2018届高三数学一轮复习：第二章 函数第八节 函数与方程

第八节函数与方程
A组基础题组
1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()
A.y=cosx
B.y=sinx
C.y=lnx
D.y=x2+1
2.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
则函数y=f(x)在区间1,6]上的零点至少有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.(2016浙江温州模拟)已知函数f(x)=x2-bx+a的大致图象如图所示,则g(x)=e x+f'(x)的零点所在的区间是()
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
4.(2016山西忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中联考,12)函数f(x)=若方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,0)
B.0,1)
C.(-∞,1)
D.0,+∞)
5.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则()
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<a<b
6.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.
7.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m的取值范围是.
8.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为.
9.已知函数f(x)=sgn(x-1)-lnx,且sgn(x)=则函数f(x)零点的个数为.
10.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=
(1)求gf(1)]的值;
(2)若方程gf(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.
B组提升题组
11.(2016湖南考前演练)设x0是函数f(x)=2x-|log2x|-1的一个零点,若a>x0,则f(a)满足()
A.f(a)>0
B.f(a)<0
C.f(a)≥0
D.f(a)≤0
12.(2016滨州模拟)若方程log3x+x=3的解所在的区间是(k,k+1),则整数k=.
13.已知函数f(x)=且函数g(x)=f(x)+x-a只有一个零点,则实数a的取值范围是.
14.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=-4lnx的零点个数.
15.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间-1,1]上有零点,求a的取值范围.
答案全解全析
A组基础题组
1.A y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.
2.B由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6]上至少有3个零点.故选B.
3.B由题图可知,0<f(0)=a<1①,
f(1)=0,即1-b+a=0②,由①②可得1<b<2,
因为g(x)=e x+2x-b,所以g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,又g(x)的图象连续不断,所以g(x)在(0,1)上必存在零点,
故选B.
4.C函数f(x)=的图象如图所示,
作出直线l:y=a-x,向左平移直线l,观察可知,当l在l'左侧时,函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a有且只有两个交点,
此时,a<1,所以方程f(x)=-x+a有且只有两个不相等的实数根时,a<1,故选C.
5.B由于f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,且f(x)为R上的增函数,故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).
因为g(x)是R上的增函数,g(2)=0,所以g(x)的零点b=2.
因为h=-1+=-<0,h(1)=1>0,且h(x)为(0,+∞)上的增函数,所以h(x)的零点c∈,因此a<c<b.
6.答案0,-
解析由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0,得x=0或x==-.
7.答案(-∞,1)
解析设函数f(x)=x2+mx-6,则根据条件有f(2)<0,即4+2m-6<0,解得m<1.
8.答案1+,1
解析求函数g(x)=f(x)-x的零点,即求方程f(x)=x的根,∴g(x)的零点x满足或解得x=1+或x=1.∴g(x)的零点为1+,1.
9.答案3
解析依题意得,当x-1>0,即x>1时,f(x)=1-lnx,此时,令f(x)=0,得x=e>1;当x-1=0,即x=1时,f(x)=0-ln1=0;当x-1<0,即x<1时,f(x)=-1-lnx,此时,令f(x)=0,得x=<1.因此,函数f(x)的零点个数为3.
10.解析(1)∵f(1)=-12-2×1=-3,
∴gf(1)]=g(-3)=-3+1=-2.
(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,
如图所示,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.
B组提升题组
11.A由题意知x>0.当x>1时,f(x)=2x-log2x-1.易证2x>x+1>x,又函数y=2x的图象与y=log2x的图象关于直线y=x对称,所以2x>x+1>x>log2x,从而当x>1时,f(x)>0.故若a>1,有f(a)>0.因为当
0<x≤1时,f(x)=2x+log2x-1,显然此时f(x)单调递增,又f(1)=1>0,f=-2<0,所以x0是f(x)唯一的零点,且x0∈(0,1],若0<a≤1,则由a>x0可得f(a)>0,故选A.
12.答案2
解析设f(x)=log3x+x-3,则f(x)为增函数,f(2)=log32-1<0,f(3)=1>0,所以f(2)·f(3)<0,所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3),所以k=2.
13.答案(1,+∞)
解析画出函数f(x)=的图象,由图象可知:要使函数f(x)=的图象与函数y=-x+a的图象只有一个交点,则需满足a>1,所以实数a的取值范围是(1,+∞).
14.解析(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},∴f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
(2)∵g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>0),∴g'(x)=1+-=.
令g'(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g'(x),g(x)的取值变化情况如下:
所以当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.
又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,且g(3)<0,g(e3)>0,所以g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.故g(x)在(0,+∞)上仅有1个零点.
15.解析若a=0,则f(x)=2x-3,令f(x)=0⇒x=∉-1,1],不符合题意,故a≠0.
当f(x)在-1,1]上有一个零点时,
有或f(-1)·f(1)≤0,
解得a=或1≤a≤5.
当f(x)在-1,1]上有两个零点时,有
解得
即a<或≤a<1或a>5,
综上,实数a的取值范围为∪.。