2021年高中数学-平面向量专题
2021年高考数学 考点汇总 考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例(含解析)
2021年高考数学 考点汇总 考点19 平面向量的数量积、平面向量应用举例（含解析） 一、选择题 1. （xx ·湖南高考文科·Ｔ10）与（xx ·湖南高考理科·Ｔ16）相同 在平面直角坐标系中，为原点，，,，动点满足,则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解题提示】把拆分为，再利用求解。
【解析】选D.()++=+++OA OB OD OA OB OC CD2. （xx ·上海高考文科·Ｔ17）(1,2,7)(1,2,7)i i i AB AP i ==如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P 是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）（A)7 (B)5 (C)3 (D)2 【解题提示】根据向量数量积的定义可得. 【解析】2511351470cos 2cos i i i i i i i i i i i i i iP P P AB AP AP P P P P AB AP AB AP BAP AB AP AB AP AP AB P P P AB AP AB AP BAP AB AP AP •=•=<>=••=•=•=<>=••当取，时，，当取，，时，当取，时，24.AB ==所以取值共有三个3. （xx ·浙江高考文科·Ｔ9）设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1（） A ．若确定，则唯一确定 B ．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定【解题提示】由平面向量的数量积、模列出不等式，利用二次函数求最值.【解析】选B.依题意，对任意实数，恒成立，所以恒成立，若为定值，则当为定值时，二次函数才有定值.4. （xx·山东高考文科·Ｔ7）已知向量.若向量的夹角为，则实数=( )A、B、C、D、【解题指南】本题考查了平面向量的数量积的运算，利用数量积的坐标运算即可求得. 【解析】()33cos,2923a ba b a b a bm⋅=+⋅==+∴+==答案：B5.（xx·安徽高考文科·Ｔ10）10.设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为（）A. B. C. D.0【解题提示】对的可能结果进行讨论，根据各选项分别判断。
2021届新高考数学二轮专题突破二第1讲 平面向量(解析版)
专题二 第1讲 平面向量【要点提炼】考点一 平面向量的线性运算1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．【热点突破】【典例】1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14【答案】 A【解析】 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn ＝________.【答案】 －2【解析】 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴mn＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由题意可得，OD →＝kOC →＝k λOA →＋k μOB →(0<k<1)，又A ，D ，B 三点共线，所以k λ＋k μ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．【拓展训练】1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G.若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.【答案】 12【解析】 由题意可设CG →＝xCE →(0<x<1)， 则CG →＝x(CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线， 所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．【答案】 [1,3]【解析】 设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3. 则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g(θ)＝3cos θ－33sin θ， 易知g(θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g(θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g(θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．【要点提炼】考点二 平面向量的数量积1．若a ＝(x ，y)，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.【热点突破】【典例】2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935 C.1735 D.1935【答案】 D【解析】 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 【答案】 C【解析】 如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)， 则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1， 当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22， 当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．【拓展训练】2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 【答案】 B【解析】 方法一 设a 与b 的夹角为θ， 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0， 又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0， 即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3， 即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)【答案】 A【解析】 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，3)，F(－1，3)． 设P(x ，y)，则AP →＝(x ，y)，AB →＝(2,0)，且－1<x<3. 所以AP →·AB →＝(x ，y)·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2B ．1－ 2C.2－1 D ．1【答案】 A【解析】 如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题训练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( ) A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →【答案】 A【解析】 由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 【答案】 B【解析】 设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69 kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12 D.12【答案】 A【解析】 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P(3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 【答案】 D【解析】 由P(3，1)，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6， ∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q(－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】 C【解析】 如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23 B.34 C.56 D ．1 【答案】 A【解析】 由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC→＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．5 3 【答案】 D【解析】 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0， 故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →. 又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO→·OC →≤51＋24＝75， 故||PA →＋PB →＋2PC →≤53， 当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2 【答案】 C【解析】 方法一 如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r)，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin 60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r＝1.易得B(－3，0)，C(3，0)，A(0,3)，D(0,0)， 设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)， 故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y,3x)，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二 因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y)2－2xy]． 由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y)2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号． 二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 【答案】 BC【解析】 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a－b 的夹角为π4，故C 正确．11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A ．若k<－2，则a 与b 的夹角为钝角 B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 【答案】 CD【解析】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k<2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b|b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76【答案】 BCD【解析】 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形， 所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O(0，y)，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y)，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确； |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________.