高一数学-第十三、十四讲等差等比数列性质(2课时) 精

第十三、十四讲 等差、等比数列性质及应用（2课时）
一、 知识归纳： (一)等差数列的性质 (1)a m =a n +(m-n)d,d=
n
m a a n
m --
(2)等差数列中，若p+q=m+n ，则a p +a q =a m +a n ，若2m=p+q ，则2a m =a p +a q
(3)若{a n },{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1,d 2，则数列{pa n },{a n +q},{a n ±b n }也为等差数列，且公差分别为pd 1,d 1,d 1±d 2
(4) 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数
列，公差为md 。

(5) 等差数列前n 项和构成一个等差数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等差数列，公差为n 2d 。

(6) 若等差数列的项数为2n ，则有1
,
+=
=-n n
a a S S nd S S 偶
奇奇偶。

(7) 等差数列的项数为奇数n ，则偶奇中间项偶奇且S S a S S S n -=+=，
1
1
-+=n n S S 偶
奇。

(8) {a n }为等差数列，S 2n-1=(2n-1)a n 。

(9) 通项公式是a n =An+B(A ≠0)是一次函数的形式；前n 项和公式S n =An 2+Bn(A ≠0)
是不含常数项的二次函数的形式。

（注当d=0时，S n =na 1, a n =a 1）
(10) 若a 1>0，d<0，S n 有最大值，可由不等式组⎩⎨⎧≤≥+001
n n a a 来确定n 。

若a 1<0，d>0，S n 有最小值，可由不等式组⎩⎨⎧≥≤+00
1
n n a a 来确定n 。

（二） 等比数列的性质
(1)a m =a n ·q m-n
(2)等比数列中，若p+q=m+n ，则a p ·a q =a m ·a n ，若2m=p+q ，则a m 2=a p ·a q (3) 若{a n },{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1,q 2，则数列{pa n },{n a 1
},{a n ·b n },}{n
n b a ,{|a n |}也为等比数列，且公比分别为pq 1,
11
q ,d 1·d 2,2
1q q ,|q 1| (4) 在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等比数列，
公比为q m。

(5) 等比数列前n 项和构成一个等比数列，即S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…为等比数列，公比为q n 。

二、主要方法：
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法： ①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程； ②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键． 三、例题讲解：
例1、（1）设{}n a 是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a +及S 15值。

（2）等比数列{}n a 中，661=+n a a ，12812=-n a a ，前n 项和S n =126，求n 和公比q 。

（3）等比数列中，q=2，S 99=77，求a 3+a 6+…+a 99；
（4）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中
间项与项数。

解：（1）由已知可得28-=a ，所以133a a +=248-=a ，S 15=
()30152
158151-==+a a a
()2 由题66,12811=+=n n a a a a ，所以⎩⎨⎧==6421n a a 或⎩⎨⎧==264
1n
a a
又12611=--=q q a a S n n ,所以⎩⎨⎧==62n q 或⎪⎩⎪⎨⎧==
6
21n q ()()()()
()
99149726983699369936992311144
S a a a a a a a a a a a a a a a q
q =+++++++++++⎛⎫
=+++++∴+++= ⎪⎝⎭
评注：分解重组，引导发现（1497a a a +++ ）、（2698a a a +++ ）与（369
9a a a +++ ）
的关系，从而使问题获得简单的解法。

()4设等差数列共2n-1项,则
()()1675
80
12
)
1(2
222121=⇒=-=
-++=
--n n n n a a n
a a S S n n 偶
奇 所以此数列共31项.中间项57580=-=-=偶奇S S
评注：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中； （2）在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶． 变式：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,
则这个数列有13 项；
（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*
n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则
46a a += 9 ．
（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．
(4) 等差数列{a n }和{b n }的前n 项之和之比为(3n+1)：(2n+3),求.15
15b a 。

（=6188）
例2、设等差数列的前n 项之和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13<0，
（1）求公差d 的取值范围。

（2）指出S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大，并说明理由。

解：（1）021********>⨯+
=d a S ，0213
1213113<⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+0
6011211d a d a ， 由12213=+=d a a ,代入得：37
24
-<<-d 。

