广东省实验中学2014-2015学年高二9月测试数学文试题Word版含答案

广东省实验中学2014-2015学年高二9月测试
数学文试题
考试范围：圆锥曲线全章；考试时间：120分钟；
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、选择题（每题5分，共40分）
1．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点,则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长是( )
B.2 D.1
2．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()2
2316x y -+=相切，则p 的值为（ ） B.1 C.2 D.4
3．已知双曲线它的一个焦点在抛物线 248y x =的准线上，则双曲线线的方程为
A 4．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) (A)4 (B)
(D)4- 5．过抛物线x y 42=的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4
6．已知21,F F 为椭圆过2F 作椭圆的弦AB ,若B AF 1∆的周长为16，离心率为
）
7．（5分）（2011•广东）设圆C 与圆x 2+（y ﹣3）2
=1外切，与直线y=0相切，则C 的圆心轨迹为（ ）
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆 8．设12,F F 是椭圆点M 在椭圆上，若△12MF F 是直角三角形，则△12MF F 的面积等于（ ）
9．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )
A (32，54)
B (1,1)
C (32，94)
D (2,4)
10．已知直线l ：y =k (x +2)（k >0）与抛物线C ：相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若，则
( )
A 、 B
C 、
D 二、填空题（每题5分，共30分） 11．抛物线的准线方程为 _________ ．
12
有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________. 13．双曲线116
92
2=-y x 上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，那么点P 到另一个焦点的距离等于 .
14．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
三、三、解答题（写出必要的解题过程）
15（本小题满分12分）已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
16（本小题满分13分）已知m x y +=与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，
（1）若|AB|=10, 求实数m 的值。

（2）若OB OA ⊥, 求实数m 的值。

17（本小题满分13分）已知椭圆C 6，
⑴求椭圆C 的标准方程;
⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。

.
18（本小题满分14分）双曲线C 的中心在原点，右焦点为 （1）求双曲线C 的方程；
28y x =||2||FA FB =k =13
23(2,2)
19（本小题满分14分）设椭圆C O 斜率为1的直线与椭圆C 相交于
M ，N 两点，椭圆右焦点F 到直线l
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是椭圆上异于M ，N 外的一点，当直线PM ，PN 的斜率存在且不为零时，记直线PM 的斜率为k 1，直线PN 的斜率为k 2，试探究k 1·k 2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
20（本小题满分14分）已知椭圆2
21:14
x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上, 2OB OA =,求直线AB 的方程.
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
【解析】 试题分析：由方程221x my +=表示双曲线知，
又双曲线的虚轴长是实轴长的2 故选C.
5．B
6．D
7．A
解：设C 的坐标为（x ，y ），圆C 的半径为r ，圆x 2+（y ﹣3）2=1的圆心为A ，
∵圆C 与圆x 2+（y ﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C 到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C 定点A 的距离等于到定直线y=﹣1的距离
由抛物线的定义知：C 的轨迹为抛物线．
故选A
8．A
【解析】
试题分析：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，
由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △12MF F 中，
9．D
10．D
【解析】由228y k x y x
=+⎧⎨=⎩（）消去y 得：2222(48)40k x k x k +-+=。

224(48)-160k k ∆=-> 解得：11k -<<，设1122(,),(,)A x y B x y 。

1212284(1).4(2)x x x x k +=
-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 由根据抛物线定义及||2||FA FB =得：121222(2),22(3)x x x
x +=+=+⋅⋅⋅即且
120,0x x >>由（2）（3）解得：124,1x x ==，代入（1）289
k =，0k > k ∴=。

故选D
11．1-=x ．
【解析】 化成标准形式得：x y 42=，所以知其准线方程为1-=x ；故应填入
【解析】
），将点代入得，即有
13．3或15
14．6
【解析】利用抛物线的定义可知，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB |⇒|AB|≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．
15．（1 1.（2）y 2 【解析】(1)由题意，椭圆4x 2＋9y 2＝360)，即c
1，∵双曲线过点(3，－2)， 1,∴a 2＝3或a 2＝15(舍去) 1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x 设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px(p>0)，则p 的标准方程为y 2 16．(2) m= -8 。

【解析】 试题分析：由28y x m y x =+⎧⎨=⎩，得()22280x m x m +-+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()22121212121282,,8x x m x x m y y m x x x x m m +=-==+++=
(1)分 0λ≠(2,2)41λ
-=3λ=
(2)因为OB OA ⊥，所以12120x x y y +=，即280m m +=，所以m= -8 6分
考点：直线与抛物线的综合应用；弦长公式。

