2023年北京市初三二模数学试题汇编：二次函数章节综合

2023北京初三二模数学汇编
二次函数章节综合
一、单选题 1．（2023·北京顺义·统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋，经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x （元），每星期的销售量为y （袋），每星期销售这种干果的利润为z （元）．则y 与x ，
z 与x 满足的函数关系分别是（ ）
A ．一次函数，二次函数
B ．一次函数，反比例函数
C ．反比例函数，二次函数
D ．反比例函数，一次函数
二、解答题
2．（2023·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
20y ax x c a =−+≠与y 轴交于点
A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点
B ．
(1)若4c =，点()2,4C −在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴； (2)若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．
3．（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB 长为4dm ，曲线是抛物线的一部分，顶点C 在AB 的垂直平分线上，且到AB 的距离为4dm ．以AB 中点O 为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在AB 上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．
4．（2023·北京大兴·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)在抛物线21(0)y ax bx a =++>上． (1)求抛物线的对称轴；
(2)已知点0(,)A x m ，点(3,)B n 在抛物线上，若对于01t x t ≤≤+，都有m n <，求t 的取值范围． 5．（2023·北京朝阳·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y −在抛物线2y x ax =−上． (1)求1y 的值（用含a 的式子表示）； (2)若1a <−，试说明：10y <；
(3)点()21,y ，()32,a y −在该抛物线上，若1y ，2y ，3y 中只有一个为负数，求α的取值范围．
6．（2023·北京顺义·统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）近似
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度水平距离/m x
2
4
6
11
12
竖直高度/m y 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系(y a x =−
a<时，如图3-2所示，
当0
由函数图象可知，对于任意的a都符合题意；
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与题的关键．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 4．(1)1x = (2)12t −<<
∵0a >
∴抛物线开口向上，
∵点()0,A x m ，()3,B n 在抛物线上，且m n < ∴013x −<<， ∵01t x t ≤≤+
∴113t
t −<⎧⎨+<⎩
解得12t −<<．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 5．(1)11y a =+ (2)见解析
(3)1a <−或12a <≤
【分析】（1）直接把()11,y −代入抛物线解析式中求解即可； （2）先求出10a +<，再由11y a =+，即可得到10y <；
（3）先求出22142y a y a =−=−，，然后分类讨论a 的取值范围，根据1y ，2y ，3y 中只有一个为负数进行求解即可．
【详解】（1）解：把()11,y −代入2y x ax =−中得：()2
111y a a =−+=+；
（2）解：由（1）得11y a =+， ∵1a <−， ∴10a +<， ∴10y <；
（3）解：∵点()21,y ，()32,a y −在该抛物线上， ∴()()2
2212242y a y a a a a =−=−−−=−，； 当1a <−时，1230y y y <<<，符合题意； 当1a =−时，1230y y y =<<，不符合题意； 当10a −<<时，1230y y y <<<，不符合题意； 当0a =时，1230y y y <=<，不符合题意； 当01a <<时，123000y y y >>>，，，不符合题意； 当1a =时，123000y y y >=>，，，不符合题意； 当12a <<时，123000y y y ><>，，，符合题意； 当2a =时，123000y y y ><=，，，符合题意； 当2a >时，123000y y y ><<，，，不符合题意；
9．(1)①()2
0.024 2.8y x =−−+；②能
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点()42.8，
，则设()()2
4 2.80y a x a =−+<，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a 值，
②当9x =时，求得 2.3y =，再与球网高度比较即可得出答案． （2）令0y =，求出抛物线与x 轴的交点，再比较即可．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点()42.8，
设()()2
4 2.80y a x a =−+<
把()02.48，
代入得0.02a =− ∴所求函数关系为()2
0.024 2.8.y x =−−+
②当9x =时，则()2
y=0.0294 2.8 2.3 2.24−−+=>， ∴能
（2）解：判断：没有出界 令0y =，则()2
0.024 2.880x −−+= 解得18x =−（舍），216x = ∵21618x =< ∴没有出界．
【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．
10．(1)见解析 (2)4；3
(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ． 【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象； （2）结合图表回答，即可解答；
（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5x =，求得函数值，即可解答． 【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，
抛物线的对称轴为m c >，22
a a +∴<22a a ∴<c n <，
2
b a ∴>，24b ≤≤2a ∴>；②当1
2
−≤m c >，22
a a +∴≥22a a ∴≥12
a ∴−≤③当a <−m c >，22
a a +∴<22a a ∴<c n >，
2
b a ∴<，24b ≤≤1a ∴<，
12
a ∴<−综上所述，【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想
a ．
∴a的取值范围为1
【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线的平移．熟练掌握抛物线的图象性质是银题的关键．。