河北省正定中学20102011学年高三年级第二次月考数学文(附答案)

正定中学2010-2011学年高三年级第二次月考
文科数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U =Z ，A ={－2，－1，0，1}，B ={x |422
1
2<<+x ，x ∈Z }，则=⋂)(B C A U ( ) A ．{0，1｝ B ．｛1｝ C ．{－2，－1}
D ．｛－1,0，1}
2． ()
2,61=-⋅==，则向量,的夹角为（ ）
6
π
A
4
π
B
3
π
C
2
π
D
3．在ΔABC 中，已知∠A=120°，且
C AB AC sin ,2
1
则=等于
（ ）
A ．
7
3 B ．
47 C ．
7
21
D ．
21
21 4．已知等差数列24147{},30,39,n n n a n S a a a a a S +=-++=-的前项和为且则使得达到最小值的n 是
（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
5.数列{}n a 中，若11
1
,111-+=
=+n n a a a ，则2010a 的值为（ ） 12
1
211
D C B A -
- 6．在△ABC 中，sin 2cos cos cos 2sin sin A C A
A C A +=-是角A 、
B 、
C 成等差数列的( ) A ．充分非必要条件 B ．充要条件
C ．必要非充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，
）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是( )
A ．37a a +＞52a
B ．37a a +＜52a
C ．37a a +＝52a
D ．37a a +与52a 的大小与a 有关 8.已知函数,3443)(-+-=x x x f 则函数)(x f 的最大值为( ) A ．3 B ．4
C ．5
D ．不存在
9．已知角α在第一象限且3cos 5
α=
，则
1)4sin()
2
π
απα+-=+（ ） A ．25 B ．75 C ．145 D ．25
-
10．如图，角α的顶点为原点O ，始边为y 轴的非负半轴、 终边经过点P （-3，-4）.角β的顶点在原点O ，始边为 x 轴的非负半轴，终边OQ 落在第二象限，且2tan -=β， 则POQ ∠cos 的值为( )
A ．55-
B ．25511-
C ．25511
D ．5
5 11．设,0>a ,0>b ,0>c 下列不等关系不恒成立的是( )
141
123-+>++c c c c A ||||||c b c a b a B -+-≤-
C 若14=+b a ，则8.611>+b
a 2
0()D ax bx c x R ++≥∈
12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()
()()k f x f x k f x k
f x k
≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩，取函数()2
x
f x -=。

当1
2
k =
时，函数()k f x 的单调递增区间为( )
A (,0)-∞
B (0,)+∞
C (,1)-∞-
D (1,)+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知函数3log 0()10
3x
x x f x x >⎧⎪
=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭
⎩,则不等式()1f x ≥的解集为 .
14．已知函数3
2
()3(0)f x x a x a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是 .
15．设函数21123()n n f x a a x a x a x -=++++ ，1
(0)2
f =
，数列{}n a 满足 2(1)()n f n a n N *=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 等于
.
16．已知：函数])6
13,
0[)(3
sin(2)(π
π
∈+
=x x x f 的图象与直线y=m 的三个交点的横坐标分别为=++<<3213213212),(,,x x x x x x x x x 那么 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． 已知函数()x b x x a x f 2cos 2cos sin 2+=,且()126,80=⎪⎭
⎫
⎝⎛=πf f (1) 求实数a,b 的值。

(2) 当x ∈[0,π
2
]时，求f(x)的最小值及取得最小值时的x 值.
18． 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,12,11N n n S S a a n n ∈++==+ （1）求数列{}n a 的通项公式。

（2）若1=a ，n
n n a a n
b -=+1，{}n b 的前n 项和为,n T 已知*,N M T M n ∈>，求M 的最小
值.
19.（15-16班）设.4||||),,3(),,3(,,=+-=+=∈b a y x b y x a R y x 且向量 （1）求点),(y x M 的轨迹C 的方程；
（2）过点)2,0(P 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点（A 在P ，B 之间），设,λ=直线l 的
斜率为k ，当12
≥k 时，求实数λ的取值范围。