点评：本题考查弦长的运算，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和弦长公式的合理运用。

在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式。

17．（1（2【解析】
试题分析：（1）由焦点坐标可得c 的值，由长轴长可得a 的值，再根据椭圆中222a b c =+，求2b 。

从而可得椭圆方程。

（2）由点斜式可得直线方程为2y x =+。

将直线方程与椭圆方程联立消去y 得关于x 的一元二次方程，可得根与系数的关系。

再根据弦长公式求线段AB 的长。

6
所以1b =
5分
⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,, ∵直线AB 的方程为2y x =+② 7分
把②代入①得化简并整理得21036270x x ++=
10分
12分 考点：1椭圆的简单几何性质；2直线和圆锥曲线相交弦问题。

18．（1）2231x y -=；（2）1k =±
【解析】
试题分析：（1）根据双曲线的几何性质可得：（2）可以联立直线方程与双曲线方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，结合以AB 为直径的圆过原点时OA OB ⊥，建立方程，即可解除k.
试题解析：（1）易知 双曲线的方程是22
31x y -=.
（2）① 由221,
31,
y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()223220k x kx ---=， 由20,30k ∆>-≠且，得
设()11,A x y 、()22,B x y ，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA OB ⊥，
所以 12120x x y y +=.
所以 212121212(1)(1)()11y y kx kx k x x k x x =++=+++=，
所以，解得1k =±. 考点：(1)双曲线的几何性质；（2）直线与圆锥曲线的位置关系.
19．
(2) k 1·k 2
【解析】
试题分析：(1)由椭圆C
又由椭圆右焦点F(c,0)到直线l 的距
c
a 的值；再注意到222c a
b -=从而求得b 的值,因此就可写出所求椭圆C 的方程; (2)由过原点O 斜率为1的直线方程为：y=x ，联立椭圆C 与直线L 的方程就可求出M ，N 两点的坐标，再由过两点的直线的斜率公式就可用点P 的坐标表示出k PM ·k PN ，再注意点P 的坐标满足椭圆C 的方程，从而就可求出k 1·k 2＝k PM ·k PN 是否与点P 的坐标有关，若与点P 的坐标无关则k 1·k 2的值为定值；否则不为定值．
试题解析：(1)设椭圆的焦距为2c(c>0)，焦点F(c,0)，直线l ：x －y ＝0，
F 到l
c ＝2，
又∵e
a ＝
b ＝2. ∴椭圆C
(2)
x ＝y
x ＝y
不妨设
P(x ，y)，
∴k PM ·k PN
，即2228y x -=，代入化简得k 1·k 2＝k PM ·k PN
考点：１．椭圆的标准方程；２．直线与椭圆的位置关系．
20．（1）；（2）或
【解析】
试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为. （2）由题意知，所求直线
过原点，又椭圆短半轴为1，椭圆的长半轴为4，所以直线不与轴重合，即直线的斜率存在，可设直线的斜率为，直线的方程为，又设点、的坐标分别为、，分别联立直线
与椭圆、的方程消去、可得，，又2OB OA =得，即，所以，解得，从而可求出直线的直线方程为或.
试题解析：(1)由已知可设椭圆2C 的方程为22
21(2)4
y x a a +=>
,
=,则4a = 故椭圆的方程为22
1164y x += 5分
(2)解法一 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y
由2OB OA =及(1)知,,,O A B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可以设直线AB 的方程为y kx =
22
1164y x +=y x =y x =-2C ()22
2124
x y a a +=>1
C 2e =
=)22
a a =>4a =2C 221164y x +=AB 1C 2C AB y AB AB k AB
y kx =A B (),A A x y (),B B x y AB 1C 2C A y B y 22414A x k =+22164B x k =+2B A
x x =224B A x x =221616414k k =++1k =±AB y x =y x =-
将y kx =代入2
214x y +=中,得22(14)4k x +=,所以22
414A x k =+ 将y kx =代入221164y x +=中,则22(4)16k x +=,所以22164B x k
=+ 由2OB OA =,得224B A x x =,即22
1616414k k =++ 解得1k =±,故直线AB 的方程为y x =或y x =- 12分 解法二 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y
由2OB OA =及(1)知,,,O A B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可以设直线AB 的方程为y kx =
将y kx =代入2
214x y +=中,得22(14)4k x +=,所以22414A x k
=+ 由2OB OA =,得22164B
x k =+,2
221614B k y k =+ 将2
2,B B
x y 代入221164y x +=中,得2
24114k k +=+,即22414k k +=+ 解得1k =±,故直线AB 的方程为y x =或y x =-.
考点：1.椭圆、直线方程；2.向量运算.。