三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题28离散性随机变量与期望理含解析95

专题28 离散性随机变量与期望
考纲解读明方向
掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式
立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率及正态分布均为近几年高考的热点.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度为易或中等,分值约为5分或12分.
2018年高考全景展示
1.【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是
则当p在（0，1）内增大时，
A. D（ξ）减小
B. D（ξ）增大
C. D（ξ）先减小后增大
D. D（ξ）先增大后减小
【答案】D
【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
详解：，
，，∴先增后减,因此选D.
点睛：
2．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则
A. 0.7
B. 0.6
C. 0.4
D. 0.3
【答案】B
点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。

3．【2018年理数天津卷】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A发生的概率为．
点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)
；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．4．【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
部数
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，
，，的大小关系．
【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) >>=>>
【解析】分析：(1)先根据频数计算是第四类电影的频率，再乘以第四类电影好评率得所求概率，(2) 恰有1部获得好评为第四类电影获得好评第五类电影没获得好评和第四类电影没获得好评第五类电影获得好评
这两个互斥事件，先利用独立事件概率乘法公式分别求两个互斥事件的概率，再相加得结果，(3) 服从
0-1分布，因此，即得>>=>>．
详解：解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为．
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).
5．【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求
;
（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】(1)
.(2) （i ）490.（ii ）应该对余下的产品作检验.
详解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为
.因此
.
令，得
.当
时，
；当
时，
.
所以
的最大值点为
. （2）由（1）知，
.
（i ）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知
，，即
.所以
.
（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于
，故应该对余下的产品作检验.
点睛：该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.
2017年高考全景展示
1.【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<
1
2
，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ
B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ
C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ
D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ
【答案】A 【解析】 试题分析：
112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<
111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A ．
【考点】 两点分布
【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A 正确．
2.【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。

【答案】1.96 【解析】
试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,002X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=。

【考点】 二项分布的期望与方差
【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
一是是否为n 次独立重复试验。

在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p 。

二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数。

且()()
1n k
k k
n p X k C p p -==-表示在独
立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率。

3.【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者
A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者
B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受
乙种心理暗示.
（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的频率。

