浙江省县城教研联盟2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试题答案

2023-2024学年第二学期浙江省县域教研联盟高三年级模拟考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．因为(4,)A =+∞，(,5)B =-∞，所以(4,5)A B = ，选B ．
2．设i z a b =+，则i 2(i)3i a b a b ++-=+，解得11-==b a ,，故i 1-=z ，对应的点在第四象限，选D ．
3．含2x y 的项为：22
224
()6C x y x y -=，选C ．4．一斛米的体积为2231(25502550)3652500 (cm )3V =⨯++⨯⨯=，一斗米的体积为310500 (cm )5
V
=，选A ．
5．3sin 10
A =
，2sin 2B =，则2
sin sin()5
C A B =+=，故522b c =，又有210bc =，所以5,22b c ==，
3
5sin 103sin 22
b A
a B
⨯=
==，选B ．
6．取PF 1中点M ，则1,F M b OM a ==，122,2F P b F P a ==，由双曲线定义可知
122F P F P a -=，所以24b a =，即
2b
a
=，21()5b e a =+=，选C ．
7．设a b d =-，c b d =+，22()2abc b b d =-=，所以222(0)d b b b =-
<，构造函数22
()f b b b
=-，32
2(1)
()b f b b
+'=，当(,1)b ∈-∞-时，()f b 单调递减，当(1,0)b ∈-时，()f b 单调递增，所以()f b 的最小值为(1)3f -=，2[3,)d ∈+∞，(,3][3,)d ∈-∞-+∞ ，选A ．
8．设点22
1212(,),(,)44y y A y B y ，则21212()416
y y OA OB y y ⋅=+=- ，设:l x my t =+，联立直线与抛物线方程得
2
440y my t --=，12
4y y t =-，所以2
44OA OB t t ⋅=-=- ，解得2t =，所以直线l 与x 轴的交点为(2,0)P ，,O D 关于l 对称，所以2OP DP ==，D 的轨迹方程为：22(2)4x y -+=，所以1DF r PF >-=，3DF r PF ≤+=，(1,3]DF ∈，选B ．
题号12345678答案
B
D
C
A
B
C
A
B
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．2()110a b a a a b -⋅=-⋅=-= ，A 对；22221427a b a b a b +=++⋅=++=
，a b +=
，B 对；
22224444412a b a b a b +=++⋅=++=
，2a b += ，24b =
，C 错；a 在b 上的投影向量为14
b
，D 错；综上答案为AB ．
10．2ω=时，(cos 26f x x π-=，因为cos 2()cos(2)cos 2x x x π-=-=，所以(6f x π-关于2
x π
=对称，A
对；2ω=时，由02x π≤≤
可得42333x πππ≤+≤，此时cos(2)3x π+的最大值为1
cos 32
π=，B 错；若()06f π=，则,632
k k ωπππ
⨯+=+π∈Z ，所以16,k k ω=+∈Z ，且0ω>，所以ω的最小值为1，C
对；因为()f x 在(
,)33ωω-π2π上单调递减，所以2,6333ωω
ππππ
≤-≥-
，所以01ω<≤，D 对；综上答案为ACD ．
11．令1,0x y ==，则(1)(1)(0)(1)(0)f f f f f =++，代入(1)1f =得2(0)0f =，即(0)0f =，A 错；
由(0)0f =可得0()()()()f x f x f x f x =+-+-，若存在x 使得()1f x =-，则上式变为01=-，显然不成立，所以()1f x ≠-，又，所以()1f x >-，
将0()()()()f x f x f x f x =+-+-整理为()(1())()f x f x f x -+=-，
由于1()0f x +>，所以()()0f x f x -≤，B 对；令()()()2f x g x f x =
+，则()()2(()()()())
()()0()2()2(()2)(()2)
f x f x f x f x f x f x
g x g x f x f x f x f x -+-+-+-=+=+-++-+，
所以()g x 为奇函数，C 对；
当*n ∈N 时，(1)()(1)()(1)2()1f n f n f f n f f n +=++=+，
(1)1
2()1
f n f n ++=+，
所以{()}f n 为首项是2，公比为2的等比数列，所以()12n f n +=，
由2()1[()1]2x f x f +=+可知2((1)22n n f +=，因为()12n f >-，所以*2()21()2
n
n
f n =-∈N ，
所以
211111
5
5
52
221
1
21
2(12)
()(21)52522
12
k k k k f -==--=
-=-=-<-∑
∑
