上海教育版高中数学二下12.1曲线和方程教案

12.1曲线与方程

上海市控江中学张进兴一、教学内容分析

曲线与方程是以直线方程为认识基础的解析几何的基本概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.本节在充分讨论曲线方程概念后，介绍了解析几何的思想——通过直角坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质.通过本节的学习我们可以了解到解析几何的基本问题：由曲线的已知条件求曲线方程；然后通过方程研究曲线的性质.曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序.前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程.为后面用曲线方程研究曲线性质奠定基础.

“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式.“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式；求曲线方程是用方程研究曲线的先导，是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题.体现了坐标法的本质——代数化处理几何问题.

在本节的学习中可以结合已经学过的直线方程的知识帮助我们领会坐标法和解析几何的思想、学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备.

作为曲线内容学习的开始，“曲线与方程”这一小节思想性较强，约需三课时，第一课时介绍曲线与方程的概念；第二课时讲曲线方程的求法；第三课时讲曲线的交点.

12.1(1)（2）曲线与方程

二、教学目标设计

理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点.

通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.

三、教学重点及难点

重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.

难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.

四、教学用具准备

本节可以借助几何画板等绘图软件展示某些动点的轨迹.

五、教学流程设计

六、教学过程设计

12．1（1）曲线方程的概念

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1、l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.

2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的

答：借助直线方程研究直线的位置关系.

[说明] 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.

二、讲授新课

1、概念引入

（1）以定点A （1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？

设原上任意一点M 的坐标为),(y x ，则x 和y 应当满足

课堂小结并布置作业 概念

实例引入

曲线和方程

求曲线的方程 方法步骤

运用与深化(例题解析、巩固练习)

平方后整理得

0222=-+x y x ①

问：能否用方程①来表示圆A ？为什么？

用方程22x x y -=②与方程①中的哪一个来表示圆A 比较好？

[说明] 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.

2、概念形成

曲线方程的定义

一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：

①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解

②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.

此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.

[说明] 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.

设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合； }0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于

⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =. 3、概念深化

例 1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .（课本P31例1）

证明：（略）

例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（课本P31例1）

（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？ 解：（略

[说明] 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调

曲线方程的完备性和纯粹性

三、巩固练习

课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）

四、课堂小结

（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.

（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）

五、作业布置

习题册P17 A 组 第1、2、3题； P19 B 组 第2题

12.1（2）求曲线的方程

一、复习回顾

思考并回答下列问题

1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．（学生思考并回答．教师强调）

2．回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.

对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何.

解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

[说明]通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.

二、学习新课

如何根据已知条件，求出曲线的方程？

例1 已知两定点)0,1(1-P 和)0,3(2P ，

求到点1P 和2P 的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3

例2 动点M 与距离为4的两个定点A 、B 满足5M =⋅，建立适当的坐标系，并求动点M 的轨迹方程.（课本P34例4）