【推荐精选】2018届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程学案 文

第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握确定直线位置的几何要素．
3．掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系．
知识点一直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴______与直线l______方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．
(2)倾斜角的范围为________．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________.
答案
1．(1)正向向上0°(2)[0°，180°)
2．(1)正切值tanα(2)y2－y1 x2－x1
1．直线2x＋1＝0的倾斜角为________．
解析：直线2x＋1＝0的斜率不存在，倾斜角为90°.
答案：90°
2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A．1 B．4
C ．1或3
D ．1或4
解析：由题意知，4－m
m ＋2＝1，解得m ＝1.
答案：A
知识点二 直线方程 1．直线方程的五种形式
2.线段的中点坐标公式
若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ ，y ＝ ，
此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．
答案
1．y ＝kx ＋b y －y 0＝k (x －x 0) y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y
b
＝1 2.
x 1＋x 22
y 1＋y 2
2
3．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3
4.则直线l 的方程为( )
A ．3x ＋4y －14＝0
B ．3x －4y ＋14＝0
C ．4x ＋3y －14＝0
D ．4x －3y ＋14＝0
解析：由点斜式得y －5＝－3
4(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.
答案：A
4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－2或－1
D ．－2或1
解析：当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为
2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a
a
，得a ＝－2或a ＝1.
答案：D
5．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的斜率等于直线x ＋3y ＝0的斜率的2倍，则这条直线的方程为________．
解析：由x ＋3y ＝0，得y ＝－33x ，故所求直线的斜率k ＝－23
3
，又该直线过点A (2，－3)，所以这条直线的方程为
y －(－3)＝－
23
3
(x －2)，整理得2x ＋3y －4＋33＝0. 答案：2x ＋3y －4＋33＝0
热点一 直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π2，π
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．
【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤
π4或3π
4
≤θ<π. (2)如图，
∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－0
0－1＝－3，
∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)
1．若将例题(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解：∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝
1－0
2－－
＝13， k BP ＝
3－00－－
＝ 3.
如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，3.
2．若将例题(2)条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的范围．
解：
法1：如图所示，k PA ＝
－2－－
1－0
＝－1，k PB ＝
1－－
2－0
＝1，由图可观察出：直线l
倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
法2：由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.
∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上．∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0.∴－1≤k ≤1.
∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.
【例2】 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是3
5；
(2)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．
【解】 (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35.∴cos α＝±4
5，直线的斜率k ＝tan α＝
±3
4
.又直线在y 轴上的截距是－5，
由斜截式得直线方程为y ＝±3
4
x －5.
(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)． ∴l 的方程为y ＝2
3x ，即2x －3y ＝0.
若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a
＝1. ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2
a
＝1.
∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.
综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.
(3)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan2α＝
2tan α1－tan 2
α＝－3
4
. 又直线经过点A (－1，－3)，
因此所求直线方程为y ＋3＝－3
4(x ＋1)，
即3x ＋4y ＋15＝0.
(1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0
B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0
C ．x －2y －1＝0
D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0
(2)已知直线l 过直线x －y ＋2＝0和2x ＋y ＋1＝0的交点，且与直线x －3y ＋2＝0垂直，则直线l 的方程为________.
解析：(1)当直线过原点时，由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为2
5，故直线的方程为y
＝2
5x ，即2x －5y ＝0.当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k (k ≠0)，则在y 轴上的
截距是2k ，直线的方程为x k ＋
y 2k ＝1，把点(5,2)代入可得5k ＋2
2k
＝1，解得k ＝6.故直线的方程为x 6＋y
12
＝1，即2x ＋y －12＝0.故选B.
(2)由条件可设直线l
的方程为3x ＋y ＋m ＝0.解方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，
2x ＋y ＋1＝0，得直线x －y ＋2
＝0和2x ＋y ＋1＝0的交点坐标为(－1,1)．由题意，得3×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝2.故直线
l 的方程为3x ＋y ＋2＝0.
答案：(1)B (2)3x ＋y ＋2＝0 热点三 直线方程的应用
考向1 与基本不等式相结合求最值
【例3】 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →
|取得最小值时直线l 的方程．
【解】 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1
b
＝1.|MA
→
|·|MB →
|＝－MA →
·MB →
＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
【例4】 (2016·北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )
A ．－1
B ．3
C ．7
D ．8
【解析】 依题意得k AB ＝5－1
2－4＝－2，∴线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2,4]，即y ＝
－2x ＋9，x ∈[2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2,4]．设h (x )＝4x －9，易知
h (x )＝4x －9在[2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.
【答案】 C
考向3 与几何图形相结合的问题
【例5】 已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f c
c
的大小
关系为________________．
【解析】
作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的大致图象，如图所示，可知当x >0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以
f a a <f b b <f c
c
. 【答案】 f a a <f b b <f c
c
(1)若直线x a ＋y b
＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
(2)(2017·兰州模拟)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2
y ＝2a 2
＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________.
解析：(1)将(1,1)代入直线x a ＋y b
＝1得1a ＋1b
＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2
＋b a ＋a
b
≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b ＝2时取到，故a ＋b 的最小值为4.
(2)由题意知，直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2
－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154
，当
a ＝12
时，面积最小．
答案：(1)C (2)1
2
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：
2．与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点 (1)明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．。