圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用

刘定勇

（安徽省宁国中学 ，242300）

圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.

文[1]给出了两个较为简洁的结论：

命题1 椭圆122

22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .

双曲线122

22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b

y y a x x .

抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .

命题 2

圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应

的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.

以上结论在文[2]中有证明.

如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：

题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12

:22

=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2

2

00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线12

00=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.

P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为

[)22,2.

第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12

:22

=+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线

12

00=+y y x

x 并不经过()00,y x P .还有学生看到

12

00=+y y x

x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.

事实上，

12

00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22

=+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够

用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.

题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离

心率5

2

e =

. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中

21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线

C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.

解析：（I ）C 的标准方程为.14

22

=-y x C 的渐近线方程为.2

1x y ±

= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和

44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线

MN 的方程为.44=+y y x x E E

MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，

由方程组⎩

⎨

⎧=+=+⎩⎨

⎧=-=+,02,

4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.22

24,22,24⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

--=-=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=E E N E E N E E C E E C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=

⋅-⋅+-+-.412

2

2E

E y x -= 因为点E 在双曲线.44,14

2

222=-=-E E y x y x 有上所以22

12 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线

44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+4

42=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.

题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、

),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .

（Ⅰ）设动点P 满足42

2

=-PB PF ,求点P 的轨迹； （Ⅱ）设3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标； （Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.

（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m

直线)3(12

:+=

x m

y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M