2018年高考总复习数学(理科)课时作业第5章第4讲数列的求和Word版含解析

第4讲 数列的求和
1．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1
a n a n ＋1
，
那么数列{b n }的前n 项和S n 为( )
A.n n ＋1
B.4n n ＋1
C.3n n ＋1
D.5n n ＋1
2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15
3．已知等差数列{a n }满足a 1>0，5a 8＝8a 13，则当前n 项和S n 取最大值时，n ＝( ) A ．20 B ．21 C ．22 D ．23
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则数列{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3) D.⎩
⎪⎨⎪⎧
6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n (n ＞3) 5．(2014年湖北武汉模拟)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝________.
6．(2015年江苏)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前10
项和为________．(导学号 58940305)
7．如图X5-4-1，它满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，
则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5
…… 图X5-4-1
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝6，S 2＝4，S n >0，且S 2n ，S 2n －1，S 2n ＋2成等比数列，S 2n －1，S 2n ＋2，S 2n ＋1成等差数列，则a 2016等于__________．
9．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；
(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.
10．(2013年大纲)在等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9.(导学号 58940306) (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
na n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
11．(2015年山东)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ·
a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋1)·，求数列{b n }的前n 项和T n .
第4讲 数列的求和
1．B 解析：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1
＝n
2，
∴b n ＝1a n a n ＋1＝4
n (n ＋1)＝4⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1.
∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－1
3＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝4⎣⎡⎦⎤1－1n ＋1＝4n
n ＋1. 2．A
3．B 解析：由5a 8＝8a 13，得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )．
∴d ＝－361a 1.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－361a 1≥0⇒n ≤643＝2113
. ∴数列{a n }的前21项都是正数，以后各项都是负数． 故S n 取最大值时，n 的值为21.故选B.
4．C 解析：∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2.
∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0.
∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3).
5.1
3
(4n －1) 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －
1， 又∵a 1＝1适合上式．
∴a n ＝2n －1.∴a 2n ＝4
n －1
. ∴数列{a 2n }是以a 2
1＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝1·(1－4n )1－4
＝13(4n －1)．
6.20
11
解析：由题意得，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n ＋n －1＋n －2＋…＋1＝n (n ＋1)
2
.
所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2×⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1，
S 10＝2×⎝⎛⎭⎫1－111＝2011
. 7.n 2－n ＋22
解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3
＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －1
2
×(n
－2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22
.
8．－1009 解析：依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
S 22n －1＝S 2n S 2n ＋2，
2S 2n ＋2＝S 2n －1＋S 2n ＋1，
因为S n >0，
所以2S 2n ＋2＝S 2n S 2n ＋2＋S 2n ＋2S 2n ＋4，
即2 S 2n ＋2＝S 2n ＋S 2n ＋4(n ∈N *)． 故数列{S 2n }是等差数列；
又由S 1＝6，S 2＝4，可得S 3＝12，S 4＝9.
所以数列{S 2n }是首项为2，公差为1的等差数列． 所以S 2n ＝n ＋1，即S 2n ＝(n ＋1)2. 故S 2n －1＝S 2n S 2n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)． 故S 2016＝10092，S 2015＝1009×1010. 故a 2016＝S 2016－S 2015＝－1009. 9．解：(1)由题意，得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.
∴a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.
(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，∵d ＜0，由(1)，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，
则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋21
2
n .
当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－21
2
n ＋110，
综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |
＝⎩
⎨⎧
－12n 2＋21
2n ，n ≤11，12n 2－21
2
n ＋110，n ≥12.
10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2(a 1
＋8d ). 解得a 1＝1，d ＝1
2
.
∴{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1
2.
(2)b n ＝1na n ＝2
n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1，
∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－1
3＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1
. 11．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，
令n ＝1，得1a 1a 2＝1
3.所以a 1a 2＝3.
令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝2
5
.所以a 2a 3＝15.
解得a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.
(2)由(1)知，b n ＝2n ·22n －
1＝n ·4n . 所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n .
所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋
1.
两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋
1 ＝4(1－4n )1－4
－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.
所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)·4n ＋
1
9
.。