法原理，排列方法数一共为种.
例4.某条公路的一侧有2012只路灯.为节约能源，要关掉其中的200只，但为了照明需要，不能关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，那么有多少种关灯的方法？（用排列数或组合数表示）[答疑编号5721070104]
【答案】
【解答】用插空法，将题目转化为剩下1812只亮的路灯中间插入200只不亮的路灯（不含两端的空位）.
例5.用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有多少个？
[答疑编号5721070105]
【答案】576
【解答】
例6.进行8次射击，已知命中3次，则其中恰有2次连续命中的情形共有多少种？
[答疑编号5721070106]
【答案】30
【解答】
例7.园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵白桦树种成一行，有多少种种法？如果要求任何两棵白桦树都不能相邻，那么有多少种种法？
[答疑编号5721070107]
【答案】220；1960
【解答】。