【答案】22【解析】 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0. 因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.【答案】 5【解析】 如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C(a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4.∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ， ∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC→ ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36.∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5.15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O 为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．【答案】 19【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形， ∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)， 得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2 ＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|.∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ， ∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．【答案】2829【解析】 设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y)， 则a ＝(x ＋1，y)，b ＝(x ＋3，y)． 由2e 1－e 2＝(2－x ，－y)， 故|2e 1－e 2|＝2－x2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤ 1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y2x ＋32＋y 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5 ＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，当x ＝34时，cos 2θ有最小值，为4⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋13×34＋5＝2829.。
2021年新人教版高中数学平面向量选解二
平面向量1、（广东理科卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1:2DF FC =,然后利用向量的加减法则易得答案B.答案：B2、（广东文科卷）已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-答案：B3、（海南、宁夏卷）平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A. a ，b 方向相同B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. R λ∃∈， b a λ=D. 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=【解析】若,a b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数12,,λλ使得120a b λ+λ=；若0a ≠，则由两向量共线知，存在0λ≠，使得b a =λ，即0a b λ-=，符合题意，故选Ｄ 答案：D4、（海南、宁夏理科卷）已知向量(011)=-，，a ，(410)=，，b ，λ+=a b 且0λ>，则λ= ．【解析】由题意(4,1,)λ+-λλa b =2216(1)29(0)λλλ⇒+-+=>3λ⇒=答案：35、（海南、宁夏文科卷）已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 2【解析】()()4,32,1,3,a b a λ+=λ+-λ-=-∴()()43320a b a λ+⊥⇒λ+--λ-=，即101001λ+=∴λ=-，选Ａ答案：A6、（江苏卷）,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ▲ 。
高中数学必修二 6 1 平面向量的概念(精练)(含答案)
6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。
2021年高考数学经典例题 专题四：平面向量与不等式【含解析】
真题四 平面向量与不等式一、单选题1．已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b =（ ） A 2B ．2 C ．2D ．50【答案】A 【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-， 所以22||(1)12a b -=-+=故选A2．已知向量()2,3a =，()1,b λ=-，若向量2a b -与向量a 共线，则b =（ ） A ．32-B ．132 C 13 D ．134【答案】B 【解析】由向量坐标运算得到2a b -，根据向量共线可构造方程求得λ，由模长的坐标运算得到结果. 【详解】()24,32a b λ-=-，又向量2a b -与向量a 共线，()432λλ∴=--，解得：32λ=-，()2239131124b ⎛⎫∴=-+-=+= ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若()11,a x y =与()22,b x y =共线，则1221x y x y =. 3．在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C4.已知,,a b c 均为单位向量，且22a b c +=，则a c ⋅=（ ） A ．12-B ．14-C ．14D ．12【答案】C 【解析】由22a b c +=两边平方得14-⋅=a b ，又因为22a b c +=可得()1=22+c a b ，再计算a c ⋅即可得结果． 【详解】 由()()2222+=a bc 得222444++⋅=ab a b c因为,,a b c 均为单位向量，则1a b c ===，所以14-⋅=a b ， 又()1=22+c a b ，所以()()21111122122224⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=-= ⎪⎝⎭a c a a b a a b故选：C ．5．已知,a b 是相互垂直的单位向量，与,a b 共面的向量c 满足2,a c b c ⋅⋅＝＝则c 的模为（ ） A ．1 B 2C ．2D ．22【答案】D 【解析】根据,a b 是相互垂直的单位向量，利用坐标法以及数量积的坐标表示，建立方程进行求解即可. 【详解】,a b 是相互垂直的单位向量，不妨设()1,0a =，()0,1b =， 设(),c x y =，由2,a c b c ⋅⋅＝＝ 可得2x y ==，即()2,2c =， 则c 的模为2222822c =+==.故选：D6．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B 【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B.7．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b + B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -【答案】D 【解析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b ︒⋅=⋅⋅=⨯⨯=. A ：因为215(2)221022a b b a b b +⋅=⋅+=+⨯=≠，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯+=≠，所以本选项不符合题意；C ：因为213(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，所以本选项不符合题意；D ：因为21(2)22102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，所以本选项符合题意.故选：D.8．已知向量ab a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b +（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 【解析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=. ()22222526367a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.9．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A ．()2,6- B ．(6,2)- C ．(2,4)- D ．(4,6)-【答案】A 【解析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.10．若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】 由题意1,11yy x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.11．设2log 3a =，24log 3b =，则2a b +，ab ，ba 的大小关系为（ ） A ．2ab b ab a +>> B ．2a b b ab a +>> C ．2a b b ab a +>> D ．2b a bab a +>> 【答案】C 【解析】由已知得1,0a b >>且2a b +=，然后结合基本不等式与中间值1比较，用不等式的性质比较大小可得． 【详解】易知：0,0a b >>,12a b +=，()214a b ab +<=，1b ab a a >⇔>，显然成立. 所以2a b bab a+>>．故选：C ．12．已知,a b 是平面向量，满足||2,||1a b =≤，且322b a -≤，记a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值是（ ） A ．1116B ．78C 15D 315【答案】B 【解析】先给322b a -≤两边平方然后展开，代入2a =，得到2143a b b⋅≥+，然后利用23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅，然后当1b ≤时，求解cos θ的最小值. 【详解】由322b a -≤得，()2223294124b ab a a b -=+-⋅≤，所以2143a b b ⋅≥+.则23||113||4cos 8||||2||2||b a b b a b b b θ+⋅=≥=+⋅⋅ 令函数13()28xf x x =+，因为()f x 在[]0,1上单调递减. 又因为1b ≤，故当1b =时，cos θ取得最小值，最小值为78. 故选：B 【点睛】本题考查向量间夹角余弦值的取值范围的计算问题，解答的一般思路为：当已知a ，b 和a b λμ+(其中,λμ为常数)时，一般采用平方法，得到2a b λμ+然后展开，得到cos θ的值.13．已知a ，b ，R c ∈，若关于x 不等式01a cx b x x≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，则（ ）A ．