第3讲 一元一次不等式-2021年新八年级数学暑假精品课程(华师大版)(解析版)

第3讲一元一次不等式
【学习目标】
1.了解一元一次不等式的含义
2.解不等式
3.不等式应用
【基础知识】
考点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
考点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号读法意义
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪“≠”读作“不等于”
个大，哪个小
“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小
“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
读作“小于或等
“≤”
于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
读作“大于或等
“≥”
于”
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
考点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c
>)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或
a b c c <)． 考点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
考点三、一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
考点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
考点四、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
考点诠释：
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：
①解集中的每一个数值都能使不等式成立；
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
考点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画．
注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
考点五、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=
100%⨯利润利润率进价
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×时间
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.
考点六、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
考点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B 型车 ”．这一点应十分注意．
考点七、不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如
2562010x x ->⎧⎨-<⎩，7021163159x x x ->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩
等都是一元一次不等式组． 考点诠释：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
考点八、解一元一次不等式组
1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
考点诠释：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
考点九、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
考点诠释：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．
【考点剖析】
考点一：不等式的概念
例1．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6;
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
【思路】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34
m ≤5． 【总结】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．
考点二：不等式的基本性质
例2．.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4； （3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2
；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．
【答案】
解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；
（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；
（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；
（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．
（6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
考点三：解一元一次不等式
例3．.解不等式：2)1x (3)1x (2-+<-，并把解集在数轴上表示出来．
【思路】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．
【答案】
解：去括号，得：23x 32x 2-+<-
移项、合并同类项，得：3x <-
系数化1得：3x ->
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
【总结】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
考点四：不等式的解及解集
例4．不等式x ＞1在数轴上表示正确的是 ( ).
【思路】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
【答案】C
【解析】
解：∵不等式x ＞1
∴在数轴上表示为:
故选C ．
【总结】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．
考点五：利润问题
例5水果店进了某种水果1t ，进价是7元/kg ．售价定为10元/kg ，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果至少可以按原定价的几折出售？
【答案】
解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售,根据题意得：
1t ＝1000kg 10001000(107)(107)20001022
x ⨯-⨯+-⨯≥ 解得：8x ≥
答：余下的水果至少可以按原定价的8折出售．
【总结】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润作为不等量关系列不等式．
考点六：方案选择
例6某大型企业为了保护环境，准备购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A 型2台、B 型3台需54万，购买A 型4台、B 型2台需68万元．
（1）求出A 型、B 型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A 型设备一个月可处理污水220吨，一台B 型设备一个月可处理污水190吨，如果该企
业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．
【思路】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；
（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案．
【答案】
解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，
解得：．
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：
220a+190（8﹣a）≥1565，
解得：a≥1.5，
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越省钱，
∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱．
【总结】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，找准数量关系是解题的关键．
考点七：不等式组的概念
例7某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
【思路】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．
【答案】
解：依题意得：
848
2(8)34. x
x
>
⎧
⎨
+<
⎩
【总结】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．
举一反三：
【变式】直接写出解集：
(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩
的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩
的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩
的解集是_______；
(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩
的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．
考点八：解一元一次不等式组
例8解不等式组：． 【思路】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
【答案】 解：解：
．
由①得x ≤1；
由②得x ＜4；
所以原不等式组的解集为：x ≤1．
【总结】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：
(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．
(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．
考点九：一元一次不等式组的应用
例 “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩
37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．
【思路】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；
第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；
最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，
这样，我们就探求到第一个不等量关系：
最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；
第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.
到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．
【答案】
解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩
（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121；
不等式（2）的解集是：x ＞20，
所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121，
因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）
答：这批树苗共有121棵.
