求最值的十种方法

求最值的十种方法

求最值的十种方法

探求最值是初中数学中的一个热点内容，也是初、高中知识衔接的重要内容。这种题型涉及变量多，条件多，技巧性强，要同学们有较强的数学转化和创新意识。同学们对这类问题感到无从下手，本文结合实例介绍求解这类问题的十种方法，供参考。一. 配方法

例1. 设a 、b 为实数，求解：配方得：

的最小值。

当

二. 参数法

，即时，上式中不等式的等号成立，故所求最小值是。

例2. 已知解：设

，则的最小值为___________。

，这里k 为辅助参元，则

，

所以

所以，当三. 消元法例3. 设

时，取最小值。

，则的最大值是（）

A. B. 20 C. 18 D. 不存在

。

。

，代入u 得：

解：由y=又把

，故

。

故当四. 夹逼法

例4. 已知a 、b 、c 是三个非负数，且满足

的最大值与最小值的和是多少？解：因为所以而则

，

，。

，

，若

，则s

时，u 有最大值18，选C 。

所以因为

。

所以故所以

故s 的最大值为五. 构造法

例5. 已知a 、b 、c 、d 、e 满足解：构造二次函数：因为开口向上，且

，

所以即

，

，

，求e 的最大值。

，

，最小值为

，其和为

。

所以，故e 的最大值为。

六. 递推法例6. 设

为正整数，且

的最大值为_______。

解：因为所以故从而

为正整数，且

，

，

，

又

，则

所以当

，故的最大值为19。

，

所以当

，故时，

的最大值为20。

，

所以故

，

的最大值为22。

。

故所求的最大值为七. 三角函数法例7. 已知实数解：由、b 满足

配方得：

的最大值与最小值。

设则

，

由

故t 的最大值为八. 枚举法

例8. 设整数a 、b 、c 满足

为最小时，求乘积abc 的最大值。解：因为所以

有10种可能：

，

，

，

的个位数依次为x 、y 、z ，当

，最小值为

，。

（1、8、7）、（1、8、4）、（1、8、5）、（1、7、4）、（1、7、5）、（1、4、5）、（8、7、4）、（8、7、5）、（8、4、5）、（7、5、4）所以所以

的值依次为：的最小值是

，此时，

故

的最大值是10。

、

，求abc 的最大值。

，

为（1、8、4）或（1、8、5

）相应的

九. 分析判断法

例9. 已知a 、b 、c 都是正整数，且满足解：由已知因为a 、b 、c 都是正整数，所以所以所以所以故

、

。

，又1993是质数，

，

，、

。。

因此，abc 的最大值为3982。十. 判别式法

例10. 求的最大值。

解：设=y

则

因为

又x 为任意实数，所以即所以

，

，

，

，

所以，故y 的最大值是。