（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 【答案】（I ）5
.
(II)X 的分布列为
X 的数学期望是2EX =.
【解析】试题分析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，计算即得 (II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布概率计算公式
得X 的分布列为
进一步计算X 的数学期望.
试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则485105
().18
C P M C ==
(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则
565101
(0),
42
C P X C ===
41645105
(1),
21
C C P X C ===
326451010
(2),
21C C P X C ===
23645105
(3),
21C C P X C ===
14645101
(4),
42
C C P X C ===
因此X 的分布列为
X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= =151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 4.【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的
分布列和数学期望E （ξ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【解析】
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
211
22222
222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6
P P P ξξξ=========.
所以ξ的分布列为
故ξ的期望()0121636
E ξ=⨯+⨯+⨯=.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.
【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义. 【名师点睛】求分布列的三种方法
1．由统计数据得到离散型随机变量的分布列； 2．由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
3．由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
5.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为
111,,234
. （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 (1)
1312 (2) 1148
【解析】试题分析：X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,X的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量X的分布列并计算数学期望，Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.
试题解析：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
1111
(0)(1)(1)(1)
2344
P X==-⨯-⨯-=，
11111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)
23423423424
P X==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，
1111111111
(2)(1)(1)(1)
2342342344
P X==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，
1111
(3)
23424
P X==⨯⨯=.
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望()0123
42442412
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.
（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)
P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z
+====+=====+==
11111111
42424448
=⨯+⨯=.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48
.
【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望
【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
6.【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】(1)分布列略；
(2) n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【解析】
试题分析：(1)X 所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列； (2)由题中所给条件分类讨论可得n =300时，Y 的数学期望达到最大值520元. 试题解析：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +==
=，()363000.490P X ===，()2574
5000.490
P X ++===. 因此X 的分布列为
4
⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，
若最高气温不低于25，则642Y n n n =-= ，
若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-; 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=- ; 因此()()20.4120020.48002 0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=- . 当200300n <≤时，
若最高气温不低于20，则642Y n n n =-= ;
若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=- ; 因此()()20.40.480020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+ .
所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【考点】 离散型随机变量的分布列；数学期望；
【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是p i ≥0(i ＝1,2，…)；二是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验分布列的正误.
7.【2017江苏，23】 已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现
将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的
球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,
,)k m n =+.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;
（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证
明:()()(1)
n
E X m n n <
+-
【答案】（1）
n
m n
+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11
C C n m n n m n n p m n
-+-+==
+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:
随机变量 X 的期望为：
1
1
C 111(1)!
()C C (1)!()!n m n
m n
k n n
k n k n
m n
m n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1
(2)!
()C (1)!()!(1)C (2)!()!
m n
m n
n n k n k n m n
m n
k k E X n k n n n k n ++==++--<
=-----∑∑ 22
2
121(1C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ----+-+=
++++-
122
2
1121(C C C C )(1)C n n n n n n n
m n n m n
n ------+-+=
++++-
12
2
21(C C C )(1)C n n n n n m n n
m n
n ---+-+=
+++-
12
221(C C )(1)C n n m n m n n
m n
n --+-+-+=
=
+- 11
C (1)C ()(1)
n m n n
m n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)
n
E X m n n <
+-.
【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X
B n p )，则此随机变量的期望可直接
利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；
（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；
（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析（II ）19（III ）19n = 【解析】
试题分析：（I ）先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II ）通过频率大小进行比较；（III ）分别求出n =9,n =20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n .
试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；
24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ； 24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ； 04.02.02.0)22(=⨯==X P .
所以X 的分布列为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19. （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY
404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+.
当20=n 时,
04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=.
可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n . 考点：概率与统计、随机变量的分布列
【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
2.【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解.
（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为
0.850.301.23EX a a a
=⨯+⨯=
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【名师点睛】条件概率的求法：
(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝
P AB
P A
，求P (B |A )；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝
n AB
n A
.
求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；(2)求X 的每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)由均值定义求出E (X )． 3.【2016年高考北京理数】（本小题13分）
A 、
B 、
C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
（1）试估计C 班的学生人数；
（2）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ ，表格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）
【答案】（1）40；（2）3
8
；（3）10μμ<. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据图表判断C 班人数，由分层抽样的抽样比计算C 班的学生人数；
（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率. （Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.
设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，
3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A
因此
)
()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8
3
40115)()()()()()()(45352515342414=⨯
=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （3）根据平均数计算公式即可知，01μμ<. 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数
【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式
)(1)(A P A P -=，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到
底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.
4.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是
34，乙每轮猜对的概率是2
3
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： （I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，23
6
=EX 【解析】
试题分析：（Ⅰ）找出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到
X 的分布列，根据期望公式求解.
试题解析：
(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，.E ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD =++++ 由事件的独立性与互斥性，
()()()()()()
P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++ ()()()()()()()()()()
()()()()()
()()()()()
P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P P A P B P C P D C P D =++++
323212323132=24343434343432.3
⎛⎫
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭= ,
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为
23
. (Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
()11111
04343144
P X ==⨯⨯⨯=
, ()3111121110
5124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭
,
()313131121231121225
24343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
, ()321111321
34343434312
P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,
()32313212605
42=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
,
()32321
643434
P X ==⨯⨯⨯=.
可得随机变量X 的分布列为
所以数学期望01234614472144121246
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等. 5. 【2016高考天津理数】（本小题满分13分）
某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）1
3
（Ⅱ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：2
10C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：1
1
2
344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为
0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望
试题解析：解：()I 由已知，有
()112
3442
101
,3
C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为1
3
.
()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.
()222
334
2
100C C C P X C ++==415
=
， ()11113334
2
107115
C C C C P X C +===
， ()1134
2
10
4215
C C P X C ===
. 所以，随机变量X 分布列为
随机变量X 的数学期望()474
0121151515
E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法
1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝a ξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．。