第8章差错控制编码技术
简述差错控制技术
简述差错控制技术
差错控制技术是一种通信系统中用于检测和纠正数据传输过程中出现的错误的技术。
差错控制技术主要包括以下几种方法：
1. 错误检测：通过添加冗余信息来检测数据传输过程中的错误。
常见的错误检测方法包括奇偶校验、循环冗余检验（CRC）、海明码等。
2. 自动重传请求（ARQ）：在数据传输过程中，如果发现数
据出现错误，接收端可以向发送端发送一个请求重传的信号，从而实现错误的纠正。
3. 前向纠错（FEC）：在数据传输过程中，发送端可通过添加
纠错码使得接收端能够校验和修复一定数量的错误。
4. 正确性确认：接收端在收到数据之后，向发送端发送一个确认信号，以表示数据已被正确接收。
差错控制技术的主要目标是保证数据传输的可靠性和完整性，并尽量降低错误率。
不同的差错控制技术可以根据具体的需求选择使用，例如，在对数据传输的稳定性要求较高的无线通信系统中，可以采用ARQ和FEC结合的方式来保证可靠性。
差错控制编码(传媒05级)
(b) 返 回 重 发 示 意 图
t
发 送 端 1 2 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15
t
传输
NAK 传输
接收端
1 2* 3 4 5 6 2 7 8 9 10 11 12 13
(c) 选 择 重 发 示 意 图
t
图8―3 检错重发旳三种工作方式
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控制编码就是将信息码元和监督码元编排在
一起旳过程。需要阐明旳是，有些书常把差
错控制编码称为信道编码，而第6章中，差错
控制编码仅是信道编码中旳一种构成部分
（其他内容涉及位定时、分组同步、降低高
频分量、清除直流分量等等）。
2024/9/22
8
第8章 差错控制编码
8.2 差错控制方式 差错控制方式可分为：前向纠错（FEC）、 检错重发（ARQ）和混合纠错（HEC）三 种。图8―2是这三种方式构成旳差错控制系 统原理框图。
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第8章 差错控制编码
表8―2 3位编码表
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第8章 差错控制编码
在许用码组000、011、101、110中，右 边加上旳1位码元就是监督码元，它旳加入 原则是使码组中1旳个数为偶数。目前我们 再看一下出现误码旳情况，假设许用码组 000出现1位误码，即变成001、010或100三 个码组中旳一种，可见这三个码组中1旳个 数都是奇数，是禁用码组。
检验关系能够分为线性码和非线性码。
线性码：信息码元与监督码元之间旳关系为
线性关系，即监督码元是信息码元旳线性组
合，则称为线性码。
非线性码：两者不存在线性关系，称为非线
性码。
第8章 信道编码和交织 [详解MATLAB_Simulink通信系统建模与仿真]
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本章内容
8.1 概述
• 8.1.1 差错控制方式 • 8.1.2 纠错码的分类 • 8.1.3 编码效率
8.2 线性分组码
• 8.2.1 Hamming码 • 8.2.2 循环码 • 8.2.3 BCH码 • 8.2.4 RS码 • 8.2.5 CRC校验码
8.3 卷积码
短的中等码长下，其性能接近于理论值 不但可以纠正随机错误、突发错误以及两者
的结合，而且可以用来构造其他码类，如级 联码
8.2.4 RS码
8.2.4 RS码
8.2.4 RS码
8.2.5 CRC校验码
8.3.1 卷积码的原理
数据
S1
S2
S3
输入
m1
m2
C1 码字
C2 输出
8.3.1 卷积码的原理
2、code=convenc(msg,trellis,puncpat)
• 作用与1类似，其中puncpat定义凿孔模式。
3、code=convenc(msg,trellis,…,init_state)
• init_state指定编码寄存器的初始状态。
4、decoded=vitdec(code,trellis,tblen,opmode,dectype)
8.3.2 卷积码的描述
树图、状态图和格图
树图描述的是在任何数据序列输入时，码字
所有可能的输出。
a=00 状 b=01 态 c=10
d=11
00
数码
起点
11
00
00
a
11
00
b
10
11
c
01 d
11
10
通信原理各章重要知识常考知识总结通信原理习题及详细答案(第六版)
第一部 通信原理部分习题答案第1章 绪论1—1 设英文字母E 出现的概率为0.105，x 出现的概率为0.002。
试求E 及x 的信息量。
解：英文字母E 的信息量为105.01log 2=E I =3.25bit 英文字母x 的信息量为002.01log 2=x I =8.97bit 1—2 某信息源的符号集由A 、B 、C 、D 和E 组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、l/8、l/8/、3/16和5/16。
试求该信息源符号的平均信息量。
