人教B版高中数学必修四高一同步训练：2.1.2向量的加法
高中数学人教B版必修4作业：2.1.2 向量的加法 Word版含解析
一、选择题1．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a 、b 是方向相反的向量C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可【解析】 只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．故A 项正确．【答案】 A2．已知菱形的两邻边OA →＝a ，OB →＝b, 其对角线交点为D ，则OD →等于( ) A.12a ＋bB.12b ＋aC.12(a ＋b ) D ．a ＋b【解析】 作出图形，OA →＋OB →＝OC →＝a ＋b ，∴OD →＝12(a ＋b )．【答案】 C3．(2019·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( )A.BC →＋AB →B.PM →＋MN →＋MP →C.BC →＋CA →＋AB →＋CD →D.MP →＋GM →＋PQ →＋QG →【解析】 A 项，BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →；B 项，PM →＋MN →＋MP →＝PM →＋MP →＋MN →＝MN →；C 项，BC →＋CA →＋AB →＋CD →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋CD →＝0＋CD →＝CD →；D 项，MP →＋GM →＋PQ →＋QG →＝(GM →＋MP →)＋(PQ →＋QG →)＝GP →＋PG →＝0.【答案】 D4．(2019·济南高一检测)在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|，|BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，∴|BD →|＝|AC →|，∴▱ABCD 是矩形．【答案】 B5．(2019·嘉兴高一检测)已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC→成立时，点P 位于( )A ．△ABC 的AB 边上B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部【解析】 如图P A →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．【答案】 D二、填空题6．化简(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝__________.【解析】 (AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝AB →＋(BO →＋OM →)＋MB →＋(BC →＋CA →)＝AB →＋BM →＋MB →＋BA →＝AB →＋0＋BA →＝0.【答案】 07．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝__________.【解析】 因为AB →＋BC →＝AC →，又AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13，∴|AB →＋BC →|＝13.【答案】 138．当非零向量a ，b 满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角．【解析】 以a ，b 为邻边构成的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，此时|a |＝|b |.【答案】 |a |＝|b |三、解答题9．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |.【解】 如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形．连OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D .∵∠AOB ＝60°，∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332.∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.10．如图所示，在▱ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E 、F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．图2－1－18【证明】 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →.∴AE →＝FC →.∴AE 綊FC ，∴四边形AECF 是平行四边形．11．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝A i A i ＋1(i ＝1,2，…，7)，b j ＝OA j →(j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.图2－1－19【解】 因为OA 3→＋OA 7→＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝A 2A 3→＋A 5A 6→＋OA 2→＋OA 5→＋OA 7→＝(OA 2→＋A 2A 3→)＋(OA 5→＋A 5A 6→)＋OA 7→＝OA 6→＝b 6.。
人教B版高一数学必修四导学案：2.1.2.向量的加法
2.1.2向量的加法教学目标：1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.教学思路：一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、 情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+（4）船速为，水速为，则两速度和：=+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.A B C A B C A B C２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + →0= →0 + a３．例1、已知向量、，求作向量+练习：已知向量a 、b ，求作向量a +b（1）a（2）（3）abA BC a +b a +baa bb a ｂ ｂａa ab探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么不同？（2）当向量与不共线时，|+|<||+||；什么时候|+|=||+||，什么时候|+|=||－||，当向量a与b不共线时，a，b，a+b的方向不同，且|a+b|<|a|+|b|；当向量与共线时，①当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，②当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|a+b|=|b|-|a|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加４．加法的交换律和平行四边形法则已知向量、，求作向量+，+问题：上题中+的结果与+是否相同？从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：+=+５．你能证明：向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 吗？6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.三、应用举例：例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。
