盘点数学归纳法在近年高考物理解题中的应用

盘点数学归纳法在近年高考物理解题中的应用

在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下能够用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立，下面略举几例说明这个方法的应用，供同行参考。

例1（2010年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，持续与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，

求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和；

（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。

解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒

第1次碰撞前

第1次碰撞后，

（2）第2次碰撞

第2次碰撞后，利用（2）式得

同理，第3次碰撞后，…………

第n次碰撞后速度为

故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为

例2（2007年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存有垂直于纸面的磁场。已知因为磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。

解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第

一次碰撞前后绝缘小球的速度分别、，金属球的速度为

由动量守恒得：

由机械能守恒得：

且，解得，

第二次碰撞前后有，由动量守恒得：

由机械能守恒得：

联立上式解得，

同理可得第三次碰撞前后有，

解得，

由此可知…………

第n次碰撞后，绝缘小球的速度为,金属球的速度

设第一次碰前绝缘球的动能为，其中

第n次碰后绝缘球的动能为，

其中，则得，因为，

所以2

例3（2009年北京高考）

（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小；

解析：（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律

①

设碰撞后与的速度分别为和，根据动量守恒定律

②

因为碰撞过程中无机械能损失

③

②、③式联立解得

④

将①代入得④

（2）碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这个规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分

别为、、．．．．．．、．．．．．．的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能，

从而引起各球的依次碰撞。定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数。

求：（a）

（b）若、、为确定的已知量。求为何值时，值最大

解析：（a）由上问中④式，考虑到和得

根据动能传递系数的定义，对于1、2两球

⑤

同理可得，球和球碰撞后，动能传递系数k13应为

⑥

依次类推，动能传递系数k1n应为

解得

（b）．将、代入⑥式可得

为使k13最大，只需使

由可知