不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=B ．存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=C ．有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=D ．存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -= 【答案】D 【解析】根据1>0x ，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式20x bx a c x ≤++≤-的解集为[]{}()123321,0x x x x x x ⋃>>>，即220x bx a x bx a c x ⎧++≥⎨++≤-⎩的解集是[]{}123,x x x ⋃，则不等式20x bx a ++≥的解是{|x 2x x ≤或3x x ≥}，不等式2x bx a c x ++≤-的解集是13{|}x x x x ≤≤， 设1x m =，21x m =+，3x n =(1)m n +<， 所以0c n -=，n c =，1m +和n 是方程20x bx a ++=的两根，则11b m n m c -=++=++，(1)a m n mc c =+=+， 又22(1)m bm a m m m c mc c c m ++=+---++=-， 所以m 是2x bx a c x ++=-的一根， 所以存在无数对(,,)a b c ，使得211x x -=． 故选：D ．14．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ） A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C 【解析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C15．已知22220,0,3,3a b a b ab a b >>+-=-≤，则+a b 的最小值是（ ）A ．22B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，根据0,0a b >>确定203θπ<<，得到22a b -2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由223a b -≤，，进一步确定62ππθ≤≤，然后由33sin 236a b πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质求解.【详解】因为222222344b b a b ab a b ab +-=+-++， 223324b b a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，令3233ba θθ⎧-=⎪⎪=，则3sin 2sin 32sin a b πθθθθ⎧⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩， 因为0,0a b >>，所以sin 03sin 0πθθ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩，即030πθπθπ⎧<+<⎪⎨⎪<<⎩， 解得203θπ<<， 所以)()22223sin 2sin a b θθθ-=+-，2223cos 23sin cos sin 4sin θθθθθ=++-，()223cos sin 23cos θθθθ=-+3cos23sin 2θθ=，2323πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为203θπ<<， 所以52333ππθπ<+<，因为223a b -≤，所以33sin 23πθ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭ 解得242333ππθπ≤+≤， 所以62ππθ≤≤，则2363πππθ≤+≤， 所以33sin 233,236a b πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以+a b 的最小值是3， 故选：B关键点点睛：本题关键是将223a b ab +-=，变形为223324b b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，利用三角换元，转化为三角函数求解. 二、多选题16．已知0a b c >>>且1abc =，则下列结论中一定成立的是（ ） A ．1b = B ．1ab >C ．01bc <<D ．22a c +>【答案】BCD 【解析】由0a b c >>>且1abc =，可以得到1a >，01c <<，然后结合不等式的性质容易对A ，B ，C 选项进行判断，然后利用基本不等式可对D 选项进行判断. 【详解】A ：因为0a b c >>>且1abc =，所以331c abc a <=<，即1a >，01c <<，b 不一定等于1，故A 项不一定成立；B ：因为01c <<，所以11ab c =>，所以B 项一定成立； C ：因为1a >，所以101bc a<=<，C 项一定成立；D ：22211222a a c a a ab ab b+=+≥⋅，D 项一定成立. 17．已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则（ ） A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为22C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为94 【答案】AC 【解析】对于选项A ，直接根据基本不等式可求得结果；对于选项B ，化为积为定值的形式后，根据基本不等式求出最小值可得答案； 对于选项C ，变形后利用二次函数求出最小值可得答案； 对于选项D ，变形后利用基本不等式求出最小值可得答案. 【详解】对于选项A ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取“=”，故A 正确；对于选项B ，22222b b a b b aa b a b a b++=+=++≥222， 当且仅当222b a ==“=”，故B 错误；对于选项C ，22222111()55525a b a b ab +⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222121111()()5525555ab a b ab ab ⎛⎫=++-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当15ab =时取“=”，故C 正确； 对于选项D ，22a a ++222(22)(11)121b a b b a b +-+-=++++ 41241221a b a b =+-+++-+++ 41221a b =+-++， 令2s a =+，1t b =+，则4s t +=，所以4121a b +++=141(4s s t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭14)414t s t s t ⎛⎫=+++⎪⎝⎭ 1495244t s s t ⎛≥+⋅= ⎝， 当且仅当2s t =，即43t =，83s =时取“=”，所以41221a b +-++91244≥-=， 所以221214a b a b +≥++，当且仅当23a =，13b =时取“=”，故选项D 错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求解最值问题常采用常数代换法，其解题步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值． 18．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b 【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+≤++=，2a b 12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题19．已知向量(),1a x =，()1,2b =-，且a b ⊥，则a b -=___________. 10【解析】由垂直的坐标表示求得x ，再由模的坐标运算求解． 【详解】由a b ⊥得20a b x ⋅=-=，2x =，则(1,3)a b -=，所以221310a b -=+= 10．20．已知点(),C x y 在线段():41,AB x y x y ++=∈R 上运动，则xy 的最大值是____________．【答案】116【解析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：由题设()41,x y x y ++=∈R 可得：4124x y xy +=≥142xy ≤， ∴144xy ≤，即116xy ≤，当且仅当142x y ==时取“=”， 故答案为：116．21．已知a ，b 为实数，则221214a b ++______2ab a +．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥ 【解析】利用作差法，配方即可比较大小. 【详解】()2222112121042a b ab a a b a ⎛⎫++--=-+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =取等号． 故答案为：≥22．若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．【答案】8 【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x =-，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x =-，当直线经过点A 时，直线1122y x z =-+在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y -=-⎧⎨-=⎩的解，解得：23x y =⎧⎨=⎩，因此2z x y =+的最大值为：2238+⨯=. 故答案为：8.23．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.【答案】1- 【解析】根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案. 【详解】根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A将目标函数3z x y =-化为133z y x =-， z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133zy x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-24．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=．若()1c λa λb =+-，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为______． 【答案】32【解析】令M a A =，MB b =，利用已知作出以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，令AN MB =，连接MN ．设c AC =，由已知点C 在直线MN 上，【详解】令M a A =，MB b =，则a b AM MB AB =++=，故3AB =，又0a b ⋅=，所以AM MB ⊥．以AB 为直径作直角三角形ABM 的外接圆O ，进而得出当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值．令AN MB =，连接MN ．设c AC =，因为()1c λa λb =+-⋅，所以点C 在直线MN 上，又c a c b ⋅=⋅，所以()0c a b ⋅-=，即0AC NM ⋅=，所以AC NM ⊥．结合图形可知，当NM AB ⊥时，AC 即c 取得最大值，且32c AO ==．故答案为：3225．已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值. 【详解】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 26．