高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：2.1.2向量的加法含解析
向量的加法课时过关 ·能力提高1.如图,等于()A.0B.0C.2D.-2答案 :B2.在四边形ABCD 中 ,若,且 | |=||,则四边形ABCD 为 ()A. 梯形B. 菱形C.矩形D. 正方形分析 :由知四边形ABCD 为平行四边形 ,又对角线AC=BD ,故四边形ABCD 为矩形 .答案 :C3.已知 a,b 为非零向量 ,且 |a+b|=|a|+|b| ,则 ()A. a∥ b,且 a 与 b 方向同样B.a,b 是共线向量C.a=-bD.a,b 不论什么关系均可答案 :A4.设 a,b 为非零向量 ,以下说法不正确的选项是()A. 若 a 与 b 反向 ,且 |a|>|b| ,则向量 a+b 与 a 的方向同样B.若 a 与 b 反向 ,且 |a|<|b| ,则向量 a+b 与 a 的方向同样C.若 a 与 b 同向 ,则向量 a+b 与 a 的方向同样D.若 a 与 b 同向 ,则向量 a+b 与 b 的方向同样答案 :B5.设 ()+ ()= a,而 b 是一个非零向量,则以下结论中 ,正确的有 ()①a∥ b;②a+b=a ; ③a+b=b ;④|a+b|<|a|+|b|.A. ①③B. ②③C.②④D. ①②分析 :由已知得a= 0,因此 a∥ b,a+b=0+b=b .答案 :A6.以下等式错误的选项是()A. a+ 0= 0+a= aB.= 0C.D.()+()+分析:=2,故B错.答案 :B7.如图 ,在正六边形ABCDEF 中 ,= ()A.0B.C.D.分析:.答案 :D8.如图 ,已知梯形ABCD ,AD∥ BC,则=.答案 :9.若 | a|= 4,|b|= 5,则 |a+b|的取值范围是.分析 :因为 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| ,则 1≤|a+b| ≤9.答案 :[1,9]10.已知 | |=| a|= 3,||=| b|= 3,∠ AOB= 60°,求 |a+b |.解 : 如图 ,以为邻边作平行四边形OACB,则=a+b .∵||=||= 3,∴平行四边形OACB 为菱形 .连结 OC,AB,则 OC⊥ AB.∵∠ AOB= 60°,∴AB=||= 3.∴在 Rt△BDC 中 ,CD=.∴|a+b |=||=×2= 3.★11.我们知道在△ABC 中,= 0,反过来 ,三个不共线的非零向量a,b,c 知足什么条件时 ,按序将它们的终点与始点相连可构成一个三角形?解 : 当 a+b+c = 0 时 ,按序将它们的终点与始点相连可构成一个三角形.可作= a,=b,则,于是+ c=0,即 c 与方向相反,大小同样,也即 c= .故 a,b,c 可构成一个三角形.。
高一数学人教B版必修4学案：2.1.2 向量的加法 Word版含解析
2.1.2 向量的加法[学习目标] 1.理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．[知识链接]1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？答 不是．两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向和模．2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和．联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． [预习导引] 1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量OC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a＋b )＋c＝a＋(b＋c ).要点一 向量的加法运算例1 化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →＝________. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝________.(3)▱ABCD 中(如图)，对角线AC 、BD 交于点O . 则①AD →＋AB →＝________； ②CD →＋AC →＋DO →＝________； ③AB →＋AD →＋CD →＝________； ④AC →＋BA →＋DA →＝________.答案 (1)AD → (2)0 (3)①AC → ②AO → ③AD →④0 解析 (1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A → ＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0. (3)①AD →＋AB →＝AC →，②CD →＋AC →＋DO →＝CO →＋AC →＝AO →， ③AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →， ④AC →＋BA →＋DA →＝DC →＋BA →＝0.规律方法 (1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.(2)运用向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．跟踪演练1 如图，E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，化简下列各式： (1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解 (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0. 要点二 利用向量证明几何问题例2 在▱ABCD 的对角线BD 的延长线及反向延长线上，取点F 、E ，使BE ＝DF (如图)．用向量的方法证明：四边形AECF 也是平行四边形． 证明 ∵AE →＝AB →＋BE →， FC →＝FD →＋DC →.又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →，∴AE →＝FC →，即AE 、FC 平行且相等， ∴四边形AECF 是平行四边形．规律方法 用向量证明几何问题的一般步骤： (1)要把几何问题中的边转化成相应的向量； (2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系． 跟踪演练2 下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同； ②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①如果a ，b 的方向相同则a ＋b 的方向必与a ，b 相同．如果a ，b 的方向相反，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，若|a |＝|b |，则a ＋b ＝0，它的方向任意，①错误．②正确．③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 三点可能共线，③错误．④错误．要点三 向量加法的实际应用例3 如图所示，在抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解 设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝ |AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.规律方法 解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题—作出解答． 