高中数学 1.2.1平面的基本性质与推论 新人教B版必修2

成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
立体几何初步 第一章
1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.1 平面的基本性质与推论
第一章
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有 十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑 出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成 为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？
二、共面直线与异面直线 1．两条直线共面，那么它们___平__行___或者_相__交_____． 2 ． 既 不 ___相__交___ 又 不 __平__行____ 的 两 条 直 线 叫 做 异 面 直 线． 3．判定两条直线为异面直线的一种方法：与一平面相交 于一点的直线与这个平面内_不__经__过__交__点___的直线是异面直线．
1.(2015·河北永年县二中高一期末测试)用符号表示“点A
在直线上，在平面外”，正确的是( )
A．∈，∈
B．∈，∉
C．∉，∈
D．∉，∉
[答案] B
[解析] 点在直线上，用“∈”表示，点在平面外用“∉”
表示．
2．在空间中，下列命题正确的有( )
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行3个
D．4个
[答案] C
[解析] 由共面的条件知，平行四边形是平面图形，∴②
③④正确，①不正确．故选C．
3．(2015·辽宁大连二十中高一期末测试)在空间中，可以 确定一个平面的条件是( )
A．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 C．三个点 D．两两相交的三条直线 [答案] A
[解析] (1)点A在平面α内，点B不在平面α内．如图(1)所 示．
(2)直线l在平面α内，直线m不在平面α内，如图(2)所示． (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.如图(3)所示．
课堂典例讲练
点共线问题
(2015·陕西西安市一中高一期末 测试)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上依次取点 E、F、G、H，若EH、FG所在直线相交于点P，则( )
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC与直线 AB、CC1分别相交，但这三条直线不能确定一个平面；直线 AB、B1B、CB1两两相交，且交于同一点B，但这三条直线不能 确定一个平面；三个共线的点不能确定一个平面，故选A．
4．平面α∩平面β＝l，点A、B∈α，点C∈平面β且C∉l， AB∩l＝R.设过A、B、C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝________.
三、三种语言 我们可以把空间看作点的集合．这就是说，点是空间的基 本元素，直线和平面都是空间的子集，直线是它所在平面的子 集．于是，我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的 关系以及图形的性质．例如， 点 A 在 平 面 α 内 ， 记 作 __A_∈__α___ ； 点 A 不 在 α 内 ， 记 作 __A__∉_α___(A∈α也称作平面α经过点A)； 直线l在平面α内，记作_____l_⊂_α___；直线l不在平面α内， 记作_______l⊄_(αl⊂α也称作平面α经过直线l)； 平面α与平面β相交于直线a，记作___α_∩__β_＝_；a 直线l和m相交于点A，记作l∩m＝{A}，简记为_l_∩_m__＝__A_．
A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上 C．点P必在平面BCD外 D．点P必在平面ABC内
[解析] ∵E∈AB，∴E∈平面 ABD， ∵H∈AD，∴H∈平面 ABD，∴EH⊂平面 ABD. ∵F∈BC，∴F∈平面 BCD， ∵G∈CD，∴G∈平面 BCD， ∴FG⊂平面 BCD. 又∵EH∩FG＝P， ∴P∈平面 ABD，P∈平面 BCD， 又平面 ABD∩平面 BCD＝BD，∴P∈BD. [答案] B
一、平面的基本性质 1．公理1 如果一条直线上的__两__点____在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内． 这时我们说，直线在平面内或平面经过直线． 公理2 经过_不__在__同__一__条__直__线__上__的三个点，有且只有一个 平面，也可简单地说成，__不__共__线__的三点确定一个平面． 公理3 如果不重合的两个平面有___一__个___公共点，那么 它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线．
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α 于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一条直线上．
[解析] 如图所示，AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R， ∵AB∩α＝P，BC∩α＝Q， ∴PQ 是平面 α 与平面 ABC 的交线， ∵AC∩α＝R， ∴R∈α 且 R∈平面 ABC， ∴R∈PQ， ∴P、Q、R 三点共线.
2．推论1 经过一条直线和_直__线__外___的一点，有且只有一 个平面．
推论2 经过两条__相__交____直线有且仅有一个平面． 推论3 经过两条__平__行____直线有且仅有一个平面． 3．公理1的作用是__判__定__直__线__在__平__面__内__的__依__据____， 公理2及它的三个推论的作用是___确__定__平__面__的__依__据_____． 公 理 3 的 作 用 是 __判__定__两__平__面__相__交__的__依__据__，__也__是__证__明__点__共__ _线__或__线__共__点__的__依__据________________．
[答案] CR
[解析] 根据题意画出图形．如图所示．因 为点 C∈β，且点 C∈γ，所以 C∈β∩γ.因为点 R ∈AB，所以点 R∈γ.又 R∈β，所以 R∈β∩γ， 从而 β∩γ＝CR.
5．根据下列符号表示的语句，说明有关点、线、面的关 系，并画出图形．
(1)A∈α，B∉α； (2)l⊂α，m⊄α； (3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.