解：平均信息量，即信息源的熵为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 412-81log 812-81log 812-163log 1632-165log 1652- =2.23bit/符号1—3 设有四个消息A 、BC 、D 分别以概率1/4、1/8、1/8和l/2传送，每一消息的出现是相互独立的，试计算其平均信息量。
解：平均信息量∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 412-81log 812-81log 812-21log 212- =1.75bit/符号1—4 一个由字母A 、B 、C 、D 组成的字。
对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。
(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率。
(2)若每个字母出现的可能性分别为P A =l/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10 试计算传输的平均信息速率。
解：(1)不同的字母是等可能出现，即出现概率均为1／4。
每个字母的平均信息量为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 4142⨯-=2 bit/符号因为每个脉冲宽度为5ms ，所以每个字母所占用的时间为 2×5×10-3=10-2s每秒传送符号数为100符号／秒 (2)平均信息量为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=51log 512-41log 412-41log 412-103log 1032-=1.985 bit/符号 平均信息速率为 198.5 比特/秒1—5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1个单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的l/3； (1)计算点和划的信息量； (2)计算点和划的平均信息量。
《大学计算机基础》(第三版)上海交通大学出版社 课后习题答案
大学计算机基础课后题答案第1章计算机基础知识一、选择题1.B2.B3.B4.B5.B6.B7.C8.D 9.B 10.D 11.C 12.A 13.B 14.D二、填空题1、1946 美国ENIAC2、4 电子管晶体管集成电路超大规模集成电路3、超导计算机量子计算机光子计算机生物计算机神经计算机4、专用计算机通用计算机5、信息基础技术信息系统技术信息应用技术6、运算器控制器存储器输入设备输出设备7、7445 682 3755 30088、0292 1717 A2FC B1B1 B7D9 E4AE9、500010、72 128三、问答题1、运算速度快计算精度高具有记忆和逻辑判断能力具有自动运行能力可靠性高2、巨型机大型机小型机微型机服务器工作站3、数据计算信息处理实时控制计算机辅助设计人工智能办公自动化通信与网络电子商务家庭生活娱乐4、计算机的工作过程就是执行程序的过程，而执行程序又归结为逐条执行指令：（1）取出指令：从存储器中取出要执行的指令送到CPU内部的指令寄存器暂存；（2）分析指令：把保存在指令寄存器中的指令送到指令译码器，译出该指令对应的操作；（3）执行指令：根据指令译码器向各个部件发出相应控制信号，完成指令规定的操作；（4）一条指令执行完成后，程序计数器加1或将转移地址码送入程序计数器，然后回到（1）。
为执行下一条指令做好准备，即形成下一条指令地址。
5、计算机自身电器的特性，电子元件一般有两个稳定状态，且二进制规则简单，运算方便。
四、操作题1、（111011）2=（59）10=（73）8=（3B）16（11001011）2=（203）10=（313）8=（CB）16（11010.1101）2=（26.8125）10=（32.64）16=（1A.D）162、（176）8=（1111110）2（51.32）8=（101001.011010）2（0.23）8=（0.010011）23、（85E）16=（100001011110）2（387.15）16=（001110000111.00010101）24、（79）=（01001111）原码=（01001111）反码=（01001111）补码（-43）=（10101011）原码=（11010100）反码=（11010101）补码第2章计算机硬件及软件系统一、选择题1.A2.D3.D4.C5.B6.C7.C8.A9.D 10.B 11.D 12.C 13.C 14.B 15.D 16.A 17.C 18.D 19.D 20.D二、填空题1、系统应用2、运算控制单元存储器输出/输入设备3、数据库管理系统4、1000赫兹5、ROM RAM Cache6.、RAM 数据丢失7、U盘的文件管理系统中密码8、同一部件内部连接同一台计算机各个部件主机与外设9、数据总线地址总线控制总线10、32 6411、图形加速接口12、CPU与内存内存13、控制器运算器14、CPU与内存15、指令数据16、CPU与内存及显存间数据的交换第3章操作系统基础一、选择题1.C2.B3.A4.D5.A6.D7.B8.B 9.B 10.A 11.B 12.B 13.A 14.B二、填充题1、文件管理2、并发性3、EXIT4、Am*.wav5、开始6、Alt+PrintScreen7、PrintScreen8、Ctrl+Z9、全选10、添加/删除程序11、输入法三、问答题1、管理和协调计算机各部件之间的资源分配与运行，它是计算机所有硬件的大管家，是用户与计算机的接口。