跟踪演练3 已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10 km/h ，问： (1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？(2)如果小船在河南岸M 处，对岸北偏东30°有一码头N ，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)解 (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20 km /h ；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0 km/h ，此时小船是静止的．(2)如图所示，设MA →表示水流的速度，MN →表示小船实际过河的速度． 设MC ⊥MA ，|MA →|＝|MB →|＝10，∠CMN ＝30°. ∵MA →＋MB →＝MN →， ∴四边形MANB 为菱形． 则∠AMN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．在△MNB 中，|BN →|＝|MN →|＝|MB →|＝10，∴∠BMN ＝60°，而∠CMN ＝30°，∴∠CMB ＝30°， ∴小船要由M 直达码头N ，其航向应为北偏西30°.1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反 答案 A解析 a ∥b 且|a |>|b |>0，∴当a 、b 同向时，a ＋b 的方向与a 相同，当a 、b 反向时，∵|a |>|b |，∴a ＋b 的方向仍与a 相同． 2．下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③ 答案 B解析 ①满足向量加法的交换律与结合律，①正确． AB →＋BA →＝AA →＝0，②不正确．DC →＋AB →＋BD →＝DC →＋(AB →＋BD →)＝DC →＋AD → ＝AD →＋DC →＝AC →，③正确． 3.设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式： (1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 答案 (1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →4．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC . 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 ∵AP →＝AB →＋BP →， AQ →＝AC →＋CQ →，∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →＋BP →＋CQ →. 又∵BP ＝QC 且BP →与CQ →方向相反， ∴BP →＋CQ →＝0， ∴AP →＋AQ →＝AB →＋AC →， 即AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．一、基础达标1．下列三个命题：①若a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，则a ＝c ；②AB →＝CD →的等价条件是点A 与点C 重合，点B 与点D 重合；③若a ＋b ＝0且b ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 B解析 ①中，∵a ＋b ＝0，∴a 、b 的长度相等且方向相反．又b ＋c ＝0，∴b 、c 的长度相等且方向相反，∴a 、c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ，①正确．②中，当AB →＝CD →时，应有|AB →|＝|CD →|及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有点A 与点C 重合，点B 与点D 重合，故②错．③显然正确．2．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → 答案 C3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A 4.如图所示，在▱ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 答案 C解析 BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 答案 D解析 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. 6．已知|OA →|＝|OB →|＝1，且∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝________. 答案3解析 如图所示，OA →＋OB →＝OC →， |OA →＋OB →|＝|OC →|，在△OAC 中，∠AOC ＝30°， |OA →|＝|AC →|＝1，∴|OC →|＝ 3.7．设O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．证明：OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 证明如图所示，因为OA →＝OD →＋DA →，OB →＝OE →＋EB →，OC →＝OF →＋FC →， 所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →＋DA →＋EB →＋FC →. 因为D ，E ，F 分别为各边的中点， 所以DA →＋EB →＋FC →＝12(BA →＋CB →＋AC →)＝0.所以OA →＋OB →＋OC →＝OD →＋OE →＋OF →. 二、能力提升8．已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 答案 C解析 对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.9．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．答案 20,4解析 当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．已知四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，且AO →＝OC →，DO →＝OB →. 求证：四边形ABCD 是平行四边形． 证明 如图所示．高中数学必修四AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →.又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →，∴AB ∥DC ，且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．三、探究与创新13．在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置． 解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝ |AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。
【成才之路】高中数学人教B版必修4同步练习：212向量的加法.docx