【总结】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
【真题演练】
1.下列结论中，正确的是（ ）
A ．若a ＞b ，则＜
B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
C ．若a ＞b ，则1﹣a ＜1﹣b
D ．若a ＞b ，ac 2＞bc 2
【答案】C ．
【解析】A 、当a ＞0＞b 时，＜，故本选项错误；
B 、当a ＞0，b ＜0，a ＜|b|时，a 2＜b 2，故本选项错误；
C 、∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ，∴1﹣a ＜1﹣b ，故本选项正确；
D 、当c=0时，虽然a ＞b ，但是ac 2=bc 2，故本选项错误．
2.不等式＞﹣1的正整数解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】D ；
【解析】解：去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6，
去括号得：3x+3＞4x+4﹣6，
移项得：3x ﹣4x ＞4﹣6﹣3，
合并同类项得：﹣x ＞﹣5，
系数化为1得：x ＜5，
故不等式的正整数解有1、2、3、4这4个，
故选：D ．
3.不等式组2401
0x x -<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A B C D
【答案】B
4. 如果关于x 的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a 的取值范围是( ) ．
A. a>0
B. a<0
C. a>-1
D. a<-1
【答案】D ；
【解析】不等号的方向改变，说明a+1＜0，即a ＜﹣1．
5.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C ；
【解析】
，解得n=0、1、2，共3组． 二、填空题
6.已知不等式3x ﹣a ≤0的解集为x ≤5，则a 的值为 ．
【答案】15． ° ．° －1 ． ．． ° °
【解析】解不等式3x ﹣a ≤0得，x ≤，∵不等式的解集为x ≤5，∴=5，解得a=15．
7.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____.
【答案】1、2；
【解析】由图可得3x <，所以正整数有1、2．
8．不等式组⎩
⎨⎧<+≥+3201x x 的整数解是_______. 【答案】－1，0；
【解析】不等式组的解集为11x -≤<，整数解为-1，0．
9．已知2(2)230x x y a -+--=，y 是正数，则a 的取值范围 .
【答案】4a <；
【解析】由2230
x x y a =⎧⎨--=⎩，解得2220y x a a =-=⨯->，化简得4a <．
10．关于x 的方程2x +3k =1的解是负数,则k 的取值范围是_______.
【答案】；
【解析】解方程得，则．
11．若不等式（ｍ－２）x ＞2的解集是x ＜
,则ｍ的取值范围是_____.
【答案】ｍ＜２；
【解析】由不等式的基本性质3得，ｍ－２＜0. 12．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x 页,所列不等式为___________.
【答案】
（或：等）；
【解析】答案不唯一.
三、解答题
13．在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学
习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．小明列出了一张对照表：
从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题：
（1）若不等式kx ＞b 的解集是x ＜1，求方程kx=b 的解；
（2）若方程kx=b 的解是x=-1，求不等式kx ＞b 的解集．
【解析】
解：（1）1=x .
（2）当0k >时，1x >-； 当.10-<<x k 时，
14.解不等式组
，并将解集在数轴上表示出来．
【解析】 解：
，
由①得，x ＞﹣3，
由②得，x ≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x ≤2．
在数轴上表示为：
15．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案；
(2)如果甲车的租金为每辆2000元，乙车的租金为每辆1800元，问哪种可行方案使租车费用最省? 【解析】
解：(1)设租用甲车x辆，则租用乙车(10-x)辆．
由题意得
4030(10)340,
1620(10)170.
x x
x x
+-≥
⎧
⎨
+-≥
⎩
解得4≤x≤7.5．
因为x取整数，所以x＝4，5，6，7．则相应地，10-x＝6，5，4，3．
因此，有四种租车方案，分别是：
①租用甲车4辆，乙车6辆；
②租用甲车5辆，乙车5辆；
③租用甲车6辆，乙车4辆；
④租用甲车7辆，乙车3辆．
(2)租车费用分别为：
①4×2000+6×1800＝18800(元)；
②5×2000+5×1800＝19000(元)；
③6×2000+4×1800＝19200(元)；
④7×2000+3×1800＝19400(元)．
因为18800＜19000＜19200＜19400，所以，方案①租甲车4辆，乙车6辆费用最省．
【过关检测】
一、选择题
1．不等式组的所有整数解的和是（）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】D．
【解析】∵解不等式①得；x＞﹣，解不等式②得；x≤3，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤3，∴不等式组的整数解为0，1，2，3，0+1+2+3=6.
