第7章 特征值的估计 ppt课件

max | i, j
aij
|
0.6
，
|
Re k
|
3
max i, j
|
bij
|
0
，
|
Imk
|
3
max i, j
|
cij
|
0.6 ．
所以， Re k 0 ，| Im k | 0.6 ．
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10
若用定理 7.1.3 可得
| Im k |
3
(3 1) 2
max i, j
上，则
证明 则有
n Re k 1 ， n Im k 1 ． 设 A 对应于特征值 k 的单位特征向量为 x (x 0) ，即 Ax k x ， (x, x) x H x 1，
取共轭转置得
xH Ax k xH x k ．
于是
xH AH x k ，
14
定理 7.1.5 设 A C nn ， A 的特征值为 k (k 1,2,, n) ，奇异
值为 d1 d 2 d n ，则
dn | k | d1 ．
证明
因为
AAH
为
Hermite矩阵，且其特征值为
d
2 1
,
d
2 2
,,
d
2 n
，
所以存在酉矩阵U 使得
U ( AAH )U H
所以
Re k xH Bx xHUD1U H x ，
i Im k xHCx = x HVD2V H x ．
令 y U H x ( y1, y2 ,, yn )T ， z V H x (z1, z2 ,, zn )T ，则
y H y x HUU H x x H x 1， z H z z HVV H z z H z 1，
定 理 7.1.6 设 A (aij ) C nn ， A 的 特 征 值 为
1, 2 ,, n ，则
1
n

| i | | det A |
n
(
n
| aij
|2
)
2
.
i 1
j1 i1

且等号成立当且仅当 A 的某一列全为零元素，或 A 的列向量两
两正交．
|
Imk
|2
n2
max | i, j
cij
|2
，
两边开方即得结论．
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8
定 理 7.1.3 设 A 为 n 阶 实 矩 阵 ， 则 A 的 任 一 特 征 值 k (k 1,2,, n) 的虚部 Im k 满足
| Im k |
n(n 1) 2
max i, j
|
cij
|
．
（7.1.6）
dn | k | d1 ．
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17
推论 7.1.1 酉矩阵的特征值的模均等于 1．
证明 设 A 为酉矩阵，则 AAH E ，所以 AAH 的特征值
d
2 i
1
(i 1,2,, n) ，从而 A 的奇异值均为 1，由定理 7.1.5
知 A 的特征值的模均等于 1．
|
cij
|
0.3464
．
0.2 0.1 实际上，| E A | 0.2 0.2 3 0.09 ，得 A 的
0.1 0..2
特征值为 1 0 ， 2 0.3i ， 3 0.3i ．
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11
定理 7.1.4 设 A C nn ，B,C,k , k , k (k 1,2,, n) 定义同
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18
n
证明 由线性代数知识知道 | i | | A | ． i 1
设 A (1, 2 ,, n ) ， 若 1, 2 ,, n 线 性 相 关 ， 则
| A | 0 ，结论显然成立．下面证明1, 2 ,, n 线性无关时，结
故| 2 | 5 ．同理可得 | 3 | 5 ．
事实上，由 | E A | ( 1)( 2)( i) 知 A 的其它两个
特征值为 1， i ．
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4
下面给出一些利用矩阵元素直接估计矩阵特征值上下界的方
法，为便于表达，对于 A (aij ) C nn ，记
因此
n
Re k yH D1 y j | y j |2 ， j 1
Imk

1 i
z
H
D2
z

n

j 1
j
|
zj
|2 ．
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13
由于 1 2 n ， 1 2 n ，所以
n
n
n
n n | y j |2 j | y j |2 Re k 1 | y j |2 1 ，
则有
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6
U H BU U H A AH U T T H ，
2
2
U H CU U H A AH U T T H ，
2
2
| Re k
|2
n
| Re i |2
i 1

n | i
i 1
i
2
|2

n | tii
i 1
t ii 2
|2
2

F
B
2 F
n2 max i, j
| bij
|2 ，
i j
n | tii t ii |2
i1
2
n | tij |2 2 i, j1

T TH 2
2

F
C
2 F
n2 max i, j
| cij
|2 ，
i j
所以
|
Re k
|2
n2
max | i, j
bij
|2
，
nn
n
( bki b si )xk x s xi xi ，
k ,s1 i1
i 1
即
n
n
d
2 i
xi
xi


xi xi ，
（7.1.5）
i 1
i 1
又
n
n
n
d
2 n
xi
xi

d
2 i
xi
xi

d12 xi xi ，
i 1
i 1
i 1
由（7.1.5）式与（7.1.6）式得
n
| i |2

T
2 F

A2． F
i 1
由（7.1.2）式知结论中等号成立当且仅当
| tij |2 0 ．
i j
即 T 为对角阵，因此结论中等号成立当且仅当 A 酉相似于对角阵， 即 A 为正规矩阵．
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3
例 7.1.1 已知矩阵
3 i 2 3i 2i
A 1
证明 因为 A 为 n 阶实矩阵，所以 cii 0 (i 1,2,, n) ．由定理
7.1.2 的证明有
n
n
n
| Im i
i 1
|2
| cij
i, j 1
|2
| cij
i, j1
|2