第二章 2.1 2.1.2基础巩固一、选择题1. 向量(AB+MB)+(BO+BC) + dM^于( )A. BC C. AC［答案］C［解析 1 原式=AB+BC+MB+Bb+OM=AC+^=AC.2. 若°、〃为非零向量，则下列说法中不正确的是（）A. 若向量“与〃方向相反，且|如方|,则向量a+b 与“的方向相同B. 若向量a 与方方向相反，且|a|<|b|,贝!J 向量a+〃与“的方向相同［答案1 B［解析］T”与b 方向相反，且|“|v|b|时，a+b 与a 的方向相反，a+b 与〃的方向相同, 故B 不正确.3. “、b 、a+b 为非零向量，且a+〃平分"与〃的夹角，贝％ ）A. a=b C. \a\ = \h\D.以上都不对［答案］C［解析1由向量加法的平行四边形法则知，若a+b 平分"与b 的夹角，则四边形是菱 形,因此\a\ = \b\.4. △ABC 屮，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（）C. 若向量。
与方方向相同, 则向量a+h 与a 的方向相同D. 若向量“与〃方向相同,则向量a+h 与〃的方向相同B. albA. AE=AD+FA C. AB+BC+CA^O［答案］DB. DE+AF=0 D. AB+BC+AC^OB. AB［解析］AE=AD+DE,又DE^FA,故排除A；DE=AF9故庞+乔HO,排除B；AB+ BC+CA=O,排除C；故选D.5.已知下列各式：®AM+MB+BA；®AB+CA+BD+DC；③OA + OC+BO+cb.K 中结果为零向量的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］C［解析］AM+MB+BA=O, AB+CA + Bb+DC=AB+BD+DC+CA=O f OA + OC+BO + CO=OA+BO f故选C.6.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形［答案］D［解析］在四边形ABCD中，AC=AB+BC t^AC=AB+AD, ：.BC=AD,・•・四边形ABCD是平行四边形.二、填空题7•如图所示, 已知梯形ABCD,AD//BC,则OA+AB+BC=［答案］0C［解析1 OA+AB+BC=OB+BC=OC.8.根据右图填空：b+c= _________ ；a+〃= ________ ；b+c+d= __________ ；f+e= _________ ;［答案1 a f f b 6［解析］由向量加法的多边形法则可知.三、解答题9.两个力鬥和局同时作用在一个物体上，其中Fi=40N,方向向东，F 2=4（）V3N, 方向向北，求它们的合力.［解析］如图所示，顶表示F ］,丽表示尺，以04、03为邻边作平行 四边形0ACB,则荒表示合力F.易知F=80N,合力F 与F|的夹角为60。
数学人教B版必修4优化训练：2.1.2向量的加法 含解析
2.1.2 向量的加法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列命题中正确命题的个数为( )①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有++=0 ③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等A.0B.1C.2D.3解析：①假命题，当a+b=0时，命题不成立；②真命题；③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有++=0；④假命题，只有当a与b同向时才相等.答案：B2.向量(+)+(+)+化简后等于( )A. B. C. D.解析：原式=(+)+(+)+=++=.答案：C3.如图2-1-7，在平行四边形ABCD中，++等于( )图2-1-7A. B. C. D.解析：BC+DC+BA=BC+(DC+BA)=BC=AD.答案：A4.如图2-1-8，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形.图2-1-8(1)若AE=a，则DB=_______________；(2)若CE=b，则AB=______________；(3)和相等的所有向量为______________；(4)和AB 共线的所有向量为______________.答案：(1)-a (2)b 21 (3)ED 、DC (4) ED 、DC 、EC 、DE 、CD 、CE 、BA 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.如图2-1-9，AB +BC +CD +DE +EF +FA 等于( )图2-1-9A.0B.0C.2ADD.-2解析：利用向量封闭性原理.答案：B2.已知正方形ABCD 的边长为1，=a ，=b ，=c ，则|a +b +c |等于( )A.0B.3C.2D.22解析：如图，a +b +c =2c ，|c |=2，∴|a +b +c |=|2c |=22.答案：D3.设a 、b 为非零向量，下列说法不正确的是( )A.a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a +b 与a 的方向相同B.a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a +b 与a 的方向相同C.a 与b 同向，则a +b 与a 同向D.a 与b 同向，则a +b 与b 同向解析：两个向量反向，则哪个向量的模长两向量之和的方向就与哪个向量方向一致. 答案：B4.在五边形A 1A 2A 3A 4A 5中，31A A +53A A +25A A +42A A =________________.解析：原式=51A A +45A A =41A A . 答案：41A A5.平行四边形ABCD 中，||=3，||=4，则：(1)||_____________7(填“>”“<”或“≥”“≤”)；(2)若|AC |=5，则此四边形为_____________形.解析：（1）由三角形两边之和大于第三边.（2）由|AB|2+|BC|2=|AC|2可知△ABC为直角三角形，所以应填“矩形”.答案：(1)＜(2)矩6.一艘船以垂直河岸方向8 km/h的速度驶向对岸，水流速度为8 km/h，方向向东，问船实际沿什么方向行驶？速度为多少？解：如图，代表水流速度，代表船速度，则为船实际速度.∵||=||=8 km，8.∴∠DAB=45°且||=28km/h.∴船实际沿东偏北45°方向行驶，且速度为230分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列各式中结果为0的个数为( )①AB+BC+CA②AB+MB+BO+OM③OA+OC+BO+CO④AB+CA+BD+DCA.1B.2C.3D.4解析：①是；②原式=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB；③原式=OA+(BO+OC)+ CO=OA+(BC+CO)=OA+BO=BA；④原式=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0. 答案：B2.四边形ABCD中，若AB=DC且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形解析：由=可判断四边形ABCD为平行四边形，由||=||进一步判断该四边形的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形.答案：C3.如图2-1-10,在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )图2-1-10A.AB=DCB.AD+AB=ACC.=+D.+=0解析：因为AD +DB =AB ,所以AB =AD +BD 错误.答案：C4.设向量a ，b 为非零向量，若|a +b |=|a |+|b |，则a 的方向与b 的方向一定为_____________. 解析：由向量加法的定义知，a ，b 方向相同.答案：相同5.如图2-1-11,已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则+++=___________________.图2-1-11解析：原式=(+)+(+)= +=. 答案：6.当非零向量a ,b 满足______________时，能使a +b 平分a 与b 的夹角.解析：平行四边形OBCA 中，只有OA=OB 时，OC 才平分∠AOB.