2020届四省八校高三第二次教学质量检测数学(文)试题(解析版)

2020届四省八校高三第二次教学质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．若全集U =R ，集合(,1)(4,)A =-∞-⋃+∞，{}
2B x x =≤，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}
24x x -≤< B ．{
2x x ≤或}4x ≥ C ．{}21x x -≤≤- D ．{}
12x x -≤≤
【答案】D
【解析】先化简集合B ，根据venn 图，得到阴影部分是将集合B 中属于A 的部分去掉，进而可得出结果. 【详解】
因为{}{
}
222B x x x x =≤=-≤≤.
由图可知，阴影部分是将集合B 中属于A 的部分去掉， 又(,1)(4,)A =-∞-⋃+∞，
所以阴影部分所表示的集合应为[1,2]-. 故选D 【点睛】
本题主要考查由venn 图确定集合，熟记集合的表示，以及集合的基本运算即可，属于基础题型.
2．已知(1)(1)i ai +-0>（i 为虚数单位）.则实数a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】C
【解析】先将复数化简，再由题意得到10
10
a a -=⎧⎨+>⎩，求解，即可得出结果.
【详解】
因为(1)(1)(1)(1)0+-=++->i ai a a i ，
所以1010
a a -=⎧⎨+>⎩，解得：1a =.
故选C 【点睛】
本题主要考查由复数的运算求参数的问题，熟记复数的乘法运算，以及复数的类型即可，属于基础题型.
3．平面内到两定点,A B 的距离之比等于常数(0,1)λλλ>≠的动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.已知(0,0)A ，(3,0)B ，1
2
PA PB =，则点P 的轨迹围成的平面图形的面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．
94π D ．
32
π 【答案】B
【解析】先设(,)P x y =点P 的轨迹，进而可求出结果. 【详解】
设(,)P x y ，因为(0,0)A ，(3,0)B ，
所以(,)=AP x y uu u r
，(3,)BP x y =-，
=
整理得：2
2
(1)4x y ++=，
即点P 的轨迹是以()1,0-为圆心，以2为半径的圆， 所以4S π=. 故选B 【点睛】
本题主要考查求轨迹问题，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于常考题型. 4．,a b 是单位向量，“2()2a b +<”是“,a b 的夹角为钝角”的（ ） A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据向量数量积的运算，结合题意得到cos ,0a b <><，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】
因为,a b 是单位向量，由2
()2a b +<可得：2cos ,22<>+<a b ，所以
cos ,0a b <><，则,a b <>的取值范围是,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
，不能推出“,a b 的夹角为钝角”；
反之，若“,a b 的夹角为钝角”，则cos ,0a b <><，所以2()2a b +<；
即“2
()2a b +<”是“,a b 的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选C 【点睛】
本题主要考查求命题的必要不充分条件，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算即可，属于常考题型.
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1155S =，则6a =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
【答案】B
【解析】根据等差数列的求和公式与性质，得到()
11111611112
a a S a +==，即可得出结
果. 【详解】
因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1155S =， 所以()
1116
11611112112
2
a a a S a +⨯=
=
=， ∴65511a =，即：65a =. 故选B 【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量运算，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于基础题型. 6．已知1
3
1log 4a =，154
b
=，136c -=，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
【答案】B
【解析】根据对数与指数幂的运算，分别得出,,a b c 的大致范围，即可得出结果. 【详解】
由题意可得：3
1
31log log 414a ==>，51log 04
b =<，()1360,1-=∈
c ， 所以b c a <<. 故选B 【点睛】
本题主要考查指数幂与对数的比较大小，熟记指数幂与对数的运算性质即可，属于常考题型. 7．已知4
sin()4
5
π
α+=
，则sin 2α=（ ） A ．725- B ．15
- C ．
15
D ．
725
【答案】D
【解析】根据两角和的正弦公式，得到4
cos )25
αα+=，两边平方，即可得出结果. 【详解】
由4
sin 45πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭4cos )5
αα+=， 两边平方得21(sin cos )21625αα+=，整理得：7
sin 225
α=. 故选D 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型. 8．已知(1,)a x =，(,1)b y =r
(0,0)x y >>，若//a b ，则
xy
x y
+的最大值为（ ） A ．
12
B ．1
C ．
D ．2
【答案】A
【解析】根据向量共线，得到1xy =，根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】
因为(1,)a x =，(,1)b y =r
，//a b ，所以1xy =，
又0x >，0y >，所以
1
2
xy x y ≤=+. 故选A 【点睛】
本题主要考查向量共线的坐标表示，以及基本不等式求最值，熟记向量共线的坐标表示，以及基本不等式即可，属于常考题型.
