2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(十九) 正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积

高考达标检测（十九） 正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积 一、选择题
1．(2017·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin
B ，则A ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析:选A 因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝1
2
，又0°<A <90°，所以A ＝30°，故选A 、
2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，若
cos A cos B ＝b
a
＝2，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．钝角三角形
解析:选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B 、由b
a ＝
2，可知a ≠b ，所以A ≠B 、又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．故选A 、
3．(2017·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2
＋c 2
－a 2
＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( )
A ．a ＝c
B ．b ＝c
C ．2a ＝c
D ．a 2
＋b 2
＝c 2
解析:选B 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝3
2
，则A ＝30°、又b ＝3a ，
由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝
3
2
，所以B ＝60°或120°、当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B 、
4．(2016·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )
A 、
1010 B 、
310
10 C 、55
D 、
25
5
解析:选B 如图所示，设CD ＝a ，则易知AC ＝5a ，AD ＝2a ，在△
ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos
∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝
310
10
、 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2
－c 2
，则tan C 等于( )
A 、34
B 、43
C ．－43
D ．－3
4
解析:选 C 因为2S ＝(a ＋b )2
－c 2
＝a 2
＋b 2
－c 2
＋2ab ，则由面积公式与余弦定理，得
ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，即
sin 2
C －4sin C cos C ＋4cos 2
C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2
C －4tan C ＋4tan 2
C ＋1＝4，解得tan C ＝－4
3或tan C ＝0(舍去)，故选C 、
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C ＝( )
A 、π6
B 、π
4 C 、π6或3π4
D 、
π4或3π4
解析:选 B 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a
2
2bc
，所以
b 2＋
c 2－a 2＝3bc 、又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，即c ＝(3－1)b <b ，则a ＝2－3b ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，解得C ＝π
4
、故选B 、
二、填空题
7．(2017·吉林三校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2
＋
c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．
解析:因为b 2
＋c 2
＝2a 2
，则由余弦定理可知a 2
＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝12×
b 2＋
c 2
2bc
≥12×2bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为1
2
、 答案:12
8．在△ABC 中，A ＝
π
3
，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．
解析:由正弦定理
BC
sin A
＝
AC
sin B
，得
2332
＝
4sin B ，解得sin B ＝1，B ＝π
2
，所以△ABC 为直角三角形，所以AB ＝AC 2－BC 2
＝2，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12
×2×23＝23、
答案:2 3
9．(2016·北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c
＝________、 解析:在△ABC 中，∠A ＝2π
3，
∴a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos
2π3
，即a 2＝b 2＋c 2
＋bc 、 ∵a ＝3c ，∴3c 2
＝b 2
＋c 2
＋bc ，∴b 2
＋bc －2c 2
＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b
c
＝1、 答案:1 三、解答题
10．(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 、已知a sin 2B ＝3b sin A 、
(1)求B ；
(2)若cos A ＝1
3
，求sin C 的值．
解:(1)由a sin 2B ＝3b sin A 及正弦定理得 2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ， 所以cos B ＝
32，所以B ＝π6
、 (2)由cos A ＝13，可得sin A ＝22
3，则
sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋1
2cos A ＝
26＋1
6
、 11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3、
(1)求b ；
(2)若△ABC 的面积为
21
2
，求c 、 解:(1)由正弦定理得sin C sin B ＝sin B cos C ， 又sin B ≠0，所以sin C ＝cos C ，C ＝45°、 因为b cos C ＝3，所以b ＝32、
(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝21
2，c sin B ＝3，
所以a ＝7、又c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝25，所以c ＝5、
12．(2017·武昌调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2
B ＋cos B ＝1－cos A cos
C 、
(1)求证:a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解:(1)证明:在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2
B )－cos(A ＋
C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2
B －(cos A cos
C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2
B ＝sin A sin
C 、
由正弦定理，得b 2
＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4、
则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2
，
当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2
B ≤ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝32
、
∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3
2＝3、
∴△ABC 的面积的最大值为3、
高考达标检测（一） 集 合
一、选择题
1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *
|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )
A ．{1,2,3}
B ．{1,2,4}
C ．{1,3,4}
D ．{2,3,4}
解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、
2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x
<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}
D ．{－3，－1,2,4}
解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x <8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、
3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪
⎪
x －1
x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )
A ．(1,2]
B ．[1,2)
C ．(1,2)
D ．[1,2]
解析:选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B 、 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2
＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( )
A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
B ．(2,3]
C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)
D ．[－2,2)
解析:选A 因为B ＝{x |x >2或x <－4}，所以A ∪B ＝{x |x <－4或x ≥－2}，故选A 、 5．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2
≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )
A ．[2,3]
B ．(－2,3]
C ．[1,2)
D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析:选B ∵Q ＝{x ∈R|x 2
≥4}，
∴∁R Q ＝{x ∈R|x 2
＜4}＝{x ∈R|－2＜x ＜2}． ∵P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，
∴P ∪(∁R Q )＝{x ∈R|－2＜x ≤3}＝(－2,3]．
6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪
B }，则A *B 中元素的个数是( )
A ．7
B ．10
C ．25
D ．52
解析:选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3、
所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示:
所以A *B 中的元素共有10个．
7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a |a <1}
B ．{a |0≤a <1}
C ．{a |a ≥1}
D ．{a |a ≤1}
解析:选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(图略)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B 、
8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，
Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )
A ．{x |0<x <1}
B ．{x |0<x ≤1}
C ．{x |1≤x <2}
D ．{x |2≤x <3}
解析:选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．
由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题
9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2
＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．
解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，
即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需
Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－1
8
、
答案:1或－1
8
10．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．
解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，
且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2、 答案:[2，＋∞)
11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则
a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)
解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4
∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．
答案:{a 2，a 3}
12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．
解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知:
①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．
由于⎩⎪⎨⎪
⎧
16－y ≥0，y ≥0，
14－y ≥0，
所以0≤y ≤14、
所以(43－y )min ＝43－14＝29、 答案:①16 ②29 三、解答题
13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；
(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．
解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，
所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．
(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数
a 的取值范围是(2,3)．
14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；
(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．
(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≤2m －1，m ＋1<4，
m ＋1≥2m －1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，
解得－1≤m ≤2；
当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1； 若M P ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
－3≥2m －1，4<m ＋1，
m ＋1≥2m －1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，
无解．
综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，
即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。