差错控制编码
2.差错控制编码2.1. 引言什么是差错控制编码（纠错编码、信道编码）？为什么要引入差错控制编码？差错控制编码的3种方式？本章主要讲述：前向纠错编码（FEC）、常用的简单编码、线性分组码（汉明码、循环码）、简单介绍RS码*、BCH码*、FIRE码*、交织码，卷积码极其译码、TCM编码*。
一、什么是差错控制编码及为什么引入差错控制编码？在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地会发生错误。
为了在已知信噪比情况下达到一定的误比特率指标，首先应该合理设计基带信号，选择调制解调方式，采用时域、频域均衡，使误比特率尽可能降低。
但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码（即差错控制编码），将误比特率进一步降低，以满足系统指标要求。
随着差错控制编码理论的完善和数字电路技术的发展，信道编码已经成功地应用于各种通信系统中，并且在计算机、磁记录与存储中也得到日益广泛的应用。
差错控制编码的基本思路：在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。
接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输发生差错，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至纠正错误。
研究各种编码和译码方法是差错控制编码所要解决的问题。
二、差错控制的三种方式1、检错重发（ARQ）检错重发：在接收端根据编码规则进行检查，如果发现规则被破坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止。
ARQ系统具有各种不同的重发机制：如可以停发等候重发、X.25协议的滑动窗口选择重发等。
ARQ系统需要反馈信道，效率较低，但是能达到很好的性能。
2、前向纠错前向纠错（FEC）：发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误。
不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备复杂。
第8章 信道编码
G( 7 , 4 )
1
1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0
0
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 0
H(7,4)
0
1
0
0
1
1
1
0 0 1 1 1 0 1
经过变换后为
1 0 0 0 1 0 1
G( 7 , 4 )
0
0
1 0
0 1
0 0
1 1
1 1
1
0
0 0 0 1 0 1 1
例：(7,3)码的生成矩阵和监督矩阵为 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 1 0
G(7,3)
0
1
0
0
1
1
1
0 0 1 1 1 0 1
H (7,3)
1
1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0
0
0 1 1 0 0 0 1
则将两个矩阵的作用对换，得到对偶码(7,4)码的生成矩阵和
监督矩阵为 1 0 1 1 0 0 0
即该错误不能被正确纠正过来
因此只能纠1位错
8.1.2 平均错误译码概率
1
例：二进制对称信道传递矩阵 码
P
4
3
如果译码规则为00、11，则 4
3
4
，先不考虑编
1
4
0和1被正确译码的概率均为1/4，即系统的平均正确译码概率为1/4
0和1被错误译码的概率均为3/4，即系统的平均错误译码概率为3/4
HCT 0T CH T 0
则H称为(n, k)线性码的一致监督矩阵(或校验矩阵)
差错控制
3.1.4 差错控制编码原理
2．码重和码距的概念
（1）码重 在信道编码中，定义码组中非零码元的数目为码组的重量， 简称码重。 （2）码距与汉明距离 把两个码组中对应码位上具有不同二进制码元的个数定义为 两码组的距离，简称码距。 而在一种编码中，任意两个许用码组间的距离的最小值，称 为这一编码的汉明（Hamming）距离，用dmin来表示。
3.1 差错控制的基本概念
3.1.3 差错控制方式
2．前向纠错（FEC） 前向纠错（Forward Error Correcting，FEC）方式。前向纠 错系统中，发送端的信道编码器将输入数据序列按某种规 则变换成能够纠正错误的码，接收端的译码器根据编码规 律不仅可以检测出错码，而且能够确定错码的位置并自动 纠正。 这种方式的优点是不需要反馈信道，也不存在由于反复重 发而延误时间，实时性好。其缺点是要求附加的监督码较 多，传输效率低，纠错设备比检错设备复杂。
c2 = c6 ⊕ c5 ⊕ c4 c1 = c6 ⊕ c5 ⊕ c3 c = c ⊕ c ⊕ c 6 4 3 0
3.2 常用的差错控制编码