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．50π
B ．
C ．100π
D ．
【答案】A
【解析】先由题意，得到该三棱锥可看作长方体的一个角，且长方体的长宽高分别为
5,3,4，其外接球球心即是体对角线的中点，设三棱锥的外接球半径为R ，结合题中数
据，以及球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】
由题意，该三棱锥可看作长方体的一个角，且长方体的长宽高分别为5,3,4，其外接球球心即是体对角线的中点，
设三棱锥的外接球半径为R ，则2
2
2
2
(2)345R =++，即2450R =， 所以2450S R ππ==.
故选A 【点睛】
本题主要考查求几何体外接球的表面积，熟记几何体的结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.
10．若任取k ⎡∈⎣，则直线()1y k x =+与曲线y =
的概率为（ ） A ．
1
5
B ．
310
C ．
25
D ．
45
【答案】A
【解析】如图所示当()1y k x =+与曲线相切时得到k =，得到k ⎡∈⎢⎣⎭
，再根据几何概型公式得到答案. 【详解】
如图所示：曲线为()()2
2240x y y -+=≥
当()1y k x =+与曲线相切时tan 3,2AM BM AB k BAM ==∴==∠=
直线与曲线有两个交点时k ⎡∈⎢⎣⎭，有两个交点的概率为1
5
P ==. 故选：A
【点睛】
本题考查了直线和半圆的位置关系，几何概型，将半圆错判为圆是容易发生的错误.
11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
，,A B 是双曲线上关于原点对称
的两点，M 是双曲线上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若
1[1,2]k ∈，则2k 的取值范围为（ ）
A ．11
[,]84 B ．11[,]42
C ．11[,]48
--
D ．11[,]24
--
【答案】A
【解析】先根据离心率求出224a b =，设()11,A x y ，()00,M x y ，则()11,B x y --，根据点差法得到121
4
k k ⋅=，进而可得出结果. 【详解】
∵2222
22
54c a b e a a +===，∴22
4a b =，则双曲线的方程为：22221(0)4x y b b b
-=> 设()11,A x y ，()00,M x y ，则()11,B x y --
()()()()()()()()221122
1010101010102222
10100022
114441
4x y x x x x y y y y y y y y b b b b x x x x x y b b ⎧-=⎪+-+-+-⎪⇒=⇒=⎨+-⎪-=⎪⎩ 即121
4
k k ⋅=
∵1[1,2]k ∈，∴211,84k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
.
故选A 【点睛】
本题主要考查双曲线的应用，熟记双曲线的简单几何性质即可，属于常考题型. 12．已知11ln x
x
e x e a x
-->+对任意(0,1)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(0,1)e +
B ．(0,1]e +
C ．(,1)e -∞+
D ．(,1]e -∞+
【答案】D
【解析】先由题意得到111
ln
x
e a a e x x
+-+>，令1t x =，得到ln t e t at a e +-+>对
任意(1,)t ∈+∞恒成立；令()ln (1)t h t e t at a t =+-+>，对函数求导，用导数的方法研究其单调性，分别讨论1a e ≤+，1a e >+两种情况，即可得出结果. 【详解】
由1
1ln x
x
e x e a x -->+可得：1
11ln x e a a e x x
+-+>，
令1
t x
=
，1t >，由题可得：ln t e t at a e +-+>对任意(1,)t ∈+∞恒成立； 令()ln (1)t
h t e t at a t =+-+>，则1()(1)t h t e a t t
'=+->，
所以21()0''=->t
h t e t
在1t >上显然恒成立，
所以()h t '在(1,)+∞上单增， 所以()(1)1h t h e a '
'
>=+-，
当1a e ≤+时，对(1,)t ∀∈+∞恒成立，所以()(1)h t h e >=，符合题意. 当1a e >+时，()h t '在(1,)+∞上递增可知，0(1,)t ∃∈+∞使得()00h t '= 且()01,x t ∈时，()0h t '
<，()0,x t ∈+∞时，()0h t '>.所以()h t 在()01,t 上单减.
所以()(1)h t h e <=，综上1a e ≤+. 故选D 【点睛】
本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.
