中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43

与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=

32

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【解析】

【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=

32列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．

【详解】

（1）当y=0时，14

0 33

x

-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=

3

2

，得

16120

33

22

a c

a

-+=

⎧

⎪

-

⎨

-=

⎪⎩

，

解得

1

4

a

c

=

⎧

⎨

=-

⎩

，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

∴直线m的解析式为y=1

3

x．

∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴PC PB

PF PE

=．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴

22

x x x x

Q P F E

++

=，

22

y y y y

Q P F E

++

=，

∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，

∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18，

∴OF=3a ﹣20．

∴F （0，20﹣3a ）．

∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，

∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．

∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣23

4x +94x+3；(2) 有最大值,365

;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（

73，256）或（173，﹣253）． 【解析】

试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）设P （m ，﹣

34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣

34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365

，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94

n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34

n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:

（1）由OC=3OA ，有C （0，3），

将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：

016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩

，

解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩

， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +

94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34

m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），

设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，

则403k b b +=⎧⎨=⎩