2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第四章第二节平面向量的数量积及应用举例.ppt[文字可

时，此式有最大值 49＝7.
[答案] (1)B (2)B
解析 答案
第四章
考点一
第二节 平面向量的数量积及应用举例
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
考点二
考点三
课时规范练
[方法提升]
பைடு நூலகம்求向量模的常用方法
平方法 |a|＝ a·a 适合于向量的几何运算
a＝(x，y) |a|
坐标法
适合于用坐标表示的向量
→→
→→
OC·NO＋OC·OD＝|MO|·|NO|cos 180°＋|MO|·|OD|cos 60°＋|OC|·|NO
→→ |·cos 60°＋|OC|·|OD|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.
解析 答案
第四章
考点一
第二节 平面向量的数量积及应用举例
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B
＝b，则 ∠AOB 就
是 a 与 b 的夹角
[基础梳理 ]
图示
范围
共线与垂直
设 θ 是 a 与 b 的 θ＝0°或 θ＝
夹角，则 θ 的取 180°? a∥b ，
值范围是
_θ_＝__9_0_°? a⊥
_0_°_≤__θ_≤__1_8_0_°_ b
第四章
命题点 1 向量的模的计算
[例 2] (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，
则|a＋2b|＝( )
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
(2)已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.若
点 P 的坐标为 (2,0)，则|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为 ( )
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(2)在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝4，E 为 CD 的中点，则A→E·A→C＝
() A．8
B．10
C．12
D．14
(3)如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是弧 AB 的三等分点，M，
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
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2．已知 a＝(1,2)，b＝(3,4)，若 a＋kb 与 a－kb 互相垂直，则
实数 k＝( D )
A. 5
B．5
C．± 5
D．±55
第四章
第二节 平面向量的数量积及应用举例
而〈 C→A，A→D〉＝ 150°，
∴C→A·A→D＝|C→A|·|A→D|·cos
150°＝3×3 2 3×????－
23????＝－
27 4.
解析
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向量的模、夹角、垂直问题 |方法突破
∴C→D·C→B＝
→→ |CD|·|CB|·cos
∠
BCD＝
|C→D|2＝
94.故
选 B.
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(2)(坐标法 )特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为
2 2，以 A 为原点，建立如图所示坐标系，则 A(0，0)，
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平面向量数量积的运算|方法突破
[例 1] (1)(2017·邢台模拟)在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC
＝30°，CD 是边 AB 上的高，则C→D·C→B＝( )
A．－94
B.94
27 C. 4
D．－247
解析 答案
＝ x2＋y2
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[跟踪训练 ]
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1．(2017·洛阳统考 )若平面向量 a＝(－1,2) 与 b 的夹角是
180°，且|b|＝3 5，则 b 的坐标为 ( A )
A．(3，－6)
向量垂直的充要条件 a⊥b? a·b＝0? _x_1_x_2＋__y_1_y_2＝__0_
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[三基自测 ]
1．设 a＝( 3，1)，b＝????1，－ 33????，则向量 a，b 的夹角为( B )
则
?
E?1，
?
12???，F
???12，1???.
∴A→E·A→F＝1×12＋12×1＝1.
答案：1
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→→ 2．在本例 (1)中条件不变，求 CA·AD.
在 Rt△ADC 中，AD＝3 cos 30°＝3 23，
B．(－3,6)
C．(6，－3)
D．(－6,3)
由题意设 b＝λa＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b|＝3 5，则 λ2＋4λ2＝ 3 5，所以 λ＝－3，b＝(3，－6)，故选 A.
解析 答案
第四章
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→
→
C(2 2，2 2)，E( 2，2 2)，所以AC＝(2 2，2 2)，AE
→→ ＝( 2，2 2)，所以AC·AE＝2 2× 2＋2 2×2 2＝12，故选 C.
→→ → → → → →→ →→ (3)法一： 因为 MC·ND＝(MO＋OC)·(NO＋OD)＝MO·NO＋MO·OD＋
→→ →→ → →
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[方法提升 ]
解决平面向量数量积问题的常用方法技巧
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技巧
解读
适合题型
利用定义式a·b＝|a|·|b|cos θ求解． 适用于平面
定义式的特点是具有强烈的几何含 图形中的向
N 是线段 AB 的三等分点，若 OA＝6，则M→C·N→D＝________.
