广东省南民私立中学高三数学第一轮复习三角函数的性质

4．三角函数的性质
一.1.基础知识精讲：
y=sinx y=cosx y=tanx (x y cot =)
定义域: R R ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧+
≠∈2,|ππk x R x x {}πk x R x x ≠∈,|
值域: [-1,1] [-1,1] R R 周期: 2π 2π π π 奇偶性: 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调区间:
增区间;⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22
,22
; []πππk k 2,2+-; ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 2
,2
减区间⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22
3,22
; []πππk k 2,2+ 无
对称轴:2
π
π+
=k x
π
k x = 无
()nin y x f =和max y
对称中心: ()0,πk ⎪⎭⎫
⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2πk （以上均Z k ∈） ()0=x f
2.重点: 三角函数的值域（最值）、周期、单调区间的求法及未经给出的三角函数的特征
研究.
二.问题讨论
例1：求下列函数的最小正周期:
(1), x x y cot tan -= (2). x
x
y ππ2
2tan 1tan 1+-= (3). x x y cos sin += 解:(1), y=-2cot2x 所以最小正周期T=
2
π
; (2), x y π2cos =,所以, T=1 [思维点拔] 化为一次单个三角式解之. (3), ()x x x y 2sin 21cos sin 2
+=+=
又知其图象由x y 2sin 21+=
的变换特征可知T=
2
π. 例2：求下列函数的单调区间.
(1).⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
324sin 21x y π (2).⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=4cos πx y 解:(1).原函数变形为⎪⎭
⎫
⎝⎛--=432sin 21πx y 令432π-=
x u ,则只需求u y sin =的单调区间即可.2
24322
2sin π
πππ
π+≤-=
≤-=k x u k u y 在 ,(Z k ∈)上 即8
93833π
πππ+≤≤-
k x k ,(Z k ∈)上单调递增, u y sin =在)(,2
3243222Z k k x u k ∈+≤-=
≤+π
ππππ,上 即)(,8
21
3893Z k k x k ∈+≤≤+ππππ,上单调递减 故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
324sin 21x y π的递减区间为:,893,833⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-ππππk k 递增区间为:)(,8213,893Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++
πππ. [思维点拔] 1、要注意子函数的单调性,若函数为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=324cos 21x y π则变形为⎪⎭⎫
⎝⎛-=432cos 21πx y 即可.2、在()φω+x A sin 中我们总是通过令u x =+φω先求出u 的
值
或
范
围，
再
求
x
的值或范围。

如解不等式：
134tan ,2631cos 2,2132sin <⎪⎭
⎫
⎝⎛--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x πππ
注意取一个周期上求解。

(2)原函数的增减区间即是函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=4cos πx y 的减增区间,令4π
+=x u 由函数
u y c o s =的图象可知:周期π=T 且 u y cos =在,4
2
ππ
π
πk x u k ≤+
=≤-
上,即
Z k k x k ∈-≤≤-
,4
43π
πππ上递增, 在2
4
π
ππ
π+
≤+
=≤k x u k 即在Z k k x k ∈+
≤≤-
,4
4
π
ππ
π上递减
故所求的递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--
4,43ππππk k ,递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-23,4ππππk k (Z k ∈)
[思维点拔]用图象解题是常用方法.
例3：求下列函数的值域：
（1）3cos 2sin 22-+=x x y （2）10
cos 23
sin 3+-=x x y
（3）x x x x y cos sin cos 5sin 5⋅++=
解（1）2121cos 21cos 2cos 22
2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=-+-=x x x y
215,4921cos 41,2121cos 23,1cos 1-≤≤-∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∴≤-≤-
∴≤≤-y x x x 即原函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-2
1,5 （2）010cos 2≠+x 310cos 2sin 3+=-∴y x y x
()310sin 492+=-+∴y x y ϕ，其中32tan y =
ϕ，由()2493
10sin y
y x ++=-ϕ和
()1sin ≤-ϕx 得
()22
2
49310.149310y y y y +≤+∴≤++,
整理得0582
≤+y y ,所以085≤≤-
y 即原函数的值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0,85 (3)()x x x x cos sin 21cos sin 2
+=+
于是设t x x =+cos sin ,则2≤t ,且原式可化为2
1
52-+=t t y
2
2
10122101+≤≤-∴
y [思维点拔] 1、前面学过的求函数的值域的方法也适用于三角函数，但应注意三角函数的有界性.2、关于x x cos sin ±：
1cos sin 0cos ,0sin >+⇔>>x x x x ，1cos sin 0cos ,0sin -<+⇔<<x x x x ，
1cos sin 0cos sin <+⇔<x x x x 。

1cos sin 0cos sin =+⇔=x x x x
例4：已知函数()()()θθ+++=x x x f cos 3sin 的一条对称轴为Y 轴,且()πθ,0∈.求θ的值.
解:法一()⎪⎭
⎫
⎝
⎛++=3sin 2πθx x f ,令u x =++3π
θ,则()u x f sin 2=,
其对称轴为()Z k k x u ∈+
=+
+=,2
3
π
ππ
θ,由题意,0=x ,2
3
π
ππ
θ+
=+
k ,
即,6
π
πθ+
=k ()πθ,0∈∴令0=k ,得6
π
θ=
[思维点拔]合一法是个好办法.
法二.由()()x f x f =- 得:()()θθ+-++-x x cos 3sin
()(),cos 3sin θθ+++=x x θθθθsin sin 3cos cos 3sin cos cos sin x x x x +++-⇒
θθθθsin sin 3cos cos 3sin cos cos sin x x x x -++=
即:()6
,,0,33tan cos sin sin sin 3π
θπθθθθ=∴∈=
⇒= x x [思维点拔]显然知道三角函数的对称轴,对解题有好处.
例5：已知:函数()()x x x f cos sin log 2
1-= (1)求它的定义域和值域. (2)判定它的
奇偶性. (3)求它的单调区间 （4）判定它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⇒
πx ππππ+<-<∴k x k 242 Z k ∈
∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++,452,42ππππ,
(]
2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴值域为.,21⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-
(2). 定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数
(4).()()()[]πππ2cos 2sin log 22
1+-==+x x x f (),cos sin log 2
1x x -=
()∴=x f 最小正周期T π2=.
[思维点拔] 计算要正确.
三.课堂小结 ：1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.
2.设参φω+=x u 可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.
3.要善于运用图象解题
四．作业布置（略）P169 能力提高 外 基础强化 高考预测。