答案：|a |=|b |7.正△ABC 中，边长为a ，则|+|=_______________.解析：作正△ABC 的边AC 、AB 的平行线，得到一个平行四边形ABEC ， 可知+=，易知||=2||=2×323 . 答案：38.平行四边形ABCD 中，O 为对角线AC 、BD 的交点，则a =+与b =+有什么关系？解析：由三角形法则知OA 与OC ，OB 与OD 大小相等方向相反，可得结果.答案：a 与b 模相等，方向相反.9.我们知道△ABC 中，AB +BC +CA =0，反过来，三个不共线的非零向量a 、b 、c 满足什么条件时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形？解：当a +b +c =0时，顺次将它们的终点与起点相连而成一个三角形. 可作=a ，=b ，=c ，则+=， ∴+c =0，即c 与方向相反，大小相同，即c =，∴a 、b 、c 可构成一个三角形.10.已知向量a 、b ，比较|a +b |与|a |+|b |的大小.解：(1)当a 、b 至少有一个为零向量时，有|a +b |=|a |+|b |；(2)当a 、b 为非零向量:①a 、b 不共线时，有|a +b |＜|a |+|b |；②a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；③a、b异向共线时，有|a+b|＜|a|+|b|. 总之，|a+b|≤|a|+|b|.。
人教版高中数学B版必修4练习2.1.2向量的加法
2.1.2 向量的加法一、基础过关1． 已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2． 如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可4． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A.BD →B.DB →C.BC →D.CB →5． 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 36． 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.7． 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形．8． 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 二、能力提升9． 已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．答案1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.07．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .∴四边形ABCD 为平行四边形． 8． 证明 ∵PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.011．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10，∴水流速度大小为5 3 km /h ，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →， 所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形．13．此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 3 km处。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_11
《向量加法运算及其几何意义》教学设计教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．一、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．二、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．三、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，活动设计：学生参与讨论来看一个问题：在两岸通航之前，要从北京到达台湾，我们需要从北京乘飞机抵达香港，然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究 总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案：生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，a b a b a b OA B作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b O A A B O +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生：是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切． 完成了这个探究，接着，我进入第三个环节．三、 类比联想 探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成． )()c a b c +=++至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、 数学运用 深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念： 例1：如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．例2：根据图示填空（1）a b +=； （2）c d += ；（3）a d b ++= ；（4）DE CD AC ++= ；（5）AB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）（2） 求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）五、 回顾反思 拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？ab b a a b新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？。
人教B版高中数学必修四《2.1 向量的线性运算 2.1.2 向量的加法》_2
§2.1.2《向量的加法》【学习目标】1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．能正确表述向量加法的交换律和结合律，并能运用它们进行向量的加法运算． 3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.【学法指导】1.重点是理解向量加法的定义．2.弄清数的加法、减法与向量加法、减法的联系及区别．【预习案】1．向量的加法 (1)向量求和的法则①三角形法则：已知非零向量a 、b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量_____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作______，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a .②平行四边形法则：已知两个不共线向量a ，b .作AB →＝a ，AD →＝b ，则A 、B 、D 三点不共线，以_____，_____为邻边作_________________，则对角线上的向量AC →＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．③多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量__________，以第一个向量的始点为_____，第n 个向量的终点为_____的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． (2)向量加法的运算律 ①交换律：a ＋b ＝_____ ②结合律：a ＋b ＋c ＝_______＋c ＝a ＋_______【课中案】要点一 利用已知向量求作和向量 例1. 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b +c .要点二 利用已知向量表示其他向量 例2.已知从点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量OD →等于__________． 变式2.如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →；(2)用b ，c 表示DB →；(3)用a ，b ，e 表示EC →；(4)用c ，d 表示向量EC →.。