（17-20班）已知函数定义在[]1,1-上的奇函数，且()11=f 若∈b a ,[]1,1-，0≠+b a 有
()()0>++b
a b f a f (1)解不等式⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+
1121x f x f (2)若()122
+-≤m km x f 对所有∈x []1,1-，∈k []1,1-恒成立，求实数m 的取值范
围
20. ∠A 、∠B 、∠C 为锐角三角形ABC 的三个内角，且tanA 、tanB 、tanC 成等差数列，且f (x )
满足f (tanC)=
A
2sin 1
（I ）求x >0时f (x )的表达式；
（Ⅱ）设x =tanC, 求当（I ）中f (x )取得最小值时，三角形ABC 的最小角的值.
21. 已知函数()3133f x x ax a ⎛⎫=-≥
⎪⎝⎭
（1） 当1=a 时，求()x f 的极小值；
（2） 设()()[]1,1,-∈=x x f x g ，求()x g 的最大值()a F .
22、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2*232()n n S a n n n N =+--∈， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设cos n n b a n π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n P ；
（Ⅲ）设1n n c a n
=
-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：任意*
n N ∈，3744n T <.
一、ACCCB AACCA DC 二、13 (][)+∞⋃∞-,30, 14 2
2
>
a 15 1+n n 16 38π
三、17 ．解：(1)由条件可解得a= b=4
（2
）2f(x)=+8cos x
=+4(1+cos2x)
=π
8sin(2x +)+46
当x ∈[0,π2]时，π2x +6∈[π6，7π
6
]
∴f(x)的最小值是0 此时π
x =2
18 .由11n n S S n +=++○1 得12n n S S n n -=+≥（）○2 ○1-○2得：121n n a a +=+()2n ≥
所以
11
21
n n a a ++=+ 故数列{}1n a +是从第2项开始的等比数列.
22a a =+
所以)2(12)3(2≥-⋅+=-n a a n n 而a a =1不满足上式
所以⎩⎨⎧-⋅+=-12)3(2
n n a a a 2
1
≥=n n （2）由12,11-==n n a a 得，*N n ∈，则n
n n b 2= 使用错位相减法可得：222121
<--
=-n
n n n
T 19．解：（1）设)0,3(),0,3(21F F -
则32||4||||2121==+F F MF MF 且
21,F F M 是∴为位点，2为长半轴的椭圆
.14
22=+∴y x ……………………4分 （2）设,2:+=kx y l 代入椭圆有.01216)1(22=+++kx x k ……..6分
由1,,4
3
,022≥>
>∆k k 由之得………..7分 设),(),(2211y x B y x A
则 ⎝⎛+=
+-=+2212
22141124116k x x k k x x ………..8分
由PB PA λ=21x x λ=∴有k x k k x λλλ4)
1(3,)
41)(1(1622
2+-=++-=
….9分 )41
(643)1(22
+=
+∴
k
λλ
12≥k 2
315(,](1)1664λλ∴∈+……10分 解之135
3353
λλ<≤≤<或
B P A ,在 之间5331≤<∴λ 综上13
(,]35
λ∈
20 ．（1）,tan tan 1tan tan 2
)tan(2tan 2tan tan C
A C
A C A
B
C A -+-=+-==
.tan 3
tan C
A =
∴ )t a n 3
3t a n (21)(t a n :t a n 3t a n ,t a n 2t a n 12c s c )(t a n 2
C
C C f C A A A A C f +==+==代入得将，
即当),33(21)(,0x
x x f x +=
>时 （2）13
3221)(=⋅⋅≥
x
x x f ，当且仅当x =3时取等号. 此时ABC A C ∆=∴=由,1tan .3tan 是锐角三角形知：4
π
=
A ，且A 为最小角.
21 解（1）当1=a 时，33)('2-=x x f 令0)('=x f 得1±=x .
所以)(x f 在)1,1(-上单调递减，在)1,(--∞和),1(+∞上单调递增. 所以)(x f 的极小值为2)1(-=f
（2）因为|3||)(|)(3ax x x f x g -==在]1,1[-上为偶函数，故只求在[]1,0上的最大值即可.
[])
3)(3()(')(|)(|)(0
)3)(3()(1,0,3
1
a x a x x x g x f x f x g a x a x x x f x a +--=-==∴≤+-=∴∈≥ 当1≥a 时，0)('>x g ，)(x g 在[]1,0上单调递增，13)1()1()(-=-==a f g a F 当
13
1
<≤a 时，)(x g 在[]a ,0上单调递增，在[]1,a 上单调递减，
a a a f a g a F 2)()()(=-== 所以可得⎪⎩⎪⎨⎧
≥-<≤=1131
3
12)(a a a a a a F 22.解：（Ⅰ） 2232n n S a n n =+--，
()()2
1121312n n S a n n ++∴=++-+-.
()11222,212(2)n n n n a a n a n a n ++∴=-+∴-+=-. {}2n a n ∴-是以2为公比的等比数列 ----------------3分 111124,4a S a a ==-∴=,∴121422a -⨯=-=.
22,22n n n n a n a n ∴-=∴=+. -----------------------4分
（
Ⅱ
）
当
n 为偶数时，
12313124()()n n n n P b b b b b b b b b b -=++++=+++++++
()()()31
221223221n n -⎡⎤=-+⨯-+⨯--+-⎣⎦
()()()2
4
22222422n
n ++⨯++⨯+++⨯ ()()2
2
4122122
(21)12123
n n n n n --=
-
+=⋅-+--；
------------------ 6分
当n 为奇数时， ()122
13
n n P n ++=--+. -------------- 7分 综上，125,332(21)3
n n n n n P n n +⎧---⎪⎪=⎨⎪⋅-+⎪⎩（为奇数），（为偶数）. ----------- 8分 (Ⅲ)11
2n n
n c a n n
=
=-+. 当1n =时，1T =13 37
44
<--------------------------------9分
当2n ≥时，
1232311111111 <21222323222
n n n
T n =++++++++++++ -------------10分 =111
(1)14
21312
n --+-111322n =+- 5153762644
n =-<< 综上可知：任意n N ∈，3744n T <. ------- ---- 12分
.。