十复变函数专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件

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解：z 1 2i 2 i (1 2i)(3 4i) 2 i 3 4i 5i (3 4i)(3 4i) 5i
11 2i (2 i)(5i) 11 2i 5 10i 16 8 i
25 5i(5i)
25
25 25 25
所以Re z 16 , Im z 8 ，
25
导, 并且在点z0 某邻域内每一点都可导, 则 称 f(z) 在点z0 处解析, 并称点z0 是函数解 析点；假如函数 f(z) 在区域D内每一点都 解析, 则称 f(z) 在区域 D内解析或称 为区 域D 内解析函数, 区域 D 称为 解析区域. • 假如 f(z) 在点z0 处不解析, 但在z0 任一邻 域内总有 z0 解析点,则称 z0 为f(z) 奇点.
显然，在复平面内u(x, y)和v(x, y)的偏导数处处连续，
且 u v 2x, u v 2 y
x y
y x
即u(x, y)和v(x, y)处处满足C R条件且处处可微，
所以,f（z)=z2在复平面内处处可导且f(z)=2z
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第四节、初等解析函数 • 一、指数函数 • 二、对数函数 • 三、幂函数 • 四、三角函数
x y x y
• （2） 在 D 内满足C—R条件 ,
• u v , u v x y y x
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例6讨论函数f (z) z2的可导性，并求其导数
解：由f (z) z2 (x iy)2 x2 y2 i2xy
得u(x, y) x2 y2, v(x, y) 2xy则
u(x, y) x2 y2, v(x, y) 2xy
（5）
f g
(z) (z)
f (z)g(z) f (z)g(z) [g (z)]2
(g(z) 0)
（6）{ f [ (z)]} f (w) (z), 其中w (z)
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例3求下列函数的导数
（1）f
(z)
(2z2
i)5，（2）f
(z)
(1 z2 z2
)4
(z 0)
解：（1）f (z) 5(2z2 i)4 4z 20z(2z2 i)4
(z
Δz)3 Δz
z3
lim Δx0
3z2
3zΔz
Δz2
3z2
所以 f (z) 3z2
2.导数运算法则
复变函数的求导法则(以下出现的函数均假设可导):
(1)(C) 0, 其中C为复常数；
（2）（zn） nzn1, 其中n为正整数；
（3） f (z) g(z) f (z) g(z)
（4） f (z) g(z) f (z)g(z) f (z)g(z)
在区域 D 内有定
义, 则 在 D内解析充足必要条件为 在 D内任一点 处
• （1）可微； • （2）满足 •
u v , u v x y y x
• 上式称为柯西—黎曼条件（或方程）, 简称C—R条件（或方程）.
• 定理２ 函数 f (z) u(x, y) iv(x, y)
在区域
• D 内解析充要条件为 • （1） u , u , v , v 在D内连续；
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
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二、复数各种表示、模与辐角
• 1.复数几何表示 • 由复数z=x+iy 定义可知,
复数是由一对有序实数 (x,y) 惟一拟定, 于是可建 立全体复数和 平面上所有 点之间一一相应关系, 即 能够用横坐标为x , 纵坐标 为y点 表示复数 （如图）, 这是一个几何表示法, 通 常称为点表示, 并将点 P 与数 看作同义词.
一、复变函数导数
1.导数定义
定义1 设函数f(z) 在包括 z0 某区域 D内有定义, 当 变量z 在点z0 处取得增量 时, 相应地, 函数 ω取 得增量
若极限（ lim f (z) f (）z0) 存在, 则称f(zz) 在点 z处可导,
此极限值称z为z0 f(z)z 在z0 点 z处导数, 记
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例5 讨论函数 f(z)=z2解析性.
• 解 由例2知, f(z)=z2 在整个复平面内处处可导
且
f (z) 2z , 则由函数在某区域内
• 解析定义可知, 函数 f(z)=z2在整个复平面上解
析。
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三、 柯西—黎曼条件
f (z) u(x, y) iv(x, y)
• 定理１ 设函数
22
2
2
(k 0, 1, 2, )
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复变量对数函数含有与实变量对数函数同样 基本性质:
(1)z x 0时，ln z ln x
(2)z x 0，Ln x ln x i(2k 1) , (k 0, 1, 2, )
解：Arg(2 2i) arg(2 2i) 2k
arctan 2 2k 2k (k 0, 1, 2, )
2
4
例4求z 1 i 3的 三角表示式与指数表示式 解：因为x Re z 1，y Im z 3
设 Arg z，则t an 3 3
1
又因为z 1 i 3，位于第二象限，所以
(ez)'=ez
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二、对数函数
定义4 对数函数定义为指数函数反函数.
若
w z ew (z 0, ，) 则称 是Z对数函数，记
作 w . Ln z
对数函数是一个多值函数，每一个Z 相应着多个LnZ值. 若令k=0 ，则上式中多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多
值函数LnZ 主值. 记作lnz
z1 z2 z2 z1
• （3）加法结合律
z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3
• •
（（45） ）乘 乘法 法结 对合 于律加法分派z1(z律2 z3) (z1 z2)z3
• 复数运算其它结果:
z1(z2 z3) z1z2 z1z3
• （1） z 0 z, 0 z 0 • （2） z 1 z, z 1 1
• 内部所有点z0 集合称为点z0 δ—邻域，记为 N(z0,δ) . 称集合 (z0 - δ , z0 + δ) 为 z0 去心 δ —邻域 记作
• 开集 假如点集 D 每一个点都是D 内点，则称 D 为开集.
• 闭集 假如点集D余集为开集，则称 D为闭集.
• 连通集 设是D开集，假如对D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折 线上点都属D则称开集是连通集.