设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 3【解析】整理已知可得：()2a b a b +=+，再利用,a b 为单位向量即可求得21a b ⋅=-，对a b -变形可得：222a b a a b b -=-⋅+，问题得解.【详解】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=327．平面向量OA ､OB ､OC ，满足24OA OB ==，()()20OC OA OC OB -⋅-=，0OA OB ⋅=，则对任意[]0,2θπ∈，11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值为___________. 【答案】221 【解析】建立平面直角坐标系，可得点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-=，然后化简所求式子，转化为两个圆的点之间的最大值问题，简单判断即可. 【详解】由0OA OB ⋅=，24OA OB ==，可设()()()4,0,0,2,,A B C x y由()()20OC OA OC OB -⋅-=，把坐标代入化简可得：()()22112x y -+-= 所以点点C 的轨迹方程为()()22112x y -+-= 又()()11cos sin ,cos ,sin 42OC OA OB x y θθθθ--⋅=-， 所以求11cos sin 42OC OA OB θθ--⋅的最大值即两个圆()()22112x y -+-=、221x y +=上动点最大值，如图所示;当过两圆的圆心时，有最大即221MN = 故答案为：22128．已知向量a ，b ，c 满足22a b c b -+==，b a -与a 的夹角为34π，则c 的最大值为______．【答案】22【解析】根据题意设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b a c OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =由条件可得4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值. 【详解】 因为22a b c b -+==，所以2a b c -+=，1b =．设OA b a =-，OB b =，OC c =，则a AB =，b ac OA OC CA --=-=，1OB =，2CA =因为b a -与a 的夹角为34π，所以4OAB π∠=，OAB 的外接圆的直径为：122sin sin4OB R AOB π===∠ 则动点A 2D 中的优弧OB （不含点O ，B ）， 由2CA =C 的轨迹是以A 2结合图形可知，当点O ，D ，A ，C四点共线，且C 在线段OA 的延长线上时，OC 最大，且最大值是22 故c 的最大值为22 故答案为：22【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算和模长的最值问题，解答本题的关键是在OAB 中，根据题意得到4OAB π∠=，1OB =后能结合正弦定理得到动点A 的轨迹，利用2CA =C 的轨迹，然后数形结合得到OC 的最大值，即c 的最大值．属于中档题.29．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m （单位：万件）与广告费用x （单位：万元）符合函数模型231m x =-+．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入_______万元． 【答案】3 【解析】设李明获得的利润为()f x 万元，求出()f x 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得()f x 的最小值及其对应的x 的值. 【详解】设李明获得的利润为()f x 万元，则0x ≥， 则()()()21616168832425125211111f x m x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--=--=-++≤-+ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎣⎦25817=-=，当且仅当1611x x +=+，因为0x ≥，即当3x =时，等号成立. 故答案为：3.30．已知正实数x ，y ，a ，b 满足a bx yxy ==，其中1x >，1y >，则4911a b +--的最小值为______. 【答案】12 【解析】 解法一根据ab x y xy ==可知11()a b xy xy +=，得到a b ab +=，然后变形所求的式子并结合基本不等式可知结果. 解法二对a b x y xy ==取对数可知lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，然后代入所求式子并结合基本不等式可知结果. 【详解】解法一 由abxyxy ==得1()a xy x =，1()b xy y =，所以11()a b xy xy +=，所以111a b+=，即a b ab +=，所以4949139413941311(1)(1)()1b a a b a b a b a b ab a b +-+-+===+------++. 因为111a b +=，所以114994(94)1325b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当49b a a b =时等号成立.故491211a b +≥--，所以4911a b +--的最小值为12. 解法二 对a b x y xy ==两边同时取对数，得lg lg lg x y a x +=，lg lg lg x yb y+=，所以494lg 9lg 1211lg lg x y a b y x +=+≥--，当且仅当23x y =时等号成立，所以4911a b +--的最小值为12. 故答案为：12 【点睛】关键点定睛：解法一关键在于得到111a b+=，解法二结合对数，同时两种解法都使用基本不等式. 31．已知数列{}n a 是等差数列，11a ≥-，22a ≤，30a ≥，则153z a a =-的最大值是______． 【答案】16 【解析】由等差数列得通项公式可的1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，15324z a a x y =-=-，利用线性规划知识求最值即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，1111220a a d a d ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，设1a x =，d y =，则不等式组等价为1220x x y x y ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，对应的可行域为如图所示的三角形ABC 及其内部，由15132424a a a d x y -=-=-，由24z x y =-可得124z y x =-， 作12y x =沿着可行域的方向平移，当直线过点A 时，z 取得最大值． 由220x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得()4,2A -， 所以 ()max 244216z =⨯-⨯-=， 故答案为：1632．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 四、双空题33．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】16 132【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则5332D ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()22253332113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 五、解答题34．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元． 【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可． 【详解】（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x xx x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩．（2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增，()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，2525()78030(1)78030(1)48011f x x x x x=-++-⨯+++， 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．。
上海市学校2021-2022学年高三数学填选难题专题练习汇编——平面向量
2021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________.2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.8．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.9．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 10．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________.11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=；②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 15．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________16．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______17．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2Cπ=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．18．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.19．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________22．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.24．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________.26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111mOM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FM FQ FM A F FPFQ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________29．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．1433．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54 C ．56D ．122021-2022上海市学校——高中数学填选难题——平面向量专题练习汇编一、平面向量1．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知点P 在圆222x y +=上，已知(4,0)A ，(0,4)B -，则PA PB ⋅的最小值为___________. 【答案】6-2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量a ，b ，c 满足4a b -=，且()()1a c b c -⋅-=-，若a 与b 的夹角为θ，且ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则c 的模取值范围是___________.【答案】2⎡⎣3．