二、填空题
13．已知数列{}n a 是公比1
3
q =的等比数列，且312a a a =⋅，则10a =______. 【答案】
1013
【解析】先计算出113a =得到13n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，再计算10a 得到答案. 【详解】
因为13q =，2231211a a a a q a q ===，∴11133n
n a a ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭
∴101013a =.
故答案为：10
13 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，意在考查学生的计算能力.
14．若1a ，2a ，…，2020a 的平均数、方差分别是2和1，则()321,2,,2020i i b a i =+=⋅⋅⋅的平均数为______，方差为______. 【答案】8 9
【解析】根据平均值和方差公式计算得到答案. 【详解】
328i i b a =+=，i b 的方差2
13919S S ==⨯=
故答案为：8；9 【点睛】
本题考查了平均值和方差的计算，记忆公式是解题的关键.
15．已知变量,x y 满足约束条件2022010x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
，若24x y m m -+≥-+恒成立，则实
数m 的取值范围为________. 【答案】(,1][5,)-∞-⋃+∞
【解析】先由约束条件作出可行域，令=-+t x y ，结合图像求出t 的最小值为5-，根据题意，得到245m m -+≤-，求解，即可得出结果. 【详解】
由约束条件2022010x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
作出可行域如下：
令=-+t x y ，则=-+t x y 可化为y x t =+，因此t 表示直线y x t =+在y 轴的截距， 由图像可得：当直线y x t =+过点A 时，截距最小，即t 最小；
由2
10
x x y =⎧⎨++=⎩可得3(2,)A -， 所以min 5=-t ；
因此，由2
4x y m m -+≥-+恒成立可得：245m m -+≤-. 解得：5m ≥或1m ≤-；
所以实数m 的取值范围为：(,1][5,)m ∈-∞-⋃+∞.
故答案为(,1][5,)-∞-⋃+∞ 【点睛】
本题主要考查线性规划，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记简单线性规划的解法，以及不等式恒成立的求解方法即可，属于常考题型.
16．对任意实数x ，以[]x 表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如[4.2]4=，
[7.6]8-=-等.定义{}[]x x x =-，称它为x 的小数部分，如{}3.10.1=，{}7.60.4
-=等.若直线0kx y k +-=与{}y x =有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.
【答案】1111,,4532⎛⎫⎡⎫--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
【解析】先由题意，得到当01x ≤<时，{}x x =，且{}y x =是周期为1的函数；作出函数图像，结合图像得到10101121--<-≤----k 或6111500
1
--≤-<--k ，求解，即可得出结果. 【详解】
当01x ≤<时，{}x x =，又由题意，易知：{}y x =是周期为1的函数； 作出{}y x =与(1)y k x =--图象如下：
由图像，为使直线0kx y k +-=与{}y x =有四个不同的交点，
只需
10101121--<-≤----k 或6111500
1--≤-<--k ， 解得1145-<≤-k 或1132
≤<k ，
即1111,,4532
k ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
. 故答案为1111,,4532⎛⎫⎡⎫
--⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
【点睛】
本题主要考查由函数交点个数求参数的问题，熟记分段函数的图像，以及函数与方程的综合，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.
三、解答题
17．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量
n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；
（2）为了解该种蛋糕的市场需求情况与性別是否有关，随机统计了100人的购买情况，得如下列联表：
问：能否有95%的把握认为是否购买蛋糕与性別有关？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
【答案】（1）[)[)120960,0,16,960,16,,n n n N y n n N ⎧-∈∈⎪
=⎨∈+∞∈⎪⎩
（2）有95%的把握认为是否购买蛋
糕与性别有关.
【解析】（1）讨论16,n n N <∈和16,n n N ≥∈两种情况分别计算得到答案. （2）计算2 4.882K ≈，与临界值表作比较，判断得到答案. 【详解】
（1）当16,n n N <∈时：1206016120960y n n =-⨯=-； 当16,n n N ≥∈时：()1612060960y =⨯-=；
综上所述：[)[)120960,0,16,960,16,,n n n N
y n n N ⎧-∈∈⎪=⎨
∈+∞∈⎪⎩
. （2）由列联表可知()2
21001544356 4.882 3.84150502179
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为是否购买蛋糕与性别有关. 【点睛】
本题考查了函数解析式，列联表，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18．在锐角ABC ∆，中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
.cos sin sin cos b c a
A C C A
=+
（1）求角C 的大小；
（2）若1b =，求c 的取值范围.