•
2
2i
•
（6） 数
z
z
z
为实
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例1 化简
(2 3i)2 2i
解：(2 3i)2 4 9 12i
2i
2i
(5 12i)(2 i) 10 12 29i
(2 i)(2 i)
4 1
2 29i 5
例2 设z 1 2i (2 i)，求Re z, Im z及zz 3 4i 5i
• 例1 将定义在全平面上复变函数 对二元实变函数.
w z2 1化为一
• 解设
z x iy, w u iv, 代入w z2 1
得w u iv (x iy)2 1 x2 y2 1 2ixy
比较实部虚部得u x2 y2 1 第14页
例2计算 1 i
解：因为1 i
2
cos(
（2）f (z)
4(1
z2 )3 2z3 2z(1 z4
z2 )4
2 z3
(1
z2 )3 (3z2
1)
解：因为f (z) 2(z2 2z 4) (2z 2) 所以f (i) 2[(i)2 2(i) 4][2(i) 2]
4(3 2i)(1 i) 4 20i
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二、解析函数定义 • 定义3 假如函数 f(z)不但在点 z0处可
• （之3亦）然若. z1z2 0 ，z 则 Z1与 Z2至少有一个为零，反
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共轭复数运算性质:
• （1） z z
• （2） z1z2 z1z2
• （3）
z1 z2
z1 z2
(z2 0)
• （4） zz [Re z]2 [Im z]2
• （5） Re z z z , Im z z z
3 4
)
i
sin(
3 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
所以1 i
4
2
cos
3 4
2
2k
i sin
3 4
2
2k
(k 0,1)
即w20
4
2(cos
3 8
i sin
3 8
)
w12
4
2(cos
5 8
i sin
5 8
)
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第三节、解析函数
• 一、复变函数导数 • 二、解析函数定义 • 三、柯西—黎曼条件
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或
,
即
f (z0 )
dw dz z z0
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
z) z
f
(z0 )
如果函数f(z)在区域D内每一点都可导，
则称f(z)在D内可导。
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例3求复变函数f (z) z3的导数
解：因为 lim Δx0
f
(z
Δz) Δz
f
(z)
lim Δx0
• 各数集之间关系可表示为
•
复数
实数
有理数 无理数
虚数
纯虚数 非纯虚数
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复数代数运算
• 设复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 定义 则运算下列:
• 加法: • 减法: • 乘法: • 除法:
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
arg z 2 ，于是z 1 i 3
3
2(cos 2
i sin
2
)
i 2
2e 3
3
3
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三、复平面上点集与区域
• 扩充复平面 包括无穷远点在内复平面称为扩充复平面.
• 有限复平面 不包括无穷远点复平面称为有限复平面，或复平面.
• 邻域 平面上以 z0为心 ，δ>0为半径圆:
x z0
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一、 指数函数
• 定义3 复变量指数函数定义为
ez exiy ex(cos y i sin y)
• 指数函数一些主要性质: • （1）指数函数 ez在整个Z有限平面内都有定义
，且处处不为零. • （2）ez1+z2 =ez1ez2 • （3）指数函数是以2πi 为周期周期函数． • （4）指数函数ez 在整个复平面上解析，且有
• 并要求 按逆时针方向取值为正, 顺时针方向取值为负.
• 4.复数三种表示式. • 复数表示式 称为复数 三角表示式. • 复数表示式 称为复数 指数表示式
z r(cos isin)
z rei
• 复数表示式 称为复数 代数表示式
z x iy
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例3求 Arg(2 2i)和Arg(3 4i)
z1z2 (x1x2 y1y2) i(x1y2 x2y1)
z1 与 z2 四
z1 z2
x1 x2
iy1 iy2
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
(z2 0)
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复数四则运算规律:
• （1）加法互换律:
z1 z2 z2 z1
• (2）乘法互换律
例1 求 ln(1), Ln(1),ln i和Ln.i
解 由于-1模为 1，其辐角主值为π ，
因此 ln(1) ln1 i i
而 Ln(1) i 2ki (2k 1)i (k 0,1,2, )
又由于 iii模为1，而其辐角主值为 ，
因此
ln i ln1 i i Ln i i 2k i (2k 1) i
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2.复数向量表示 复数 还能够用起点为原点, 终点为P(x,y) 向量 OP 来表示（如图）, x 与 y 分别是实部和虚部分.
• 3.复数模与辐角 • 复数模 Z≠0相应向量 长O（P 如图）,
所夹角 , 称为复数 Z辐角,记作argz , 即
与实O轴P正方向
• θ=argz+2kπ , k为整数
第十一章 复变函数 第一节 、 复平面 第二节、复变函数 第三节、解析函数
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第一节、复平面
• 一、复数概念 • 二、复数各种表示、模与辐角 • 三、复平面上点集与区域
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一、复数概念
• 定义；设 x,y为两个任意实数, 称形如x+yi 数为复数, 记为 z= x+yi , 其中 i 满足i2 =-1, i 称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 实部 和虚部, 记为x=Rez,y=Imz.
• 区域（或开区域） 连通开集称为区域或开区域.
• 闭区域 开区域 连同它边界一起，称为闭区域，记为 .
D
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第二节、复变函数
• 一、复变函数概念
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一、复变函数概念:
• 定义1 设 D为给定平面点集, 若对于D 中每一个复数 z=x+iy , 按着某一拟定法则f , 总有拟定一个或几种复数 与之相应, 则称 f是定义在D上复变函数（复变数 是复变 数Z函数）, 简称复变函数, 记作 =f(z) 其中 Z称为自变量, 称为因变量, 点集 D 称为函数定义域.