3.2.2 线性分组码及汉明码
（2）线性分组码的监督矩阵和生成矩阵
表3-5 （7，4）线性分组码的编码表
信息位 c6 c5 c4 c3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 信息位 c6 c5 c4 c3 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 监督位 c2 c1 c0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
第八章 差错控制编码
第八章 差错控制编码
8.1 引言 8.2 差错控制编码的基本原理 8.3 常用的简单编码 8.4 线性分组码
返回
8.2 差错控制编码的基本原理
二、最小码距d0与纠错能力的关系： 1、重复码：用来发送天气预报 举例： 结论：纠错能力与码的位数有关。怎么样的关系呢？ 2、最小码距d0与纠错能力的关系：
(1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e个随机错误，则要求码的最小距离 d0≥t+e+1， (e>t)。 三、差错控制编码的分类： 从用途、监督关系、码字结构、信息处理等方面分类
8.4
线性分组码
一、什么是线性分组码？ 1、基本概念 分组码:先给信息码分组，然后给每组信息码附加若干监督码的编码。 代数码:建立在代数学基础上的编码。
线性码:信息位与监督位由线性代数方程组联系在一起。是代数码 线性分组码:信息码分组后，定长信息码与监督码由线性代数方程 组联系在一起而形成的编码。如汉明码、循环码等。 2、两个重要性质 （1）封闭性：任何两个许用码字之和，仍为一许用码字。
接收端 100 （禁用码组）
错一个
发送端
000
肯定出错了，且能纠错
A、若错一位，则能确定发端的码。
接收端 100
错一个 错两个
发送端 000 111
数据通信原理及应用教程与实训第8章 差错控制技术
● 8.3常用检错码
● 8.3.4正反码
3．举例： 4．编码特点 正反码编码简单，有一定的纠错能力，但信息码位不能太长。
● 8.4线性分组码
● 8.4.1线性分组码的基本概念
线性分组码（Linear Block Codes）的构成是将信息序列划分为等长（k 位）的序列段，共有2个不同的序列段。在每一个信息段之后附加r位监 督码元（Parity Chcck bits） 构成长度为n=k+r的分组码（n，k），当监督码元与信息码元的关系为线 性关系时，构成线性分组码。
● 8.2差错控制方法
● 1．一个通信实例的启示
我们可以在所传送的相互独立无关的数字信号中，人为地按一定 规律加入一定的多余码元（对信息来说是多余的，它不代表信 息），使所传输的码字中前后码元产生一定的相关性，具有一定 的监督关系。这样，在接收端就可以利用这种监督关系来检测、 纠正错误，这就是抗干扰编码的基本思想。
● 8.5.1循环码的基本概念 ● 8.5.2循环码的编码和译码
● 8.6卷积码
● 8.6.1 卷积码的基本概念 ● 8.6.2 卷积码的编码和译码
● 本章小结 ● 本章实训
● 8.1概述
随着计算机技术的发展，在数据通信中，采用计算机技 术进行编码和控制，以满足通信质量的要求，这就是差 错控制技术。差错控制技术包括抗干扰编码，以及与其 相适应的差错控制方法。
● 8.2差错控制方法
● 8.2.1自动请求重发（ARQ）方式
接收端根据校验序列的编码规则判断是否传错，并把判断结果通过反 馈通道传送给发送端。判断结果有三种情况： 1．停等ARQ 2．返回错控制方法
● 8.2.2前向纠错（FEC）方式
利用纠错编码，使得在系统的接收端译码器能发现错误并能准确地 判断差错的位置，从而自动纠正它们。所以使用前向纠错。 FEC方式的特点： ①接收端自动纠错，实时性好。 ②无需反馈通道。特别适用于单点向多点同时传送的方式。 ③纠错码需要较大的冗余度，传输效率下降。 ④控制规程简单，译码设备复杂。 ⑤纠错码应与信道特性相配合，对信道的适应性差。
信息论基础-第八章差错控制编码2
f Z Z 2 X 7Z X 0 的根。
注意：在上面的方程中，未知数是 Z 。
有限域上的方程并无一般解，因为方程的解是定义在有限域上 的，所有可能的解只有有限多个，所以可用试探法求解；
根据上一示例的元素表，可得
f X 6 X 6 2 X 7 X 6 X X 12 X 13 X X 3 X 2 X 1 X 3 X 2 1 X 0
多项式关于模 nX 的加法和乘法运算
加法 u X v X u X v X nX 乘法 u X v X u X v X nX
若 nX 为 n 次的多项式，则余式具有如下的一般 形式 p X cn1X n1 cn2 X n2 ... c1X c0 , ci 0,1
性质1 若要线性分组码能够检测出任一码字中的小于等于 e 位的误码，则应满足
dmin e 1
e
1
dmin
wi
wj
禁禁 禁用禁码禁 字 许禁用禁 禁码禁字
性质2 若要线性分组码能够检出并纠正任一码字中的小于等 于t位的误码，则应满足
dmin 2t 1
t wi
dmin 1 wj
t wj
禁禁用禁 禁码禁字 许禁用禁 禁码禁字
... m0,n1
... m1,n1
..ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ...
mk
...