n(n

1)
max i, j
|
cij
|2 ，
i j
由于实矩阵的特征多项式为实系数多项式，其复特征值必成对出现，则
(i 1,2,, n)
（7.1.3）
n
n
bki xk bki xk xi xi ． (i 1,2,, n)
k 1
k 1
或
n
bkibsi xk xs xi xi ， (i 1,2,, n)
k ,s 1
（7.1.4）
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16
对（7.1.4）式，令 i 从 1 到 n 求和得
B (bij )
A AH 2
，C
(cij )
A AH 2
，
则 B 为 Hermite矩阵， C 为反 Hermite矩阵，且 A B C ．
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i
1, k 1,2,n) ，且满足
| 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
k 1
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15
设 为 B 的任一特征值，则线性方程组
(E BT )x 0 ，
或
n
bki xk xi (i 1,2,, n)
k 1
有非零解 x ，对（7.1.2）式取共轭得
（7.1.2）
n
bki xk xi
k 1
（7.1.2）式与（7.1.3）式相乘得
其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,, n) 为 A 的特征
值，于是
n
n
n
| i |2
| tii |2
| tii |2
| tij
|2

T
2．
F
（7.1.2）
i 1
i1
i1
i j
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2
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
，
| Im k
|2
n
| Im i
i 1
|2

n|Βιβλιοθήκη i 1ii
2
|2

n | tii
i 1
t ii 2
|2 ．
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7
由于在酉相似下矩阵的 F 范数不变，所以
n | tii t ii |2
i1
2
n | tij |2 2 i, j1

T TH 2
n
n
| k
|2
| i
i 1
|2

| aij
i, j 1
|2

n2 max i, j
| aij
|2 ，
即
|
k
|
n max | i, j
aij
|．
由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得
U H AU T ， U H AHU T H ，
其中T 为上三角矩阵，T 的对角线元素 tii (i 1,2,n) 为 A 的特征值，
1
7.1 特征值界的估计
定 理 7.1.1(舒 尔 定 理 ) 设 A (aij ) C nn ， A 的 特 征 值 为
1, 2 ,, n ，则
n
n
| i |2
| aij |2
A2． F
i 1
i, j1
（7.1.1）
且等号当且仅当 A 为正规矩阵时成立．
证明 由舒尔定理，存在酉矩阵U 使得 U H AU T ．
0 0.2 0.1 A 0.2 0 0.2
0.1 0.2 0
估计特征值的实部与虚部的范围．
解
设
A 的 特 征 值 为 k
(k 1,2,3) ， B A AH 2
0 ，
C A AH A ．则由定理 7.1.2 得 2
|
k
|
3
1 2 n．
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5
定理 7.1.2 设 A (aij ) Cnn ，A 的特征值为 k (k 1,2,n) ，
则
|
k
|
n max i, j
|
aij
|，
|
Re k
|
nmax | i, j
bij
|
，
|
Imk
|
n max i, j
|
cij
|
．
证明 由定理 7.1.1 得
j 1
j 1
j 1
n
n
n
n n | z j |2 j | z j |2 Im k 1 | z j |2 1 ．
j 1
j 1
j 1
定理 7.1.4 给出了矩阵特征值的实部与虚部的上下界估计，定理 7.1.5
则给出矩阵特征值模的上下界估计．
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0 0
0
1
0
的一个特征值为 2，估计其它两个特征值的上界．
解 记 1 2 ，A 的其它两个特征值为 2 ，3 ，由定理 7.1.1 得
3
3
| 2 |2 | i |2 | 1 |2 | aij |2 | 1 |2 25 ，
i 1
i, j 1
所以
n
| Im i |2 2 | Im k |2 ．
i 1
2|
Im k
|2

n(n
1) max | i, j
cij
|2 ，
即
| Im k |
n(n 1) 2
max i, j
|
cij
|
．
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9
很明显，当 A 为 n 阶实矩阵时，用定理 7.1.3 估计特征值的虚部比用
定理 7.1.2 效果好得多． 例 7.1.2 设矩阵
Re k

k
k
2

xH
A AH 2
x
xH Bx ，
i Im k

k
k
2
xH
A AH 2
x xHCx ．
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12
因为 B,C 均为正规矩阵，所以存在酉矩阵U 和V 使得
U H BU D1 diag(1, 2 ,, n ) ，
V H CV D2 diag(i 1, i 2 ,, i n ) ，
第7章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数 比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因 此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
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D

diag
(d12
,
d
2 2
,,
d
2 n
)
．
记 B UAU H ，则 A 与 B 有相同的特征值，且
D UAU HUAHU H BBH ，
所以 B 的元素 bij (i, j 1,2,, n) 满足
n
bik b jk di2 ij (i, j 1,2,, n) .