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(1)在△ABC 中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，
CD 是边 AB 上的高，则有 CD＝AC·sin 30°＝32.
定义法 义，需要明确两个向量的模及夹角， 量数量积的
夹角的求解一般通过具体的图形可确 有关计算问
定.
题
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技巧
解读
适合题型
利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2解题． 坐标式的特点是具有明显的代数特 适用于已知相应向 坐标 征，解题时需要引入直角坐标系， 量的坐标求解数量 法 明确向量的坐标进行求解，即向量 积的有关计算问题
投影 _|b_|_c_o_s_θ_叫作向量 b 在 a 方向上的投影
几何 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向 意义 上的投影_|_b_|c_o_s_θ__的乘积
第四章
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3.数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹 角．则 ①e·a＝a·e＝ |a|cos θ . ②cos θ＝|aa|·|bb|. ③a·b≤ |a||b| .
C 在圆 x2＋y2＝1 上，且 AB⊥BC，知线段 AC 为圆的直径，
设圆心为 O，故P→A＋P→C＝2P→O＝(－4,0)，设 B(a，b)，则 a2
＋b2＝1 且 a∈[－1,1]，P→B＝(a－2，b)，所以P→A＋P→B＋P→C＝
(a－6，b)．故|P→A＋P→B＋P→C|＝ －12a＋37，所以当 a＝－1
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4．数量积的运算律 (1) 交换律： a·b＝b·a.
(2)数乘结合律： (λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) ． (3)分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
第四章
第二节 平面向量的数量积及应用举例
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5．平面向量数量积的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为 θ，则
数量积
a·b＝_x_1_x_2_＋__y_1y_2__
模
|a|＝ ___x_21_＋__y_12_
夹角
x1x2＋y1y2 cos θ＝____x_21＋__y_21__x_22_＋__y_22___
问题“坐标化”.
适用于直接求解不
求较复杂的向量数量积的运算时，
转化
易，而转化为其他
可先利用向量数量积的运算律或相
法
向量的数量积的有
关公式进行化简，然后进行计算. 关计算问题
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3．已知 a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)·a 等于( A )
A．(26，－78)
B．(－28，－42)
C．－52
D．－78
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[母题变式] 1．将本例(2)改为： 在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，DC 的中点，则A→E·A→F＝________.
解析 答案
第四章
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考点三
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法一：因为 A→E＝A→B＋12A→D，A→F＝A→D＋12A→B，A→D·A→B＝0， 所以 A→E·A→F＝????A→B＋12A→D????·????A→D＋ 12A→B????＝12A→B2＋12A→D2＝1. 法二： 以 A 为原点， AB 为 x 轴建立坐标系 (图略)，
考点二
考点三
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法二：以点 O 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，AB 的
垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 (图略)，则 M(－2,0)，
→
→
N(2,0)，C(－3,3 3)，D(3，3 3)，所以MC＝(－1,3 3)，ND
＝(1,3 3)，M→C·N→D＝－1＋27＝26.
[答案] (1)B (2)C (3)26
第二节 平面向量的数量积及应用举例
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2.平面向量的数量积 设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则数量
定义 _|_a_||_b_|c_o_s_θ__叫作 a 与 b 的数量积，记作 a·b __|a_|c_o_s__θ_叫作向量 a 在 b 方向上的投影，
考点二
考点三
课时规范练
2．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－ b|＝____7____.
第四章 平面向量、数系的扩充与复 数的引入
考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量 积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模； 3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．
第四章
第二节 平面向量的数量积及应用举例
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
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1．向量的夹角 定义
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4．(必修 4·习题 2.4A 组改编)已知|a|＝2，|b|＝4 且 a⊥(a－ π
b)，则 a 与 b 的夹角是___3_____．
5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编 )已知 a 与 b 的夹角为 60°，|a|
＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝_____7_____.
第四章
考点一
第二节 平面向量的数量积及应用举例
A．6
B．7
C．8
D．9
解析 答案
第四章
第二节 平面向量的数量积及应用举例
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
课时规范练
考点一
考点二
考点三
(1) 由 已 知 |a| ＝ 2 ， 所 以 |a ＋ 2b|2 ＝ a2 ＋ 4a·b ＋ 4b2 ＝ 4 ＋
4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2 3.(2)由 A，B，