1,
n
1
系统码的特点
a0a1...ak2ak1 编码 a0a1...ak2ak1ck 2cn1 c0c1...ck2ck1ck 2cn1
系统码的编码输出结构
信息位部份 监督位部份
c0c1...ck2ck1 a0a1...ak2ak1 ck 2cn1
第八章 纠错编码
2、自动反馈重发ARQ(Automatic Repeat Request)
采用自动反馈重发方式，发端经编码后发出能够发现错误的码， 接收端收到后经检验如果发现传输中有错误，则通过反向信道把这一 判断结果反馈给发送端。然后，发送端把信息重发一次，直到接收端 确认为止。 采用这种差错控制方法编码效率较高、设备也较简单，但需要具 备双向通道，一般在计算机数据通信中应用。 ，一般在计算机数据通信中应用。 检错重发方式分为三种类型。 （1）停发等待重发 （2）返回重发 （3）选择重发
传 输 顺 序 信息顺序
4、群计数码 用信息码中1个数的编码做个冗余位。 5、恒比码 编码时，0、1个数比例保持恒定可以构成r=n-k个监督方 程（或校验子）。这r个校验子可以构成2r种组合，全零 组合代表编码正确，而其余的2r－1种组合可以代表各种 不同类型的差错。 若传输时只发生单个位的差错，而总码长为2r-1，则 可以利用不同的校验子状态组合实现差错定位，即纠错。 这种能够纠正单个错误的线性分组码，称为汉明码。 汉明码码长n与冗余位长 的关系 汉明码码长 与冗余位长r的关系： 与冗余位长 的关系： n=2r-1 汉明码的最小码距为3
sr −1 g r −1k −1 s g S T = r − 2 = r − 2 k −1 ... ... s0 g 0 k −1 g r −1k − 2 g r −2k −2 ... g0k −2 ... ... ... ... g r −10 g r − 20 ... g 00 0 cn −1 0 ... 0 cn − 2 = HC T ... ... ... ... 0 ... 1 c0 1 ...
不为零矩阵，说明代 码中有传输差错
差错控制技术计算方法包括
差错控制技术计算方法包括差错控制技术是一种在计算机领域中使用的重要技术，其目的是检测和纠正在数据传输和存储过程中可能出现的差错。
这些差错可能是由噪声、干扰、传输错误等因素引起的，如果不进行差错控制，可能会导致数据的丢失、损坏或错误。
差错控制技术的计算方法主要包括纠错码和检错码。
纠错码是通过向原始数据添加冗余信息来实现差错检测和纠正的。
常见的纠错码有海明码、RS码等。
而检错码则是通过对原始数据进行编码和解码来实现差错检测的，但无法进行纠正。
常见的检错码有循环冗余校验码（CRC码）等。
纠错码的计算方法通常使用线性代数的线性运算来实现。
通过构建一个矩阵，并将原始数据转换为矩阵的列向量，可以通过与纠错码相关的矩阵运算得到添加了冗余信息的编码数据。
在数据传输或存储过程中，接收方可以使用矩阵运算和纠错码的性质来检测和纠正差错。
检错码的计算方法一般是使用异或运算来实现。
在编码过程中，原始数据会被分割成不同的块，并通过与检错码相关的异或运算生成校验位。
在接收数据时，接收方再次进行异或运算并将结果与接收到的校验位进行比较，如果结果相同，则数据没有发生错误，否则则表示数据发生了差错。
除了纠错码和检错码，还有其他的差错控制技术计算方法，例如哈希函数。
哈希函数可以将任意长度的数据映射为固定长度的哈希值，通过对比哈希值是否一致来检测数据是否经过修改或损坏。
在计算机系统中，差错控制技术的计算方法是确保数据的完整性和准确性的重要手段。
通过使用纠错码、检错码和哈希函数等差错控制技术，可以有效地检测和纠正数据传输和存储过程中的差错，提高系统的可靠性和稳定性。
因此，差错控制技术计算方法在计算机领域中具有重要的应用价值。
第8章-通信系统中的差错控制编码技术
多余度：就是指增加的监督码元多少。例如，若编 码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元， 则这种编码的多余度为1/3。
编码效率(简称码率) ：设编码序列中信息码元数量 为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。
冗余度：监督码元数(n-k) 和信息码元数 k 之比。
（2）为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t + 1 【证】图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生不多于
两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位置为圆心的 圆。这两个圆是不重叠的。判决规则为：若接收码组落于以 A为圆心的圆上就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的 圆上就判决为码组B。
由此图可以直观看出，上例中4个准用码组之间的距离均为2。
13
码距和检纠错能力的关系
一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错 和纠错能力
