云南省高三数学一轮复习专题题库立体几何(9)

131.如图在二面角α- l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD 为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，MN依次是AB、PC的中点
⑴求二面角α- l-β的大小
⑵求证明：MN⊥AB
⑶求异面直线PA与MN所成角的大小
解析：⑴用垂线法作二面角的平面角
⑵只要证明AB垂直于过MN的一个平面即可
⑶过点A作MN的平行线，转化为平面角求解
解：
⑴连PD
∵PA⊥α，AD⊥l
∴PD⊥l
∴∠PDA为二面角α- l-β的平面角
在RTΔPAD中
∵PA=PD
∴∠PDA=45°
∴二面角α- l-β为45°
⑵设E是DC的中点，连ME、NE
∵M、N、E分别为AB、PC、D的中点
∴ME∥AD，NE∥PD
∴ME⊥l，NE⊥l
∴l⊥平面MEN
∵AB∥l
∴AB⊥平面MEN
∵MN⊂平面MNE
∴MN⊥AB
⑶设Q是DP听中点，连NQ、AQ
则NQ∥DC，且NQ=1/2DC
∵AM∥DC，且AM=1/2AB=1/2DC
∴QN∥AM，QN=AM
∴QNMQ为平行四边形
∴AQ∥MN
∴∠PAQ为PA与MN所成的角
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，AQ为斜边上的中线
∴∠PAQ=45°
即PA与MN所成角的大小为45°
132.如图: △ABC的∠ABC= 90︒, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。

解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。

2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平面ABC内的射影就可以了。

3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。

解:作VO⊥平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,
∴∠VBO为VB与平面ABC所成的角。

连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。

∵VA = VB = VC
∴OA = OB = OC
∴O为△ABC为外心
∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边
∴O为AC的中点
设VA = a, 则VA = VC = AC = a,
在Rt△VOB中
∴∠VBO = 60︒
∴VB与平面ABC所成的角为60︒。

133.已知：平面α∩平面β=直线a．
α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ；
(Ⅱ)b⊥γ．
证明：
证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN ⊥AC．——1分
∵γ⊥α，
∴PM⊥α．
而a⊂α，
∴PM⊥a．
同理PN⊥a．——4分
又PM⊂γ，PN⊂γ，
∴a⊥γ．——6分
(Ⅱ)于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．——7分∵b∥α，∴b∥a1．
同理b∥a2．——8分∵a1，a2同过Q且平行于b，
∵a1，a2重合．
又a1⊂α，a2⊂β，
∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．——10分∵b∥a1，∴b∥a．
而a⊥γ，
∴b⊥γ．——12分注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ．——1分
∵α⊥γ，P∈α，
∴a′⊂α．
同理a′⊂β．——3分
可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a．——5分
又a′⊥γ，
∴a⊥γ．——6分
(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d．——7分
∵ b ∥α，b ∥β．
∴ b ∥c ，b ∥d ． ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合．因而c ∥d ．
于是c ∥β． ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，
∴ c ∥a ． ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，
∴ b ∥a ． ——11分 而 a ⊥γ，
∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分． 134. 设S 为ABC ∆平面外的一点，SA=SB=SC ，
γβα2,2,2=∠=∠=∠ASC BSC ASB ，若γβα222s in s in s in =+，求证：平面ASC ⊥
平面ABC 。

解析：（1）把角的关系转化为边的关系
（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）
证明：设D 为AB 的中点
SB SA = α=∠∴ASD SA
AB
SA AD 2sin ==
α 同理SC
AC
SB BC 2sin ,2sin ==γβ
SC SB SA == 且γβα222sin sin sin =+
222AC BC AB =+∴
即ABC ∆为ABC Rt ∆且S 在平面上的射影O 为ABC ∆的外心 则O 在斜边AC 的中点。

⊥∴SO 平面ABC ⊂SO 平面SAC
∴平面ASC ⊥平面ABC
135. 已知如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC
解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC 中点D ，证明AD 垂直平PBC 即可
证明： 取BC 中点D 连结AD 、PD ∵PA=PB ；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形
同理ΔPAC 为正三角形 设PA=a
在RT ΔBPC 中，PB=PC=a
BC=2a
∴PD=
2
2a 在ΔABC 中
AD=
22BD AB -
=
2
2a
∵AD 2+PD 2
=2
22222⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a
=a 2
=AP
2
∴ΔAPD 为直角三角形 即AD ⊥DP 又∵AD ⊥BC ∴AD ⊥平面PBC ∴平面ABC ⊥平面PBC
136. 如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在
平面
成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值 是 ．
解析：
60,,,,,,,.
DAF AD a DF a AB CDF
CD CDF CD DF CF BCF BC a BF ∠⊥∴⊥⊥∴===为二面角可设长为则长为又平面平面又在中根据余弦定理可得
137. 如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个侧面ABCD 、CC 1D 1D 、BCC 1B 1的中心，则A 1M 与NP 所成的角是( )
(A) 30°
(B) 45° (C) 60°
(D) 90°
解析：D如图所示
138.相交成90°的两条直线和一个平面所成的角分别是30°和45°，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是（）
解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为θ，则
()()
3
2
6
3
1
cos
2
2
2
⋅
-
+
=
θ．
139.在三棱锥P-ABC中，∠
APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。

解析：
在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA 和半平面PBC上作QM⊥PB，QN⊥PB，则由定义可知∠MQN即为二面角的平面角。

设PM=a,则在Rt∆PQM和Rt∆PQN中可求得
QM=QN=
2
3a ； 又由∆PQN ≅∆PQM 得PN=a,故在正∆PMN 中MN=a,在∆MQN 中由余弦定理得cos ∠MQN=
31，即二面角的余弦值为3
1。

140. 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=900，AB=BB 1=1，直线B 1C 与平面ABC 成300角，
求二面角B-B 1C-A 的正弦值。

解析：可以知道，平面ABC 与平面BCC 1B 1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，过A 作AN ⊥平面BCC 1B 1，垂足为N ，则AN ⊥平面BCC 1B 1，（AN 即为我们要找的垂线）在平面BCB 1内过N 作NQ ⊥棱B 1C ，垂足为Q ，连QA ，则∠NQA 即为二面角的平面角。

∵AB 1在平面ABC 内的射影为AB ，CA ⊥AB ，∴
CA ⊥B 1A ，AB=BB 1=1，得AB 1=2。

∵直线B 1C 与平面ABC 成300
角，∴∠B 1CB=300，B 1C=2，Rt △B 1AC 中，由勾股定理得AC=2，∴AQ=1。

在Rt △BAC 中，AB=1，AC=2，得AN=
3
6。

sin ∠AQN=AQ
AN =
36。

即二面角B-B 1C-A 的正弦值为3
6。