（2022·上海普陀·二模）如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），2DCB π∠=，且DC CB =，若2AB =，则OC OD ⋅的取值范围为__________.【答案】(1,2]4．（2022·上海市七宝中学高三期中）设AM 为ABC 中BC 边上的中线，且AP PM =.若,23BAC BC π∠==，则PB PC ⋅的最大值为_________ 【答案】14-5．（2022·上海·高三专题练习）半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =120°，C 为弧上的动点，已知·0m n ≥，记||||M mOC OA nOC OB =-+-，则（ ）A ．若m +n =3，则M 的最小值为3B ．若m +n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 C ．若m ·n =3，则M 的最小值为3D ．若m ·n =3，则有唯一C 点使M 取最小值 【答案】A6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知a ，b 两个互相垂直的单位向量，且12a c b c ⋅=⋅=-，则对任意的实数t ，1c ta b t++的最小值是_______.7．（2022·上海）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】258．（2022·上海·高三专题练习）已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =､||b =(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________.【答案】179．（2022·上海交大附中高三开学考试）若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足12BP PQ =，则AB AQ ⋅的最大值为_________. 【答案】1010．（2022·上海·高三专题练习）已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P ､Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是___________. 【答案】[2,1]-11．（2022·上海·高三专题练习）设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1||||2mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .12．（2022·上海）如图，若同一平面上的四边形PQRS 满足(13)(1)mnRP n m QP m n SP =-+-（0m >，0n >），则当△PRS 的面积是△PQR 的面积的13倍时，1m n+的最大值为________【答案】10-13．（2022·上海·高三专题练习）如图，P 为ABC 内任意一点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .总有优美等式PBC S PA +△0PAC PAB S PB S PC +=△△成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=； ②若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心； ③若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△； ④若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+，则)m n ⎡+∈⎣.则正确的命题有___________.【答案】①②④14．（2022·上海·高三专题练习）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________. 【答案】1215．（2022·上海·高三专题练习）已知点P 为不等式0200y x y y -≥+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 为坐标原点，则||OA OP OP ⋅的最大值为________【答案】116．（2022·上海·高三专题练习）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______【答案】617．（2022·上海·高三专题练习）如图，在△ABC 中，2C π=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:118．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______. 【答案】319．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量a 、b 、c 满足1a =，2b c ==，且0b c ⋅=，则当01λ≤≤时，(1)a b c λλ---的取值范围是_______【答案】1,3]20．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2=AB ，设2=+PC PA PB ，则PC ∈________.【答案】⎣⎦21．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC 面积的最大值是____________【答案】3422．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABC AP 的最小值为__________.23．（2022·上海·高三专题练习）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动（包含B 、C 两个端点），23BAC π∠=，且AP x AB y AC =+，则x y xy ++的取值范围为______.【答案】[]1,324．（2022·上海）若平面向量1e ，2e ，c 满足12121e e e e ==-=，2123(2)02c e e c -+⋅+=，则对任意的R t ∈，1c te -的最小值记为M ，则M 的最大值为________.25．（2022·上海）已知正方形ABCD 边长为8，,3,BE EC DF FA ==若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使·PE PF λ=，则λ的取值范围为_____________. 【答案】18-,（） 26．（2022·上海交大附中高三阶段练习）如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为____．【答案】11⎤⎦，. 27．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB ===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】28．（2022·上海·）已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}FP FMFQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为________【答案】3429．（2022·上海）已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若223c a c b -+-=，则2c a +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,3]D ．【答案】B30．（2022·上海·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，已知ABC ∆的面积是ACD ∆的面积的3倍，若存在正实数x y 、使得1131⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AC AB AD x y 成立,则x y +的最小值为A B C D 【答案】D31．（2022·上海）已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当{}()1,11,2,3,4,5i i λ∈-=时，12345AB AC AD AE AF λλλλλ++++的最大值为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．8+【答案】B32．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．12D ．14 【答案】C33．（2022·上海·高三专题练习）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A ．45B ．54C ．56D ．12 【答案】A。
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精选练习(含答案)
2021年高中数学《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精选练习一、选择题1.已知向量a=(0，－23)，b=(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C.－ 3 D.－32.设x ∈R ，向量a=(x,1)，b=(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b|=( ) A. 5 B.10 C.2 5 D.103.已知向量a=(2,1)，b=(－1，k)，a ·(2a －b)=0，则k=( )A.－12B.－6C.6D.124.a ，b 为平面向量，已知a=(4,3)，2a ＋b=(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865B.－865C.1665D.－16655.已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形6.设向量a=(1,0)，b=⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A.|a|=|b| B.a ·b=22C.a －b 与b 垂直D.a ∥b 7.已知向量错误!未找到引用源。
=(2,2)，错误!未找到引用源。
=(4,1)，在x 轴上有一点P ，使错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
有最小值，则点P 的坐标是( )A.(－3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)8.若a=(x,2)，b=(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 9.已知错误!未找到引用源。
=(－3,1)，错误!未找到引用源。
=(0,5)，且错误!未找到引用源。
∥错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
⊥错误!未找到引用源。
(O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，294D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 二、填空题10.设向量a=(1,2m)，b=(m ＋1,1)，c=(2，m).若(a ＋c)⊥b ，则|a|=________.11.已知向量a=(1，3)，2a ＋b=(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ=________.12.已知向量a=(3，1)，b 是不平行于x 轴单位向量，且a ·b=3，则向量b 坐标为______.13.平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m=________.14.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则错误!未找到引用源。
高考数学总复习解题策略：平面向量(2021)
(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，
此类题综合性比较强，难度大.