（1）为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1
【证】设一个码组A位于O点。若码组A中发生一个错码， 则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心，以1为半 径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。
其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将变 成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
7
第8章差错控制编码
若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如：
“000”＝晴 ＝雨
“011”＝云 “101”＝阴 “110”
这时，虽然只能传送4种不同的天气，但是接收端却 有可能发现码组中的一个错码。
3
（2）通信效率低，不适合严格实时传输系统。
3、混合纠错方式（HEC） 混合纠错方式是前向纠错方式和检错重发方式的结合。
第8章差错控制编码技术
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是 一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零。 若码长为n，监督码元的个数为r，则要求 2 r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用来 纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元 个数最少，效率最高。
第八章 差错控制编码技术
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7
差错控制编码的基本概念 线性分组码 循 环 码 卷 积 码 网格编码调制（TCM） Turbo码 差错控制编码对系统性能的改善
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分 为三类：随机信道、突发信道和混合信道。 恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道， 其中差错的出现是随机的，而且错误之间 是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典 型的突发信道，错误是成串成群出现的， 即在短时间内出现大量错误。
在收端采用维特比算法执行最大似然 检测。编码网格状图中的每一条支路对应 于一个子集，而不是一个信号点。检测的 第一步是确定每个子集中的信号点，在欧 氏距离意义下，这个子集是最靠近接收信 号的子集。 图8-11描述了最简单的传输2比特码字 的8PSK四状态TCM编码方案。它采用了 效率为1/2的卷积码编码器，对应的格图如 图8-12所示。
（2） 循环码的译码
原则上纠错可按下述步骤进行： ① 用生成多项式g（x）去除接收码 组 B（x）=A（x）+E（x）， 得 出 余 式 r （x）； ② 按余式r（x）用查表的方法或通 过某种运算得到错误图样E（x），就可以 确定错码位置。 ③ 从B（x）中减去E（x），便得到 已纠正错误的原发送码组A（x）。
通信原理课后答案
512+64=576<635, M7=1
576+32=608<635, M8=1
最后得：M1M2M3M4M5M6M7M8=11100011
第7题解
M1M2M3M4M5M6M7M8=01010011
M1=0，故为负，M2M3M4=101，位于256~512的范围内。
（1）设计出该循环码的编码电路；
（2）设计出该循环码的译码电路，分以下步骤进行：
①已知发送端发送的正确码字为 ，若 有错，利用它设计译码器中的校正电路（即反馈移位寄存器的哪些输出应接非门）；
②写出译码电路中反馈移位寄存器的状态方程；
③画出状态转换表；
④画出状态转换图；
⑤分析当码字中的 、 、 、 、 、 分别出错时，译码器能否正确纠错？从而论证译码器的设计是否正确。
第7题解：
第8题解：
第3章信道与噪声习题解答
第1题解：
(a) (b)
（1）对于图（a）,其传递函数为:
（2）对于图（b）,其传递函数为:
第2题解：
转移概率：
P（0/0），P（1/0），P（2/0），P（3/0）
P（0/1），P（1/1），P（2/1），P（3/1）
P（0/2），P（1/2），P（2/2），P（3/2）
P（0/3），P（1/3），P（2/3），P（3/3）
第3题解：
第4题解：
第5题解：
的幅频特性为：
的特性曲线如下图所示：
第6题解：
（1）基本原理：多径效应主要是接收的信号是到达接接收机的的各路信号的合成。如果在接收端同时获得几个不同的合成信号，则将这些这些信号适当合并后得到的总接收信号，将可能大大减小多径效应的影响。“分集”的意思是分散得到几个合成信号并集中这些信号的意思。只要被分集的几个信号之间是统计独立的，则经过适当合并，就能改善接收性能。
FEC原理及应用
4）码的最小码距dmin＝3。