2．某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进
价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）．
A ．80元
B ．100元
C ．120元
D ．160元 【答案】C ；
【解析】解：设降价x 元时商店老板才能出售．则可得： 360－x
≥360
1.8×（1+20%）， 解得：x ≤120．
3．若不等式组12x x k <≤⎧⎨>⎩
有解，则k 的取值范围是（ ）． A.2k <
B. 2k ≥
C.1k <
D. 12k ≤< 【答案】A ；
【解析】画数轴进行分析．
4．如果不等式ax+4＜0的解集在数轴上表示如图,那么a 的值是( ) ．
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．a=－2
D ．a=2
【答案】C ；
【解析】由已知a ＜0且x ＞－a 4，则－24＝a
，即2a =-. 5. 中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则与两个球体质量相等的正方体的个数为( ) ．
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】A ；
【解析】设一个球体、圆柱体与正方体的质量分别为x 、y 、z ， 根据已知条件，
有2522x y z y =⎧⎨=⎩
①② ①×2－②×5，得2x ＝5y ，即与2个球体质量相等的正方体的个数为5．
6.已知关于x 的不等式组有且只有1个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＞1
B ．1≤a ＜2
C ．1＜a ≤2
D ．a ≤2
【答案】B ；
【解析】解：解不等式x ﹣a ＞0，得：x ＞a ，
解不等式7﹣2x ＞1，得：x ＜3，
∵不等式组有且只有1个整数解，
∴不等式组的整数解为2，
∴1≤a ＜2，
故选：B ．
二、填空题
7．如果关于x 的不等式（a+1）x ＞a+1的解集为x ＜1，那么a 的取值范围是 ．
【答案】a ＜﹣1
8．已知方程组⎩
⎨⎧=+=-7325ay x y ax 的解满足⎩⎨⎧<>00y x ，则a 的取值范围 ． 【答案】7
10a 157＜－<； 【解析】方程组⎩⎨⎧=+=-7325ay x y ax 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=22
3210732715a a y a a x , 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->++0321070327152
2a a a a ， ∴⎩⎨⎧<->+0
1070715a a 解得：－710157<<a ． 9. 若不等式组⎩⎨⎧->+<1
21m x m x 无解，则m 的取值范围是
. 【答案】2≥m ；
【解析】要使原不等式无解，则需满足211m m -≥+，得m ≥2．
10.已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，求k 的取值范围 .
【答案】 k ≥-3；
【解析】3k-5x=-9，x=935k +，930,5
k +≥ 解得k ≥-3． 11.如果关于x 的不等式组9080x a x b -≥⎧⎨
-<⎩
的整数解仅为1,2,3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 .
【答案】09a <≤，2432b <≤；
12. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 . 【答案】3，1；
【解析】由于本密码的解密钥匙是： 明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．
故当密文是1，7时，
得2127a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得31
a b =⎧⎨=⎩．
也就是说，密文1，7分别对应明文3，1．
13.若不等式组:
114111.5(1)()0.5(21)22
x x a x a x x +⎧+>⎪⎪⎨⎪-+>-+-⎪⎩①②
只有一个整数解，则a 的取值范围 ． 【答案】1＜a ≤2． 【解析】先把a 看成一个固定数，解关于x 的不等式组，再由不等式组的解集研究a 的取值范围．
三、解答题
14.解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
【解析】
解：，
由不等式①移项得：4x+x ＞1﹣6，
整理得：5x ＞﹣5，
解得：x ＞﹣1，…（1分）
由不等式②去括号得：3x ﹣3≤x+5，
移项得：3x ﹣x ≤5+3，
合并得：2x ≤8，
解得：x ≤4，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，
15.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
【解析】
解：解不等式组，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x≤a+4，
∵不等式组有四个整数解，
∴1≤a+4＜2，
解得：﹣3≤a＜﹣2．
16.某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题.已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元.
（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？
（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【解析】
解：（1）设新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
根据题意，得
0.6
32 1.3 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
0.1
0.5 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：新建1个地上停车位需要0.1万元，新建1个地下停车位需0.5万元．（2）设建m个地上停车位，则建（50-m）个地下停车位，根据题意，得 12＜0.1m+0.5（50-m）≤13，
解得：30≤m＜65 2
∵m为整数，
∴m=30，31，32
∴50-m=20,19,18.
答：有三种建造方案：方案一：新建30个地上停车位和20个地下停车位；方案二：新建31个地上停车位和19个地下停车位；方案三：新建32个地上停车位和18个地下停车位.。