【答案】（1）4
C π
=
（2）2c ⎛⎫
∈
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】（1）先由题意，得到cos sin b c A a C =+，再由正弦定理得到
sin sin cos sin sin B C A A C =+，再结合两角和的正弦公式，推出tan 1C =，进而可
求出结果；
（2）先由（1）得，34A B π
+=
，根据ABC ∆是锐角三角形，得到42
B ππ<<，根据
正弦定理，得到2sin =c B
，即可求出结果.
【详解】 （1）因为
cos sin cos sin sin cos sin cos b c a c A a C
A C C A C A
+=+=，
所以cos sin b c A a C =+，
由正弦定理，sin sin cos sin sin B C A A C =+，且sin sin cos cos sin B A C A C =+， 所以sin sin sin cos A C A C =， 又因为0A π<<，∴sin 0A ≠， 所以tan 1C =，4
C π
=
.
（2）由（1）可知，34
A B π
+=
，而ABC ∆是锐角三角形， 02342042B B B πππππ
⎧
<<⎪⎪⇒<<⎨
⎪<-<⎪⎩
∴
sin 12
B <<
由正弦定理，sin sin sin sin 2sin b c b c C c B C B B =⇒=⋅⇒=
，所以2c ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，点M 在线段PC
上，
PD BD BC ===，N 是线段PB 的中点，且三棱锥M BCD -的体积是四棱锥
P ABCD -的体积的1
6
.
（1）若H 是PM 的中点，证明：平面//ANH 平面BDM ； （2）若PD ⊥平面ABCD ，求点D 到平面BCM 的距离.
【答案】（1）见解析（2）
7
【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，证明OM AH ∥和//NH BM 得到证明.
（2）先计算14M BCD V -=，再计算BCM S ∆=，利用等体积法M BCD D BCM V V --=计算得到答案. 【详解】
（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，如图所示
16M BCD P ABCD V V --=，故13MC PC =，则1
2
MC HC =，
所以//OM AH ，且//NH BM ，且A H N H H ⋂=，所以平面//ANH 平面MDB .
（2）由题可知，M 到平面BCD 14M BCD V -=，
在Rt PDC ∆中，PD CD ==
∴PC =PB =
PBC ∆中，根据余弦定理：222cos sin 244
PC BC PB PCB PCB PB PC +-∠==∠=
⋅
在BCM ∆
中，3CM =
，BC =
，1sin 24
BCM S CM BC PCB ∆=⋅⋅∠=
设点D 到平面BCM 的距离为h
，则147
M BCD D BCM V V h --==
∴=
， 所以点D 到平面BCM
. 【点睛】
本题考查了面面平行，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(1,0)F -，
且点(1,在椭圆C
上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，直线:2m x =-，过F 作垂直于l 的直线与直线m 交于点T ，求
||
||
TF AB 的最小值和此时l 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（2）||||TF AB
的最小值为2
，此时l 的方程为：1x =-.
【解析】（1）由题意得到222
221111
2c a b c a
b ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，求解，即可得出结果；
（2）分别讨论直线l 的斜率不存在，以及直线l 的斜率存在，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等，即可求出结果. 【详解】
（1
）由题意可得：222
2211111
2c a a b c b a
b ⎧
⎪=⎪
⎧⎪=⎪=+⇒⎨⎨=⎪⎩⎪
⎪⎪+=⎩
所以椭圆的方程为：2
212
x y +=.
（2）当直线l 的斜率不存在时，:1,(2,0)l x T =--，
∴2A ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，1,2B ⎛-- ⎝
⎭，
此时
||||2
TF AB =
当直线l 的斜率存在时，设：:(1)(0)l y k x k =+≠，且()11,A x y ，()22,B x y 由()
2222
22
(1)124220220
y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨
+-=⎩， 则2122412k x x k +=-+，2122
2212k x x k
-⋅=+，()
2
810k ∆=+>，
所以)2122
1||12k AB x k
+=-=
+
由1(1)12,2
y x T k k x ⎧=-+⎪⎛⎫⇒-⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎩，
∴||TF =所以
2221||||2
k k TF AB ++==>= （∵221k
k +≠，所以无法取等号）
所以||||TF AB ，此时l 的方程为；1x =-.
【点睛】
本题主要考查求椭圆方程，以及直线与椭圆位置关系的综合，熟记直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的标准方程即可，属于常考题型. 21．已知函数()()2x
f x x e =-，()()2
1g x a x =-.
（1）求曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程； （2）讨论()y f x =和()y g x =的图象交点个数.