1.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G
将（7，4）码的三个监督方程式可以重 新改写为如下形式：
1 1
a6 a6
1 1
a5 a5
1 a4 0 0 a4 1
a3 a3
1 a2 0 0 a2 1
a1 a1
0 0
a0 a0
0 0
1 a6 0 a5 1 a4 1 a3 0 a2 0 a1 1 a0 0
1 0 1 1 0 0 1
也可以用矩阵形式来表示：
或表示成为：
a2 1
a1
1
a0 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
a6 a5 a4 a3
1 1 1
a2
a1
a0 a6
a5
a4
a3
1 1
1 0
0 1
a6
a5
a4
a3 Q
0 1 1
这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边在加上一
1.3.1 基本概念 分组码是一组固定长度的码组，可表示为
（n , k），通常它用于前向纠错。在编码时，k 个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的
作用就是实现检错与纠错。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映 射到一个长度为n码组上。
线性分组码的主要性质如下：
（1）任意两许用码之和仍为一许用码， 也就是说，线性分组码具有封闭性；
其对应的码组为0101110，它正是下表中 第3码字。
为了利用代数理论研究循环码，可以将
码组用代数多项是来表示，这个多项式被称
为码多项式，对于许用循环码A=(an-1 an-2 …
a1 a0)，可以将它的码多项式表示为：
码的生成多项式和生成矩阵_通信原理（第2版）_[共2页]
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第8章 通信系统中的差错控制编码技术– 169 – 1211211101212101()(1)i n i n i n n n n i i in n n i n i i i n n n i x T x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x -+-+-----+---------=++++++≡+++++++ 模 （8.34）所以1211201()n n i i n i n i n n i T x a x a x a x a x a ---------'=++++++ （8.35）式中()T x '正是式（8.33）所代表的码组向左移位i 次的结果。
因为已假设()T x 为一循环码，所以()T x '也必为该码组中的一个码组。
下面举例说明。
例8.2 由式（8.27），（7，3）循环码中第三码组的码多项式为521()1T x x x x =+++其码长为7n =，若取3i =，则352185435437()(1)(1)i x T x x x x x x x x x x x x x x =+++=+++≡++++ 模其对应的码组为0111010，它是表8-4所列循环码中的第4码组。
8.4.3 码的生成多项式和生成矩阵我们已经知道，对于(,)n k 线性分组码，有了生成矩阵G ，就可以由k 个信息码元得到全部码组。
而且经过前面的分析已经知道，生成矩阵的每一行都是一个码组，因此若能找到k 个线性无关的码组，就能构成生成矩阵G 。
在循环码中，一个(,)n k 分组码有2k 个不同的码组，若用()g x 表示其中前1k -位皆为“0”的码组，则()g x ，()xg x ，2()x g x ，…，1()k x g x -都是码组，而且这k 个码组都是线性无关的。
因此可以用它们来构造生成矩阵G 。
需要说明的是在循环码中除全“0”码组外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度最多只能有（k − 1）位。
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2. 监督矩阵H和生成矩阵
G
（1） 监督矩阵
我们把H称为监督矩阵，或称一致校 验矩阵，一旦H给定，信息位和监督位之 间的关系也就确定了。H为 r×n阶矩阵， H矩阵每行之间是彼此线性无关的。H矩阵 可分成两部分，其中P为r×k阶矩阵，Ir为 r×r阶单位阵。能写成H=［PIr］形式的矩 阵称为典型监督矩阵。
（3） 混合纠错方式
混合纠错方式记作HEC，是FEC和 ARQ方式的结合。
（4） 信息反馈方式
信息反馈方式记作IF，信息反馈是收 端将接收的消息原封不动地送回发端，由 发端将反馈信息和原发送信息进行比较， 发现错误进行重发，其优点是方法和设备 简单，无需纠（检）错编译系统。
2. 差错控制编码的分类
（3）
用差错控制编码提高通信系统的的可 靠性，是以降低有效性为代价换来的。定 义编码效码长。
4. 常用的几种简单编码
（1） 奇偶监督码