人教版高中必修4(B版)2.1.2向量的加法教学设计
人教版高中必修4(B版)2.1.2向量的加法教学设计一、教学目标1.理解向量的概念和表示方法。
2.掌握向量的加法及其性质。
3.熟练运用向量的加法求解几何问题。
二、教学重难点1.向量的加法概念和表示方法。
2.证明向量的加法满足交换律、结合律和分配律。
3.运用向量的加法解决几何问题。
三、教学过程设计1. 概念理解1.引入向量的概念，引导学生讨论向量的定义和特点。
2.通过多媒体演示向量的表示方法，包括数列表示法、有向线段表示法和坐标表示法。
3.通过例题引导学生了解向量的模长和方向。
2. 向量的加法1.引入向量的加法概念，讲解向量和向量相加的方法，及其性质。
2.通过多媒体演示向量的加法计算方法和几何意义。
3.引导学生进行加法计算，检查答案。
4.证明向量的加法满足交换律、结合律和分配律。
3. 运用向量的加法解决几何问题1.引例说明如何利用向量的加法解决几何问题，如求线段的中点、判断三角形的中线和角平分线。
2.给学生几道练习题，让他们运用向量的加法解决几何问题，加深对向量的认识和理解。
4. 拓展应用1.引导学生思考向量在实际生活和工作中的应用，如向量的力学应用、向量的图形变换应用等。
2.给学生提供相关阅读资料，深入理解向量的应用。
四、教学方法1.讲授法：通过多媒体和示范讲解，帮助学生理解向量和向量的加法及其应用。
2.引导探究法：通过提问和讨论，引导学生主动参与探究和学习，提高学生的思维能力和创新能力。
3.实践演练法：通过大量的练习，巩固学生的学习成果，提高学生的解决问题的能力。
五、教学评估1.开展小组活动和竞赛，激发学生的学习积极性和合作精神。
2.定期进行课堂小测和作业评估，及时发现学生的学习问题，调整教学内容和方法。
3.鼓励学生自主学习，提高他们的学习兴趣和自我评估能力。
六、教学反思向量是高中数学中比较抽象的概念之一，学生在学习过程中往往难以理解和掌握。
本次教学我采取了多媒体与示范讲解、引导探究和实践演练等多种教学方法，充分调动学生的积极性和主动性，培养了他们的思维能力和创新能力，教学效果较好。
2015年秋高一数学人教B版必修4 同步课件：2.1.2 向量的加法
2.1.2
3．向量求和的平行四边形法则 → 已知两个不共线向量 a、 b， 作AB＝a， → → AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB、 → AD为邻边作平行四边形 ABCD，则对角 → a＋b 线上的向量AC＝_______. 这个法则叫做两个向量求和的平行四 边形法则． 要注意两个向量是从同一个起点出发的不共线向量． 4．向量加法的运算律 a＋b＝b＋a (1)交换律：____________________ ；
[答案] D
[解析] 根据向量加法的运算律．
第二章
2.1
2.1.2
→ → → 2．如图所示，在▱ABCD 中，BC＋DC＋BA等于(
)
→ A．BC → C．AB
→ B．DA → D．AC
[答案] A
→ → → → [解析] ∵DC＝AB，∴DC＋BA＝0，故选 A．
第二章 2.1 2.1.2
3 ． 向 量 a 、 b 满 足 |a| ＝ 8 ， |b| ＝ 2 ， 则 |a ＋ b| 的 最 大值 为
第二章
2.1
2.1.2
[解析] → ＝AE.
→ → → → → → → → → (1)AB＋BC＋CD＋DE＝AC＋CD＋DE＝AD＋DE
→ → → → → → → → (2)DB＋CD＋BC＝DB＋BC＋CD＝DC＋CD＝0.
[点评] 成0.
求和的关键是利用三角形法则，将“首尾连接”
的两个向量分在一组．向量加法运算出现零向量时不要将其写
第二章 平面向量
第二章
2.1
2.1.2
第二章
2.1 向量的线性运算 向量的加法
2.1.2
第二章
2.1
2.1.2
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2019-2020学年高一数学人教B版必修4课时作业：2.1.2 向量的加法 Word版含解析
60°，|AB |＝1，则|BC ＋，在Rt △AOB 中，AB为重心，化简下列三式： EA ＝BA →.＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝＝OE →＋EB →＝OB →. AD →＋DC →＝AC →.(限时：30分钟)1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c . 答案：A2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(P A →＋BQ →)B ．(AB →＋PC →)＋(BA →＋CQ →) C.PC →＋CD →＋DQ → D.P A →＋AB →＋QB →解析：根据向量加法的运算律与向量加法法则知A ，B ，C 可化简为PQ →，D 中P A →＋AB →＋QB →＝PB →＋QB →≠PQ →.答案：D3．下列说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a ，b 之一的方向相同；②△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确说法的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错，若a ＋b ＝0时，方向是任意的；②正确；③错，A ，B ，C 三点共线时也满足；④错，|a ＋b |≤|a |＋|b |.答案：B4．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 的方向相同 B ．与向量a 的方向相反 C ．与向量b 的方向相同 D ．与向量b 的方向相反解析：根据向量加法的几何意义，a ＋b 的方向应与a 的方向一致． 答案：A5．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定解析：由图知|BC →＋BA →|＝|BD →|.＋PB＝PC，则∠ACB＝，则四边形APBC是平行四边形．120°.．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、HABC中，由三角形中位线定理知，同向，的河中，如果要使船以10 3OB →表示垂直于对岸横渡的方向，CB 且∠OBC ＝90°，知|，方向与水流方向成120°角．．如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平柱处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计B 处所受的力，10 N 的重力用＝53(N)，．B 处所受力的大小为。
高中数学人教B版必修四第二单元：2.1.2 向量的加法
答案
梳理
(1)向量加法的定义
求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法.