【答案】（1）20x y -+=（2）当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点.
【解析】（1）求导，根据切线方程公式计算得到答案.
（2）令(
)()()F x g x f x =
-，求导得到()()()'12x
F x x e a =-+，讨论0a =，0a <，
0a >三种情况计算得到答案.
【详解】
（1）()()()'21x
x
x
f x e x e x e =-+-=-，且()'01f =，()02f =，
所以切线方程为：2y x =+，即20x y -+=.
（2）令()()()F x g x f x =-，()()()
'12x
F x x e a =-+，
①当0a =，则()()2x
F x x e =-，()F x 只有一个零点；
②当0a <，由()'0F x =得1x =或()ln 2x a =-. 若2
e
a ≥-
，则()ln 21a -≤ 故当()1,x ∈+∞时，()'0F x >，因此()F x 在()1,+∞上单调递增.
当x →+∞时，()0f x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点. 若2
e
a <-
，则()ln 21a ->，故当()()1,ln 2x a ∈-时，()F'0x <； 当()()
ln 2,x a ∈-+∞时，()'0F x >.
因此()F x 在()()
1,ln 2a -单调递减，在()()
ln 2,a -+∞单调递增.
当x →+∞时，()0F x >，又当1x ≤时，()0F x <，所以()F x 只有一个零点. ③当0a >，则当(),1x ∈-∞时，()F'0x <；当()1,x ∈+∞时，()'0F x >， 所以()F x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 又()1F e =-，()2F a =，取b 满足0b <且ln 2
a b <， 则()()()22321022a F b b a b a b b ⎛⎫>
-+-=-> ⎪⎝
⎭， 故()F x 存在两个零点.
综上：当0a ≤时，()F x 只有一个零点；当0a >时，()F x 有两个零点. 【点睛】
本题考查了切线方程，零点个数问题，分类讨论是常用的技巧，需要熟练掌握.
22．在平面直角坐标系xOy
中，已知直线112:x t l y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线
1:sin x C y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.
（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ；
（2）若Q 是曲线2cos :3sin x C y αα
=⎧⎨=+⎩（α为参数）上的一个动点，设点P 是曲线1C 上
的一个动点，求||PQ 的最大值.
【答案】（1）
7
（2）5 【解析】（1）先由曲线1C 的参数方程得到1C 的普通方程为2
212
x y +=，将直线参数方
程代入曲线普通方程，求出47A B t t +=-，4
7
A B t t ⋅=-，再由||=-A B AB t t ，即可求出结果；
（2）先设(,)P x y ，由题意点P 满足2
212
x y +=；由两点间距离公式，结合椭圆的范围，
求出2PC 的最大值，即可得出||PQ 的最大值. 【详解】
（1）由1:sin x C y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：曲线1C 的普通方程为2
212x y +=，
将直线l 的参数方程代入1C 的普通方程中得：27440t t +-=.
则47A B t t +=-
，4
7
A B t t ⋅=-，∴||7
A B AB t t =-==
； （2）设(,)P x y 是1C 上的动点，则2
212
x y +=；
又由2cos :3sin x C y αα
=⎧⎨=+⎩消去参数，可得：2C 的普通方程为22(3)1x y +-=，
所以2=
==PC ，
∵11y -≤≤，∴2PC 的最大值为4， 所以PQ 的最大值为5. 【点睛】
本题主要考查求参数方程下的弦长问题，以及求两动点间距离的最值，熟记曲线的参数方程与普通方程的互化，以及参数下的弦长公式即可，属于常考题型.
23．已知23x y z ++= （1）求222
x y z ++的最小值M ； （2）若,a b R +∈，a b M +=，求证：11
4.a b
+≥ 【答案】（1）1M =（2）证明见解析
【解析】（1）根据柯西不等式可直接得出结果； （2）由（1）得到1a b +=，再由112+++=+=++a b a b b a a b a b a b
，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】
（1）因为23x y z ++= 由柯西不等式可知：(
)()222
2
2221
23(23)14x y z
x y z ++++≥++=，
即：2
2
2
1x y z ++≥，当且仅当23
y z
x =
=时等号成立，所以1M =； （2）由（1）可知：1a b +=，,a b +
∈R ，
所以1124a b a b b a a b a b a b
+++=+=++≥， 当且仅当1
2
a b ==时，等号成立.
【点睛】
本题主要考查由柯西不等式求最值，以及不等式的证明，熟记柯西不等式与基本不等式即可，属于常考题型.。