奇偶监督码是在原信息码后面附加一 个监督元，使得码组中“1”的个数是奇数或 偶数，或者说，它是含一个监督元，码重 为奇数或偶数的（n，n-1）系统分组码。 奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。
（4）
群计数码是将信息码元分组后，计算 每组码元中“1”的个数，然后将这个数目的 二进制表示作为监督码元，一起送往发送 端。
8.2 线性分组码
1. 线性分组码的定义和
特点
线性分组码，是指信息码元与监督码 元之间的关系可以用一组线性方程来表示 的分组码，即在（n，k）分组码中，每一 个监督码元都是码组中某些信息码元按模2 和而得到的，线性分组码是一类重要的纠 错码，应用很广。
（1） 按照差错控制编码的用途不同 可分为检错码、纠错码和纠删码。
（2） 按照信息码元和监督码元之间 的函数关系可分为线性码和非线性码。
（3） 按照对信息元处理方式的不同 可分为分组码和卷积码。
（4） 按照码组中信息码元在编码前 后是否相同可分为系统码和非系统码。
（5） 按照纠（检）错误的类型可分 为纠（检）随机错误码、纠（检）突发错 误码和既能纠（检）随机错误同时又能纠 （检）突发错误码。
差错控制的基本工作方式有4种：前向 纠错、检错重发、混合纠错和反馈校验。
（1） 前向纠错方式
前向纠错方式记作FEC。发端发送能 够纠正错误的码，收端收到信码后自动地 纠正传输中的错误。其特点是单向传输， 实时性好，但译码设备较复杂。
（2） 检错重发方式
检错重发方式又称自动请求重传方式 ，记作ARQ。
矩阵G之间的关系
由上可知，监督矩阵H和生成矩阵G 之间有一一对应的关系。由于G的每一行 都为码字，因此它必然满足式（8-7）
HAT=0T
即
HGT=0T
3. 线性分组码的译码—
—伴随式（校正子）S
若某一码字为许用码组，则它必然满 足式（8-7）。利用这一关系，在接收端将 收到的码组和事先与发端约定好的监督矩 阵相乘，看是否为零。若满足条件，则认 为接收正确；反之，则认为传输过程中发 生了错误，进而设法确定错误的数目和位 置。
③ 根据E纠正错误，得到正确的码组 A=E+B。
4. 汉明码
汉明码是一类常见的线性分组码，是
一种能够纠正单个错误的完备码。要纠正 码组中的单个错误，则要求与单个错误图 样对应的伴随式各不相同，且不能为全零 。若码长为n，监督码元的个数为r，则要 求2r-1≥n。码组为汉明码时取等号。即用 来纠正单个错误时，汉明码所用的监督码 元个数最少，效率最高。
码组中，“1”码元的数目称为码组的 重量，简称码重。
两个等长码组之间对应位上码元不同 的数目称为这两个码组的距离，简称码距 。
（2）
① 检测e个随机错误，则要求最小码 距d0≥e+1
② 纠正t个随机错误，则要求最小码 距d0≥2t+1；
③ 纠正t个同时检测e（e＞t）个随机 错误，则要求最小码距d0≥t+e+1。
（2） 生成矩阵
称为生成矩阵，由G和信息组就可以 产生全部码字。G为k×n阶矩阵，各行也 是线性无关的。生成矩阵也可以分为两部 分：其中Q为k×r阶矩阵，I k为k阶单位 阵，可以写成式（8-12）形式的G矩阵，称 为典型生成矩阵。非典型形式的矩阵经过 运算也一定可以化为典型矩阵形式。
（3） 监督矩阵H和生成
第8章差错控制编码技术
2020年4月22日星期三
8.1 差错控制编码的基本概念
1. 差错控制的工作方式
按照噪声或干扰的变化规律，可把信 道分为三类：随机信道、突发信道和混合 信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机 信道，其中差错的出现是随机的，而且错 误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信 道是典型的突发信道，错误是成串成群出 现的，即在短时间内出现大量错误。
（2） 行列监督码
奇偶监督码不能发现偶数个错误。为 了改善这种情况，引入行列监督码。这种 码不仅对水平（行）方向的码元，而且对 垂直（列）方向的码元实施奇偶监督。
（3）
码字中1的数目与0的数目保持恒定比 例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个 码组均含有相同数目的1和0，因此恒比码 又称等重码，定1码。这种码在检测时，只 要计算接收码元中1的个数是否与规定的相 同，就可判断有无错误。
汉明码的特点如下。 （1） 监督码元的个数r=n-k，码长满 足n=2r-1，则k=n-r。r≥2。 （2） 无论码长n为多少，汉明码最小 码距d0=3。 （3） 其编码效率为
（6） 按照每个码元的取值可分为二 进码和多进码。
3. 差错控制编码的基本
差错编码的基本思想是在被传输信息 中增加一些冗余码，利用附加码元和信息 码元之间的约束关系加以校验，以检测和 纠正错误，增加冗余码的个数可增加纠检 错能力。
（1） 码长、码重、码距
编码码组的码元总位数称为码组的长 度，简称码长。
令S=BHT，称为伴随式或校正子。
S=BHT=（A+E）HT=EHT
由此可见，伴随式S与错误图样E之间 有确定的线性变换关系，与发送码组A无 关。接收端译码器的任务就是从伴随式确 定错误图样，然后从接收到的码字中减去 错误图样。
从以上分析可以得出线性分组码译码
① 计算接收码组B的伴随式S ② 根据S找出错误图样E，判定误码