，D 对；综上答案为BCD ．
题号91011答案
AB
ACD
BCD
112
(2(2(2)22()(22-+=+=+=])[))x
f x f x f x x f x f
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12．
53
13．
79
14．
217
12．567789=76x +++++=，22222
(57)(67)(87)(97)563s -+-+-+-==．
13．由题意得sin 83cos cos ααα=，28sin 3(1sin )αα=-，解得1sin 3α=-，所以27
cos 212sin 9
αα=-=．
14．方法一：因为MN ∥平面ABD ，由线面平行性质定理可知MN IF ∥，
设(02)AI m m =<≤，因为EA 平分BAC ∠，所以2
IM AI m
MC AC ==，所以
22MN MC IF IC m ==
+，又2212cos 13
IF m m m m π
=+-⨯-+，所以2221
2m m MN IF m -+==+，令2m t +=，]2,4（∈t ，则211217()5()17MN t t =-+，当1514t =，即45m =时MN 有最小值21
7
．方法二：过点M 作MG AB ∥交AC 于点G ，连接GN ，由题意得GN AD ∥，所以3
MGN BAD π
∠=∠=，设(01)MG m m =<≤，则MG AG m ==，
22GN m AF -=
，所以22
m
GN -=，所以2221
7432()2
477MN MG GN MG GN m =+-⨯⨯
-+，当47m =时，MN 有最小值
21
四、解答题：本大题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）解
（1）因为{}n a 为等差数列，由749S =，得47a =或137a d +=，
...............2分由25214a a a =⋅，得2(7)(72)(710)d d d +=-+或2111(4)()(13)a d a d a d +=++，...............4分
化简2(7)(72)(710)d d d +=-+得220d d -=，因为0d ≠，所以2d =．所以4(4)21n a a n d n =+-=-（*n ∈N ）．
...............6分
（2）由21n a n =-知131,5a a ==，又{}n n a b +为公比是3的等比数列，所以3311()9a b a b +=+⨯，即113a b +=，...............8分所以1333n n n n a b -+=⨯=，3(21)n n b n =--，.............10分所以123(13)(121)33
1322
n n n n n T n +⨯-+--=-=--．
.............13分
16．（15分）解
（1）记事件“1号球不在1号盒中”为A ，则133344
183()244C A P A A ===或33443
14
A A -=．.................4分
（2）X 的取值为0,1,2,4，且4X Y +=，
4493(0)8P X A ===；4481(1)3P X A ===；2
4441(2)4C P X A ===，4411
(4)24
P X A ===
，...............8分
所以3111
()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()(4)4()3E Y E X E X =-=-=，
.............12分
0X =和4时0XY =，315(0)82412P XY ==+=
，1X =时3XY =，1
(3)3
P XY ==，2X =时2XY =，1(4)4P XY ==
，511
()03421234
E XY =⨯+⨯+⨯=，所以()()()E X E Y E XY >．
.............15分（2）的解法二：4Y X =-，则()4()E Y E X =-，...............6分2()()()(4())4()(())E X E Y E X E X E X E X =-=-，
...............8分又22()((4))(4)4()()E XY E X X E X X E X E X =-=-=-，.............12分
所以()()()E X E Y E XY -=22()(())()E X E X D X -=，由题意可知()0D X >，故()()()E X E Y E XY >成立．.............15分
17．（15分）解
（1）因为平面AEC ⊥平面ABCD ，且平面AEC 平面ABCD AC =，BD AC ⊥，BD ⊂平面ABCD ，
所以BD ⊥平面AEC ，所以BD AE ⊥，
...............4分
又因为AP AB =，E 为PB 中点，所以AE PB ⊥，又PB BD B = ，所以AE ⊥平面PBD ．
...............6分
（2）设点P 在底面ABCD 的射影为点Q ，则PQ ⊥平面ABCD ，
所以PQ AD ⊥，取AD 中点M ，因为PA PD =，所以AD PM ⊥，又PQ PM P = ，所以AD ⊥平面PQM ，所以AD QM ⊥，即Q 在AD 的中垂线上，