例 8 ． 设 函 数 f(x)=a-b, 其 中 向 量 a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x ∈ R, 且 函 数 y=f(x) 的 图 象 经 过 点 ,2 ，
故选 A．
例
2．在 ABCD
中，
AB
a,
AD
b,
AN
3NC
，M
为
BC
的中点，则
MN
______.（用
a、b 表示）
命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的 积.
解：由AN
3NC得4 AN
3AC
=3(a
b)
，
AM
a
1
b
，所
2
以,
MN
3
(a
b)
(a
6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算 方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将 几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．
【例题解析】
1. 向量的概念，向量的基本运算
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概 念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
2OA
OB
OC
0
，那么（
）
Ａ．
AO
OD
Ｂ．
AO
2OD
Ｃ．
AO
3OD
Ｄ．
2 AO
OD
命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．
解
：
2OA OB OC 2OA (DB OD) (DC OD) = 0, DB DC, 2OA 2OD 0, AO OD.
2021高考数学课件7.4.1平面向量的应用
第1课时 正弦定理和余弦定理
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形[自主练透]
1．[2020·山东省实验中学第一次诊断性考试]在△ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三 角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
6．[2019·全国Ⅱ卷]△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c.已知 bsin A＋acos B＝0，则 B＝________.
答案：34π 解析：在△ABC 中，由已知及正弦定理得 sin Bsin A＋sin Acos B＝0， ∵sin A≠0，∴sin B＋cos B＝0， 即 tan B＝－1， 又 B∈(0，π)，∴B＝34π.
答案：C 解析：由正弦定理得sinb B＝sinc C，
∴sin
B＝bsicn
C＝40×20
3 2＝
3>1.
∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．[2020·山东临沂一中新高考备考监测联考]在△ABC 中，AC＝3， AB＝4，BC＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为( )
A．4438 B．－14 C．－172 D．－2114
答案：A
解析：∵cosC2＝ 55，∴cos C＝2cos2C2－1＝2× 552－1＝－35. 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝ 52＋12－2×5×1×(－35)＝32， ∴AB＝ 32＝4 2.故选 A.
2．[必修二·P44 练习 T1 改编]在△ABC 中，已知 a＝5，b＝2，C ＝π3则 c＝________.
答案： 19 解析：由余弦定理得： c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋22－2×5×2×cosπ3 ＝25＋4－10＝19， ∴c＝ 19.
黑龙江省实验中学2021年高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练附解析
黑龙江省实验中学2021年高考数学平面向量多选题与热点解答题组合练附解析一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b+= B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立 D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出10cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B项，当23λ=时，()2,2E，则()2,2AE→=，()1,2BE→=-，故10cos10,225AE BEAE BEAE BE→→→→→→⋅===⨯⋅，B正确；C项，()3,2AEλ→=，()33,2BEλ→=-，若AE BE→→⊥，则()2333229940AE BEλλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，故不存在()0,1λ∈，使得AE BE→→⊥，C正确；D项，()63,4AE BEλ→→+=-，所以()226344AE BEλ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.3．已知ABC是边长为2的等边三角形，D是边AC上的点，且2AD DC=，E是AB的中点，BD与CE交于点O，那么（）A．0OE OC+=B．1AB CE⋅=-C．32OA OB OC++=D．132DE=【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(3,1,0,1,0,3O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,0,2222OA OB OC ⎛⎛⎫⎛⎛++=-+--+=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以32OA OB OC ++=，故正确； D ．因为()123,,0,033D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以123,33DE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以133DE =，故错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.4．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.9．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos,2||||1a a ba a ba a b⋅-〈-〉====-⨯，所以，a与a b-的夹角为4π.所以C 选项正确；故选：BC.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式2+a x y＝(2)若向量a b，是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式22•a a a a＝＝或2222||)2?(a b a b a a b b＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcosa b＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.10．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（）A．若a b a c⋅=⋅，则b c=；B．已知(,3)a k=，(2,6)b=-，若//a b，则1k=-；C．非零向量a和b，满足||||||a b a b==-，则a与a b+的夹角为30º；D．0||||||||a b a ba b a b⎛⎫⎛⎫+⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】通过举反例知A不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B正确，由向量加减法的意义知，C正确，通过化简计算得D正确．【详解】对A，当0a=时，可得到A不成立；对B，//a b 时，有326k=-，1k∴=-，故B正确．对C，当||||||a b a b==-时，a、b、a b-这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b+是这个等边三角形一条角平分线，故C正确．对D，22()()()()110||||||||||||a b a b a ba a ab b b+⋅-=-=-=，故D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．。
河北省张家口市2021年高中数学平面向量多选题专题复习附答案
河北省张家口市2021年高中数学平面向量多选题专题复习附答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1ab += B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.3．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案. 【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.4．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEFBFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8cos ,FD FE FDFE FD FE-⋅<>==⋅⎛，84(1,]5---，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.7．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.8．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．10．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确.【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =， 所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确，故选：AD.【点睛】 本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.。
河北高碑店市第一中学2021年高考数学的平面向量多选题含答案
河北高碑店市第一中学2021年高考数学的平面向量多选题含答案一、平面向量多选题1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,22a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.2．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+ B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以ABCE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++=D ．因为()123,0,03DE ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.5．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为37【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=，故a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==-，故D 正确。
江西省吉安市2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析及答案
江西省吉安市2021年高考数学中“平面向量多选题”的类型分析及答案一、平面向量多选题1．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC2．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB的中点，AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG长的最大值为1 D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r=--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C xy +++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.3．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB 【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】 对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.4．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误，因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题6．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD 是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D 正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A 错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BABBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。
专题25 平面向量概念及线性运算-2021高考领跑一轮复习资料(解析版)
A.－2
1 B.－
2
C.－ 2
D. 2
【答案】A
【解析】 D→O＝D→A＋A→O＝C→B＋A→O＝A→B－A→C＋1A→C＝A→B－1A→C，∴λ＝1，μ＝－1，因此λ＝－2.