(2)三角形法则
如图所示，已知向量 a，b，在平面上任取一点 A，
→ → → → 作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，则向量 AC 叫做
→ → → a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b ，即 a＋b＝AB＋BC＝ AC .上述求两个 向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.
例3
在静水中船的速度为 20 m/min，水流的速度为10 m/min，如
果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
答案
思考3
根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.
→ → → (注：AB＝a，BC＝b，CD＝c)
答案
→ → → → → → ∵AD＝AC＋CD＝(AB＋BC)＋CD，
→ ∴AD＝(a＋b)＋c. → → → → → → 又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)，
→ ∴AD＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
跟踪训练 2
→ → → → 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则|AB＋AD＋BC＋DC|
2 2 ＝________.
解析 → → → → |AB＋AD＋BC＋DC|
→ → → → ＝|AB＋BC＋AD＋DC| → → → ＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.
解析
答案
类型三 向量加法的实际应用
第二章 §2.1
向量的线性运算
2.1.2 向量的加法
学习目标
1. 理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其 几何意义. 2. 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地 运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3. 了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解 释向量加法运算律的合理性.
人教B版高中数学必修四高一作业设计：2.1.2向量的加法.docx
2．1．2 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义．2．能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量______叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝______＋______＝______． (2)平行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的______为始点，第n 个向量的______为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n A →n ＋1＝________．这个法则叫做向量求和的多边形法则．3．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝__________．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝________．一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( )A ．向东南航行 2 kmB ．向东南航行2 kmC ．向东北航行 2 kmD ．向东北航行2 km2．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA →C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3二、填空题7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →等于________．8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________．三、解答题11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →等于______．14．在水流速度为4 3 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2．1．2 向量的加法 答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC → (3)始点 终点 A 1A n ＋1 3．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2．C 3．D 4．A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →) ＝BC →＋0＝BC →．]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AD →|＝2．] 7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0． 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213． 9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8． ∴|a ＋b |的最大值为8．10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)．∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝5 3 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h ．12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0．14．解 如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊BC ，则AD→即表示船航行的速度．因为|AB →|＝4 3，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°．所以|AD →|＝8 3，∠BAD ＝120°．即船航行的速度大小为8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°．。
高一数学人教B版必修4精练：2.1.2 向量的加法 Word版含解析(数理化网)
第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB →C ．AC →D ．AM →[答案] C[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →. 2．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B[解析] ∵a 与b 方向相反，且|a |<|b |时，a ＋b 与a 的方向相反，a ＋b 与b 的方向相同，故B 不正确．3．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对 [答案] C[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a ＋b 平分a 与b 的夹角，则四边形是菱形，因此|a |＝|b |.4．(2015·四川德阳市第五中学高一月考)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A ．AD →＋BE →＋CF →＝0 B ．BD →＋CF →＋DF →＝0 C ．AD →＋CE →＋CF →＝0 D ．BD →＋BE →＋FC →＝0[答案] A[解析] ∵D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，∴DE ∥AC ，DF ∥BC ． ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴ED →＝CF →.又AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0，故选A ．5．已知下列各式：①AM →＋M B →＋B A →；②A B →＋C A →＋B D →＋D C →；③O A →＋O C →＋BO →＋C O →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] AM →＋M B →＋B A →＝0，A B →＋C A →＋B D →＋D C →＝A B →＋B D →＋D C →＋C A →＝0，O A →＋O C →＋B O →＋C O →＝O A →＋B O →，故选C ．6．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 [答案] D[解析] 在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →， 又AC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 二、填空题7．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.[答案] OC →[解析] OA →＋AB →＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →. 8．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________. [答案] a f f b δ[解析] 由向量加法的多边形法则可知． 三、解答题9.已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12 N ．求F 1和F 2的合力．[解析] 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°.∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力为12 3 N ，与F 2成 90°角竖直向上．10．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．[解析]如图所示，OA→表示F1，OB→表示F2，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则OC→表示合力F.易知F＝80N，合力F与F1的夹角为60°.一、选择题1．已知向量a表示“向东航行1 km”向量b表示“向南航行1 km”则a＋b表示() A．向东南航行 2 km B．向东南航行2 kmC．向东北航行 2 km D．向东北航行2 km[答案] A[解析]如图所示，故选A．2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |[答案] C [解析] 如图，a ＋b ＝c ，|a ＋b |＝|c |，a ＋d ＝b ，b ＋d ≠a ，故选C ．3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ． 2D ．2 2[答案] D[解析] ∵AB →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D ．4.如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →等于( )A ．DO →B ．OD →C ．BD → D ．DB →[答案] B[解析] OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝OA →＋AB →＋BC →＋CD →＝OB →＋BC →＋CD →＝OC →＋CD →＝OD →. 二、填空题5．在静水中划船的速度是20 m/min ，水流速度是10 m/min ，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为________．[答案]3[解析] 如图，设AB →为水流的速度，AD →为划船的速度，则AC →＝AB →＋AD →，其中AC →为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt △ABC 中，|AB →|＝10，|BC →|＝20，∴tan ∠ABC ＝|AC →||AB →|＝|BC →|2－|AB →|2|AB →|＝202－10210＝3， ∴tan ∠ADC ＝tan ∠ABC ＝ 3.6.如图所示，△ABC 中，AD DB ＝AE EC ＝12，且BC ＝3，则|BC →＋ED →|＝________.[答案] 2[解析] ∵AD DB ＝AE EC ＝12，∴DE ∥BC ，且DE ＝13BC ＝1，如图所示，作CF →＝ED →，连DF ， 则BC →＋ED →＝BC →＋CF →＝BF →， ∴|BC →＋ED →|＝|BF →|＝|BC →|－|CF →|＝2. 三、解答题7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.[解析] 解法一：AP →＝AB →＋BP →，BQ →＝BC →＋CQ →，CR →＝CA →＋AR →.又∵P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 的中点，∴BP →＝12BC →，CQ →＝12CA →，AR →＝12AB →，∴AP →＋BQ →＋CR →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋12BC →＋12CA →＋12AB →＝32(AB →＋BC →＋CA →)＝0.解法二：AP →＝12(AB →＋AC →)，BQ →＝12(BA →＋BC →)，CR →＝12(CA →＋CB →)， ∴AP →＋BQ →＋CR →＝12(AB →＋AC →＋BA →＋BC →＋C A →＋CB →)＝0.8. 轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40 n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40 n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．→、BC→分别表示轮船的两次位移，则AC→表示轮船的和位移，AC→＝AB→[解析]如下图，AB＋BC→.在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，|AB→|＝40，所以|DB→|＝20，|AD→|＝20 3.在△ADC中，∠ADC＝90°，|DC→|＝60，所以|AC→|＝|AD―→|2＋|DC―→|2＝(203)2＋602＝403(n mile)．因为|AC→|＝2|AD→|，所以∠CAD＝60°.答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港403n mile的C处．。
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2.1.2 向量的加法
一、基础过关
1． 已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示
( )
A ．向东南航行 2 km
B ．向东南航行2 km
C ．向东北航行 2 km
D ．向东北航行2 km
2． 如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是
( )
A.AB →＝CD →，BC →＝AD →
B.AD →＋OD →＝DA →
C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →
D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →
3． a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则
( )
A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同
B ．a ，b 是共线向量且方向相反
C ．a ＝b
D ．a ，b 无论什么关系均可
4． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →
等于
( )
A.BD →
B.DB →
C.BC →
D.CB →
5． 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →
|等
于
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 3
6． 在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →
＝________.
7． 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →
.
求证：四边形ABCD 是平行四边形．
8． 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平
面内任意一点．
求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →
. 二、能力提升
9． 已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________． 10．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →
＝________.
11．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°
角，求水流速度和船实际速度．
12．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线
上取点F ，E ，使BE ＝DF .
求证：四边形AECF 是平行四边形．
三、探究与拓展
13．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B
地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．
答案
1．A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.0
7．证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →
，
又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →. ∴AB ＝CD 且AB ∥DC .
∴四边形ABCD 为平行四边形． 8． 证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →
＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD → ＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →) ＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →) ＝4PO →＋0＋0＝4PO →. ∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →. 9． 8 10.0
11．解 如图所示，OA →表示水流速度，OB →
表示船垂直于对岸的方向行驶
的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →
|＝5. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA →
|＝|AC →
|tan 30°＝53，
|OC →
|＝|OB →|sin 30°
＝10，
∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.
12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →
，
因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →
， 所以AE →＝FC →
，即AE 与FC 平行且相等， 所以四边形AECF 是平行四边形．
13．此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处。