（2）解一：由()067612>+=a a S ，013713<=a S 可知0,076<>a a ，所以S 6最大。

解二：n d n d S n ⎪
⎭⎫
⎝
⎛-+=
251222，由3724-<<-d 可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S 6最大。

解三：2
2
)2245(222452d
d d d d n d S n --⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=，由3724-<<-d 得 2
1322456<-<d d 。

又抛物线开口向下，所以S 6最大。

评注：求等差数列S n 最值有三法：借助求和公式是关于n 的二次函数的特点,用配方法
求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。

（经过原点） 变式：(1) 已知等差数列{a n }中，1251,0S S a =>，问S 1，S 2，S 3，…S n 中哪一个值最大。

(2) 数列{}n a 是首项为1000，公比为
1
10
的等比数列，数列{b }n 满足 121
(lg lg lg )k k b a a a k
=+++ *()k N ∈，
（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．
略解：（1）由题得410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴{lg }n a 是首项为3，公差为1-的AP 。

∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-
，∴1(1)7[3]22
n n n n
b n n --=-=
由100
n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==
（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，
∴当7n ≤时，212731132(
)244
n n n
S b b b n n n -+
'=+++==-+ 当7n >时，178n n S b b b b '=++--- 27113
22144
n S S n n =-=-+
∴22113(7)44
11321(7)44
n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．
例3、(1) 由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的
11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式．
解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠，∴221122331111
(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ⎧--=⎪
--⎨⎪+=⋅⎩
由①得110q =，代入②得110a =，∴2
1()10
n n a -=．
说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． (2) 若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n m S +．
解：（法一）基本量法（略）；
（法二）设2n S An Bn =+，则2
2
(1)(2)An Bn m Am Bm n
⎧+=⎪
⎨+=⎪⎩ (1)(2)-得：22()()n m A n m B m n -+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，
∴2()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+．
评注：法二抓住了等差数列前n 项和的特征2n S An Bn =+。

变式：设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{n
S n
}的前n 项和，求T n 。

解：法一：（基本量法）设{a n }首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 2
67a 7S 11517
∴ ⎩
⎨⎧=-=1d 2a 1 ∴ 2)1n (n 2S n -+-=，∴ 252n 21n 2n S n -=-+-=
∴ 此式为n 的一次函数， ∴ {
n
S n }为等差数列，∴ n 4a
n 41T 2n -=。

法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2
+Bn ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75B 1515A S 7
B 77A S 2
15
27 解之得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-==25
B 2
1A ∴ n 25n 21S 2n -=，下略。

①
②
例4、已知等差数列110,116,122, ，
（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；
（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和. 解：1106(1)6104n a n n =+-=+，
（1）由4506104600n ≤+≤，得5882n ≤≤，又*
n N ∈,
∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821
()25131002
n S a a =
+⨯=． （2）∵1106(1)n a n =+-，∴要使n a 能被5整除，只要1n -能被5整除，即15n k -=， ∴51n k =+，∴585182k ≤+≤，∴1216k ≤≤，∴在区间[450,600]上该数列中能被
5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()
26502
a a S +==．
变式：下表给出一个“等差数阵”：
（I ） 写出
的值； （II ）写出
的计算公式；
（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正
整数之积。

解：（I ） （II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i 行是首项为，公差为
的等差数列，因此
43(1)(2
1)(1)2(21
ij a i i j ij i j i j j =+-++-=++=++ （III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得 从而 ，即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得 从而 可见N 在该等差数阵中
综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

例5、（1）已知函数()()24
12
-<-=
x x x f
① 求()x f
1
- ② 设()()
n n n a N n a f a a 求,1,
111
1*-+∈-==
③ 设1222212++++++=n n n n a a a b 是否存在最小的正整数k ，使对任意*
∈N
n 有25
k
b n <
成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由？ 解：①由题()()0412
1
>+-=-x x x f
② 41121+=+n n a a 得411,02211=->++n n n a a a 且，故3412
-=n a n
即3
41-=n a n 。

③ 先证明{b n }是单调递减数列，所以要对任意*
∈N n 有25
k
b n <
成立 只须满足25
1k
b <
即可，解得存在最小的正整数k=8满足条件。