2
2
2
μ
ab 7．(2019·海南模拟)设 a，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使 ＋ ＝0 成立的是( )
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求a与b的
相反向量
减法 －b 的和的
a－b＝a＋(－b)
运算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
数乘
求实数λ 与向量 a 的 积的运算
|λa|＝|λ||a|；当 λ＞0 时，λa λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋
的方向与 a 的方向相同；当λ＜0 时， μ)a＝λa＋μa；λ(a＋
条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
【解法小结】对于向量的有关概念应注意以下几点：
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一
定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.
当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 2.向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 成立. 三、【名校新题】
1.(2019·东莞调研)如图所示，已知A→C＝3B→C，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则下列等式中成立的是( )
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2021年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量
2021年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量2021年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量一、单选题1.已知非零向量a，则“a⊥b”是“a∥b”的（）。
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：XXX⊥b，则a与b的数量积为0，而a∥b时，a与b的数量积不为0，所以“a⊥b”是“a∥b”的必要不充分条件，故答案为B。
二、多选题2.已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ，-sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1，0)，则（）。
A.∠P1P2P3=α+βB.∠P1P2A=αC.∠P2P3A=βD.∠P1P3A=α+β解析：由三角函数定义及向量几何知识可得：P1P2=2sin(α-β)/2，P2P3=2sin(α+β)/2，P1P3=2sinα/2cosβ/2+2cosα/2sinβ/2所以：P1P2P3=∠P1P2A+∠P2P3A=α+βP1P2A=αP2P3A=βP1P3A=α+β故答案为A、B、C。
三、填空题3.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，|a+k*b|=√10，则k=________。
解析：由向量的模的定义及向量加法可得：a+k*b|²=(3+k)²+1²=k²+6k+10所以：k²+6k+10=10k²+6k=0k(k+6)=0故k=0或k=-6，但a和b不共线，故k≠0，故k=-6，故填-6.4.若向量a=(1，3)，b=(3，4)，且a⊥c，其中c=λa+b，则λ=________。
解析：由向量垂直的性质及向量的线性运算可得：a⊥c即a·c=0即a·(λa+b)=0即λ|a|²+a·b=0所以：λ|a|²+a·b=1*1+3*4=13λ=-(a·b)/|a|²=-12/10=-6/5故填-6/5.5.已知向量a=(2,5)，b=(λ,4)，若|a-b|=3，且a·b=1，则λ=________。
备战2021年新高考数学新题型之专题04 平面向量(解析版)
专题04 平面向量1．已知向量,a b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是（ ）A ．若存在实数λ，使得b a λ=，则a 与b 共线B ．若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b a λ=C ．若a 与b 不共线，则对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+D ．若对平面α内的任一向量c ，均存在实数,λμ，使得c a b λμ=+，则a 与b 不共线【答案】ACD【解析】【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A 选项正确.对于B 选项，若a 与b 共线，可能0a =，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b a λ=，所以B 选项错误.根据平面向量的基本定理可知C 、D 选项正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（ ）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+C ．2133BF AB AD =-+ D ．1263CF AB AD =- 【答案】ABC【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵ AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++12AB AD AB =-++12AB AD =-+，A 对； ∵3BC EC =，∴23BE BC =1233AB AD =-+， ∴AE AB BE =+1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2233AB AD =+， 又F 为AE 的中点，∴12AF AE =1133AB AD =+，B 对； ∴BF BA AF =+1133AB AB AD =-++2133AB AD =-+，C 对； ∴CF CB BF =+BF BC =-2133AB AD =-+12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭1263AB AD =--，D 错； 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题． 3．设向量(),2a k =，()1,1b =-，则下列叙述错误的是( )A ．若2k <-时，则a 与b 的夹角为钝角B ．a 的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎭D ．若2a b =，则k =-【解析】【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<且a 与b 不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b 共线的单位向量为b b ±可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误.【详解】 对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩， 解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确；对于B 选项，242a k =+≥=，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，2b =，与b 共线的单位向量为bb ±，即与b 共线的单位向量为22⎛- ⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 选项中的命题错误；对于D 选项，222a b ==，即=2k =±，D 选项中的命题错误. 故选：CD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.4．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．已知非零向量,a b ，若,a b a b +=-则a b ⊥B ．若():0,,1ln ,p x x x ∀∈+∞->则()000:0,,1ln p x x x ⌝∃∈+∞-≤C ．在ABC ∆中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则()()y ff x =也是奇函数【答案】ABD【分析】对A ，对等式两边平方；对B ，全称命题的否定是特称命题；对C ，sin cos A A +=sin cos B B +两边平方可推得2A B π+=或A B =；对D ，由奇函数的定义可得()()y f f x =也为奇函数. 【详解】对A ，222222220a b a b a b a b a b a b a b +=-⇒++⋅=+-⋅⇒⋅=，所以a b ⊥，故A 正确； 对B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B 正确；对C ，sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos sin 2sin 2A A B B A A B B A B +=+⇒⋅=⋅⇒=， 所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对D ，设函数()()()F x f f x =，其定义域为R 关于原点对称，且()()()()()()()()F x f f x f f x f f x F x -=-=-=-=-，所以()F x 为奇函数，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C 选项中sin 2sin 2A B =得到的是,A B 的两种情况.5．