(8)
分
如图建立空间直角建系，不妨取2AB =，则设P 为(1,,)a b ，223a b +=，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，所以32(,,)222a b E +，12(,,)222
a b
AE +=- ，(2,2,0)DB = ，
由（1）可知0AE DB ⋅=
，计算得1a =-
，b =
，所以(1,P -，.............12分
又(2,0,0)CB =
，(1,CP =- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =
，则00
m CB m CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即20
30x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，取m = ，所以22sin cos ,11
AB m θ=<>=
．.............15分
18．（17分）解
（1）因为()()ln x x f x a a ax b a a '=⋅+-⋅，
所以(0)e (0)0f f '=⎧⎨=⎩，即ln e
0a b a b -=⎧⎨-=⎩
，所以e a =，0b =．
...............6分
（2）当1b =时，()[(ln )ln ]x f x a a x a a a '=-+，因为()f x 存在极小值点，所以ln 0a a >，解得1a >，
...............8分
此时0ln ln a a x a a -=，所以0ln ln a a x a a -=，即0ln ln x a a a a
-=，0ln 1e
a
x a a -=，
所以0
ln ln 1(
1)00ln ()(1)(1)e
()e ln ln a
a
x a a
a a
a f x ax a
a a a
a
----=-=-=
，
令ln ()a t g a a ==，则0()f x =1
e ()t h t t
-=-，
.............12分
因为2
1ln ()a
g a a -'=
，所以当1e a <<时，()g a 单调递增，当e a >时，()g a 单调递减，又1a >时，ln 0a >，所以()0g a >，所以10()(e)e g a g <≤=，即10e
t <≤，.............15分
因为12
(1)e ()t t h t t
--'=，所以当1(0,]e t ∈时，()h t 单调递增，所以1
e 1
()(e e h t h ≤=-．.............17分
19．（17分）解
（1）取0C 上任意一点为(,)(0,0)A x y x y >>，经过7(
)4
τπ
变换后得到1C 上的对应点为(,)B x y ''，由题意可知7(4τπ
为：2()2)x x y y x y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=-+⎪⎩
，变形后得2)2)x x y y x y ⎧''=-⎪⎪⎨⎪
''=+⎪⎩，
...............4分
即22(
),))22A x y x y ''''-+，将点A 的坐标代入0C 的方程得223x y ''-=，2
)02
x x y '=+>，所以1C 的方程为：223(0)x y x '''-=>．
...............6分
（2）因为12,C C 均经过点(2,1)，所以(2,1)为它们的公共点，所以不妨取(2,1),(2,1)M N -，则:2OM l x y =，:2ON l x y =-，...............8分
设2C 上的动点P 为00(,)x y ，则有22002
2
1x y a b +=，移项得22
2
002
(1)x y b a =-
，记为（i ）式，
又因为2C 过点(2,1)M ，所以
22
41
1a b +=，记为（ii ）式，...............10分
联立001()
2
2y y x x x y
⎧
-=--⎪⎨⎪=⎩得000022,24x y x y x y ++==，所以000022(,)24x y x y H ++，同理得0000
22(
,)24
x y x y G --+，则2
22
00(2)(
)2
x GH y =+，...............12分
记直线OM 与直线ON 的夹角为α，计算得4sin 5
α=
，由题意可知
5
2sin 2
GH
r b α==，所以GH 为定值2b ，所以2
22
200(2)(
)42
x GH y b =+=，记为（iii ）式，将（i ）式代入（iii ）式得2
2
220024(1()42x x b b a -+=，即22
20216(04a b x a
-=恒成立，所以4a b =，与（ii
）式联立解得a =
，2
b =
，...............14分
22
2
000
5544
24
4
OHG H G G H OGPH x y x S S x y x y --==-=
=
△四边形
，因为00x ≤≤20±≠x ，所以20554
05x -
<
≤，四边形OGPH 面积的取值范围为(0,5]．..............17分。