（2） 若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有
232
n n a +=-，41213n n T S n -=，
（1）求数列{b }n 的通项公式；
（2）设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任
一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．
解：（1）当*
2,n n N ≥∈时：1
14121341213(1)n n n n T S n T S n ---=⎧⎨-=-⎩，
两式相减得：41213n n b a -=，∴13
34
n n b a =+534n =--，又1174b =-也适合上式，
∴数列{b }n 的通项公式为n b 5
34
n =--．
（2）对任意*
n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，
∴A B B = ∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，
设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d =-+， ∴ 265179125d -<-+<-，即5
27
129
d -<<-， 又4n b 是一个以12-为公差的等差数列，
∴ *
12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．
13、14等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ） A.34 B.35 C.36 D.37
2.{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是（ ） A.24 B.27 C.30 D.33
3.设函数f (x )满足f (n +1)=
2
)(2n
n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为（ ） A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和
0n S >成立的最大自然数n 是：
（ ）
A ．4005
B ．4006
C ．4007
D ．4008
5.等差数列{a n }中，已知a 1=－6,a n =0,公差d ∈N *,则n (n ≥3)的最大值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8
6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么( )
(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为（ ） A.180 B.－180 C.90 D.－90
8. 现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ） A.9 B.10 C.19 D.29
9.由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a 2+a 5, a 3+a 6…是（ ） A.公差为d 的等差数列 B.公差为2d 的等差数列 C.公差为3d 的等差数列 D.非等差数列
10.在等差数列{a n }中，若S 9=18,S n =240,a n －4=30,则n 的值为（ ） A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题
11.在数列{a n }中，a 1=1,a n +1=22+n n a a (n ∈N *),则72
是这个数列的第_________项.
12.在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________.
13.在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______.
14.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,若n n T S =132+n n
,则1111b a =_________.
15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则10
429
31a a a a a a ++++的值是
16. 若数列{}n a 是等差数列，则数列12n a a a n +++⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也为等差数列，类比上述性
质，相应地：若n {c }是等比数列，且n c >0，则{n d }是等比数列,其中n d ．
17. 设m ∈N +，log 2m 的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？
19. 在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17,求数列前多少项和最大.
20. 已知f (x +1)=x 2－4,等差数列{a n }中,a 1=f (x －1), a 2=－
2
3
,a 3=f (x ). (1)求x 值； （2）求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.
21.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0(n ≥2),a 1=
2
1. (1)求证：{n
S 1
}是等差数列； （2）求a n 表达式； （3）若b n =2(1－n )a n (n ≥2),求证：b 22+b 32+…+b n 2<1.
13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案
一、选择题：
1、 C
2、D
3、B
4、C
5、C
6、C
7、A
8、B
9、B 10、B 二、填空提：
11、6 12、－110 13、5 14、
32
21
15、1316 16
17、8204
三、解答题：
18． 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n －1,令a k =b m ,则3k +2=4m －1.
∴3k =3(m －1)+m ,∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *),则k =4p －1.
∵k 、m ∈［1,100］. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17，a 1=25,∴9×25+
2)19(9-⨯d =17×25+2
)
117(17-d ，解得d =－2, ∴S n =25n +
2
)
1(-n n (－2)=－(n －13)2+169.由二次函数性质知前13项和最大. 20.、（1）∵f (x －1)=(x －1－1)2－4=(x －2)2－4
∴f (x )=(x －1)2－4,∴a 1=(x －2)2－4,a 3=(x －1)2－4， 又a 1+a 3=2a 2,解得x =0或
x =3.
(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或－3、－2
3、0 ∴a n =－
23(n －1)或a n =23
(n －3) ① 当a n =－23(n －1)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2351
② 当a n =23(n －3)时，a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2
297
.
21、 （1）∵－a n =2S n S n －1,∴－S n +S n －1=2S n S n －1(n ≥2)，又S n ≠0, ∴n S 1－11-n S =2,又11S =11a =2,∴{n S 1}是以2为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）
n S 1=2+(n －1)2=2n ,∴S n =n
21
，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n n n =1时，a 1=S 1=21,∴a n =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 2
1
n n n n
(3) 由（2）知b n =2(1－n )a n =n
1 ∴b 22+b 32+…+b n 2=
221+2
3
1+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =(1－21)+(21－31)+…+(11-n －n
1)=1－n 1
<1.。