垦利区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

垦利区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．函数y=的图象大致为（）
A．B．C．D．
2．若函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（2，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（2，+∞）
3．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（）
A．40（8）B．45（8）C．50（8）D．55（8）
4．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
5．曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1
6．设命题p：，则p为（）
A． B．
C． D．
7．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
8．数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n（3n﹣2）的前n项和为S n，则S11+S20=（）
A．﹣16 B．14 C．28 D．30
9．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）
A．1 B．C．e﹣1 D．e+1
10．已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ） A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不能被5整除 D ．a ，b 有1个不能被5整除
12．已知命题:()(0x
p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,
)44q x ππ
∀∈，sin cos x x >.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧
二、填空题
13．若执行如图3所示的框图，输入
，则输出的数等于 。

14．1F ，2F 分别为双曲线2
2
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
15．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．
16．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
17．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切； ②存在一条定直线与所有的圆均相交； ③存在一条定直线与所有的圆均不相交； ④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
18．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.
三、解答题
19．某港口的水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y=f （t ）可近似的看成是函数y=Asin ωt+b （1）根据以上数据，求出y=f （t ）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，过点A 作⊙O 的切钱EP 交CB 的延长线于P ，己知∠PAB=25°． （1）若BC 是⊙O 的直径，求∠D 的大小；
（2）若∠DAE=25°，求证：DA 2
=DC •BP ．
21．在正方体1111D ABC A B C D 中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. （1）求证：EG 平面11BDD B ；
（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]
22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2+y 2=4，A （，0），A 1（﹣，0），点P 为平面内一动点，以
PA 为直径的圆与圆C 相切．
（Ⅰ）求证：|PA 1|+|PA|为定值，并求出点P 的轨迹方程C 1；
（Ⅱ）若直线PA 与曲线C 1的另一交点为Q ，求△POQ 面积的最大值．
23．（本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率12e =，圆22
127x y +=与直线1x y a b
+=相切，O 为坐标原
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.
24．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
（1）画出散点图； （2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出7（百万元）时的销售额．
垦利区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：令y=f（x）=，
∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函数y=为奇函数，
∴其图象关于原点对称，可排除A；
又当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x→+∞，y→0，故可排除C；
而D均满足以上分析．
故选D．
2．【答案】A
【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣3）=0，
∴f（3）=0
∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．
再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．
故答案选D．
4．【答案】C
【解析】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
5．【答案】D
【解析】解：y′=（）′=，
∴k=y′|x=1=﹣2．
l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．
故选：D
6．【答案】A
【解析】【知识点】全称量词与存在性量词
【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p为：。

故答案为：A
7．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
8．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．9．【答案】C
【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，
∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．
∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．
∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，
令x2﹣m≤，
化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．
令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．
∴m≥e﹣1．
故选：C．
10．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，
即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
11．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故应选B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
12．【答案】D
【解析】
考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.
二、填空题
13．【答案】
【解析】由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
则。

【解析】
15．【答案】．
【解析】解：不等式组的可行域为：
由题意，A（1，1），∴区域的面积为
=（x3）=，
由，可得可行域的面积为：1=，
∴坐标原点与点（1，1）的连线的斜率大于1，坐标原点与
与坐标原点连线的斜率大于1的概率为：=
故答案为：．
【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型，考查定积分知识的运用，解题的关键是利用定积分求面积．
16．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y＝－3x＋z＋m与直线y＝－3x平行，且在y轴上的截距最小时，z才能取最小值，此时l经过直线2x－y＋2＝0与x－2y＋1＝0的交点A（－1，0），z min＝3×（－1）＋0＋m＝－3＋m＝1，
∴m＝4.
答案：4
17．【答案】 ②④
【解析】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系，
圆k ：圆心（k ﹣1，3k ），半径为k 2，
圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3），半径为
（k+1）2
，
两圆的圆心距d==
，
两圆的半径之差R ﹣r=
（k+1）2
﹣
k 2
=2
k+
，
任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误； 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4
（k ∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则真命题的代号是②④． 故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
18．【答案】22
2x y +=
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以
r d ==
=222x y +=.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴=10，
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k=0时，1≤t≤5；
当k=1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，
又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=115°．
证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△PBA，∴，
又DA=BA，∴DA2=DC•BP．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）90．
【解析】
（2）延长DB 于M ，使1
2
BM BD =
,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.
设正方体边长为,则111651011,cos 02222
B M B H AM HM HB M =
===∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.
考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.
【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M ∠为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题.
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P （x ，y ），记线段PA 的中点为M ，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA 1|=R ﹣|PA|， 所以，|PA
1|+|PA|=4＞2
，
故点P 的轨迹是以A ，A 1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P 的轨迹方程C 1为：
=1． …
（Ⅱ）解：设P （x
1，y 1），Q （x 2，y 2），直线PQ 的方程为：x=my+，…
代入=1消去x ，整理得：（m 2
+4）y 2+2
my ﹣1=0，
则y 1+y 2=﹣
，y 1y 2=﹣
，…
△POQ 面积S=|OA||y
1﹣y 2|=2…
令t=
（0
，则S=2
≤1（当且仅当t=时取等号）
所以，△POQ 面积的最大值1． …
23．【答案】（1）22
143
x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上. 【解析】
试
题解析：
（1）由12e =，∴2214e a =，∴22
34a b =7=
，
解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--，
解得112
12
21212011224
424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ
++
⋅-+++=
==+-+++
+
又221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k ---++=⨯+⨯=+++，
21222
3224
()883434k x x k k -++=+=++，从而12120
1224()1()8x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 24．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
设回归方程为=bx+a
则b=﹣5/﹣5=1380﹣5×5×50/145﹣5×52
=6.5
故回归方程为=6.5x+17.5
（3）当x=7时，=6.5×7+17.5=63，
所以当广告费支出7（百万元）时，销售额约为63（百万元）．
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，这是解答正确的主要环节．。