等腰三角形的判定课后作业

等腰三角形的相关证明
考点突破
考点一:利用等腰三角形的性质进行证明
例1 已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF.求证:DB=CF.
分析通过构造全等将BD、CF转移到一个三角形中,然后再证明该三角形是等腰三角形.
证明过D作DG∥AF交BC于G,
∴∠DGB=∠ACB,∠DGE=∠FCE
∴在△DGE和△FCE中:
错误！未找到引用源。

,
∴△DGE≌△FCE, ∴DG=CF.
又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,
∴∠ABC=∠DGB,∴DB=DG,∴DB=CF.
跟踪训练一:
1.如图,已知∠ACB=90°,点D是AB上一点,若DB=DC.求证:点D是AB的中点.
证明∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=∠A+∠B=90°,
∵DB=DC,∴∠DCB=∠B,
∴∠ACD+∠B=∠A+∠B=90°
∴∠A=∠ACD
∴AD=DC,∴AD=DB
∴点D是AB的中点.
2.如图,已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试证明△ADF是等腰三角
形的理由.
证明∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).
∵DE⊥BC于E,
∴∠FEB=∠FEC=90°.
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等).
∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),
∴∠EFC=∠ADF.
∴△ADF是等腰三角形.
考点二:综合运用等腰三角形的性质和判定
例2 如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AD⊥CF;(2)连接AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
分析(1)欲求证AD⊥CF,需证明∠CAG+∠ACG=90°,先证明∠CAG=∠BCF,利用三角形全等,易证.
(2)要判断△ACF的形状,看其边有无关系.根据(1)的推导,易证CF=AF,从而判断其形状.
(1)证明在等腰直角三角形ABC中,
∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=∠CAB=45°.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=45°.
又∵BF∥AC,∴∠CBF=90°.
∴∠BFD=45°=∠BDE.
∴BF=DB.
又∵D为BC的中点,∴CD=DB.
即BF=CD.
在△CBF和△ACD中,
∴△CBF≌△ACD(SAS).
∴∠BCF=∠CAD.
又∵∠BCF+∠GCA=90°,
∴∠CAD+∠GCA=90°.
即AD⊥CF.
(2)解△ACF是等腰三角形,理由为:
连接AF,如图所示,
由(1)知:CF=AD,△DBF是等腰直角三角形,且BE是∠DBF的平分线,
∴BE垂直平分DF,
∴AF=AD,
∵CF=AD,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
点评此题难度中等,考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定.
跟踪训练二:
如图,△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D,过点D作BC的平行线交AB于E,交AC 于F.试判断EF与BE,CF之间的关系,并说明理由.
解EF=BE-CF.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
又∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC;
∴∠ABD=∠EDB,∴BE=ED;
同理可证:CF=FD;
∵EF=ED-FD,
∴EF=BE-CF.
1.若等腰三角形底角为72°,则顶角为( D )
(A)108°(B)72°
(C)54°(D)36°
2.下列长度的三条线段,能组成等腰三角形的是( C )
(A)1,1,2 (B)3,3,7
(C)4,4,5 (D)3,4,5
3.(2011沈阳)如图,矩形ABCD中,AB<BC,对角线AC、BD相交于点O,则图中的等腰三角形有(B)
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
4.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(D)
A.(1)(2)(3)
B.(1)(2)(4)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(3)(4)
5.如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,∠ACB的平分线交AD于点E,交AB于点F,则△AEF是(B)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.无法确定
6.如图,BD是△ABC的角平分线,∠ABD=36°,∠C=72°,则图中的等腰三角形有 3 个.
第5题第6题
7.(2012海南)如图,在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长是9 .
8.如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是
5 cm.
第7题第8题
9.如图,过△ABC底边BC上一点D作BC的垂线,交AC和BA的延长线于点E、F,若AE=AF,试说明AB=AC.
解∵AE=AF,
∴∠F=∠AEF(等边对等角).
又∵∠AEF=∠CED(对顶角相等),FD⊥BC,
∴∠F+∠B=90°,∠C+∠CED=∠C+∠F=90°,
∴∠B=∠C(等量代换),
∴AB=AC(等角对等边).
10.如图,已知:在直角△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于D.
(1)若∠BAC=30°,求证:AD=BD;
(2)若AP平分∠BAC且交BD于P,求∠BPA的度数.
(1)证明∵∠BAC=30°,∠C=90°,
∴∠ABC=60°.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=30°,
∴∠BAC=∠ABD,
∴BD=AD.
(2)解∵∠C=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,
∵AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,
∴∠BAP=错误！未找到引用源。

∠BAC,∠ABP=错误！未找到引用源。

∠ABC,
∴∠BAP+∠ABP=错误！未找到引用源。

(∠BAC+∠ABC)
=错误！未找到引用源。

×90°=45°.
∴∠BPA=180°-(∠BAP+∠ABP)=180°-45°=135°.
11.如图,CD、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,DF∥BC交AC于点E,那么DE=EF吗?说出你的理由.
解DE=EF,理由:
∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线,
∴∠DCE=错误！未找到引用源。

∠ACB,∠ECF=错误！未找到引用源。

∠ACG,
∵∠ACB+∠ACG=180°,
∴∠DCE+∠ECF=90°,
∴△DCF为直角三角形,
∵DF∥BC,
∴∠EDC=∠BCD,
∵∠ECD=∠BCD,
∴∠EDC=∠ECD,
∴ED=EC,
同理EF=EC,
∴DE=EF.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE.
证明∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC,
又∵BE=BE
∴△BFE≌△BCE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°,
又AB=AC,
∴△ABD≌△ACF(AAS),
∴BD=CF,
∴BD=2CE.
13.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的长.
解(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC.
(2)AD与BE垂直.
证明:由BE为∠ABC的平分线,
知∠ABE=∠DBE,∠BAE=∠BDE=90°,BE=BE,
∴△ABE沿BE折叠,一定与△DBE重合.
∴A、D是对称点,
∴AD⊥BE.
(3)∵BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,EA⊥AB,
∴AE=DE,
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),
∴AB=BD,
又△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴∠C=45°,
又ED⊥BC,
∴△DCE为等腰直角三角形,
∴DE=DC,
即AB+AE=BD+DC=BC=10.
14.阅读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明.
已知:如图,E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD
分析证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此,要证AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形.
现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中一种,对原题进行证明.
解选择第(1)种助线证明为:过B作BF∥DC交DE的延长线于F,∴∠F=∠CDE,
∵∠BAE=∠CDE,
∴∠F=∠BAE,∴AB=FB,
∵E是BC中点,
∴BE=CE,∵∠BEF=∠CED,
∴△BFE≌△CDE,
∴BF=CD,∴AB=CD.。