已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是 （ ） A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(0,−1)【答案】AC【解析】【分析】用12,λλ表示出向量a 的坐标,利用平面向量基本定理求出12,λλ,逐项判断12λλ是否满足题意.【详解】 11221212=(2,2)a e e λλλλλλ=+-++若(1,0)a =,则12122120λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1212,55λλ=-=,120λλ<,满足题意;若(0,1)a =,则12122021λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1221,55λλ==,120λλ>,不满足题意; 因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.故选:AC【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,属于基础题.6．已知单位向量a 、b ，则下面正确的式子是（ ）A ．1a b ⋅=B ． 22a b =C ．a b =D ．0a b -=【答案】BD【解析】【分析】根据单位向量的概念和性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】 因为向量a 、b 为两个单位向量， 所以cos ,a b a b a b ⋅=，当a 与b 的夹角不为0时，不能得到1a b ⋅=，a b =，故选项A 、C 错误；因为向量a 、b 为两个单位向量，所以1a b ==，所以22a b =，0a b -=都成立，故选项B 、D 正确.故选：BD【点睛】本题考查单位向量的概念和性质，向量的数量积运算，属于简单题.7．在平面上的点(2,1)A ，(0,2)B ，(2,1)C -，(0,0)O ，下面结论正确的是（ ）A ．AB CA BC -=B ．OA OC OB += C ．2AC OB OA =-D ．2OA OB OC +=【答案】BC【解析】【分析】根据给出的点坐标，分别写出四个选项中对应的向量的坐标，由向量的坐标运算进行判断，从而得到答案.【详解】点(2,1)A ，(0,2)B ，(2,1)C -，(0,0)O选项A 中，()2,1AB =-，()4,0CA =，()2,1BC =--，所以AB CA BC -≠，故错误； 选项B 中，()2,1OA =，()2,1OC =-，()0,2OB =，所以OA OC OB +=成立，故正确； 选项C 中，()4,0AC =-，()0,2OB =，()2,1OA =，所以2AC OB OA =-成立，故正确； 选项D 中，()2,1OA =，()0,2OB =，()2,1OC =-，所以2OA OB OC +≠，故错误. 故选：BC.【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标运算，属于简单题.8．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CE ⋅=-B ．0OE OC += C ．32OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BCD【解析】【分析】以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：所以，123(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123(0,),3),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==--，BO ∥DO ， 所以3133y y -=-，解得：32y =， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确； 322OA OB OC OE OC OE ++=+==，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；13(,33ED =，(1,3)BC =， ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，所以选项D 正确.故选：BCD【点睛】 此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.9．已知向量(1,2)=-a ，||4||b a =，a b ，则b 可能是（ ）A ．(4,8)B ．(4,8)-C ．(4,8)--D ．(4,8)-【答案】BD【解析】【分析】设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b 的可能取值.【详解】设(),b x y =，依题意有20y x =+=⎪⎩48x y =⎧⎨=-⎩或48x y =-⎧⎨=⎩. 故选：BD【点睛】本小题主要考查平面向量模的坐标运算，考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.10．已知非零向量1e ，2e ，a ，b 满足122a e e =-，12()ke e b k R +=∈，则以下结论正确的是（ ） A ．若1e 与2e 不共线，a 与b 共线，则2k =-B ．若1e 与2e 不共线，a 与b 共线，则2k =C ．存在k ，使得a 与b 不共线，1e 与2e 共线D ．不存在k ，使得a 与b 不共线，1e 与2e 共线【答案】AD【解析】【分析】根据向量共线的充要条件判断即可。
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第一部分：平面向量的概念及线性运算欧阳光明（2021.03.07）一.基础知识自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二.难点正本疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果等于________．2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于()A ．－4e1－2e2B ．－2e1－4e2C ．e1－3e2D ．3e1－e25．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ；(2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练2 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2.(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线． 五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.六．思想方法感悟提高 方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 七．课后练习 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1B ．2 C ．3D ．42．若A 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD→＝DC →+AB .其中正确的有() A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. B 上有一点C ，满足CB AC +2=0，则OC 等于()A.OA 2－OB →B.OA -＋2OB →C.OA 32－13OB →D.OA 31-＋23OB →4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝2DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →等于()A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是()A ．矩形 ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →，AC ＝nAN →，则m ＋n 的值为________．9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →.11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.（1）求GA ＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →＝nb ，求证：1m ＋1n＝3.第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一．基础知识自主学习 1．两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)向量夹角θ的范围是 ,当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a ⊥b .2.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组． (2)平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对叫做向量a 的坐标，记作a ＝，其中叫做a 在x 轴上的坐标，叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y)就是的坐标，即若OA →＝(x ，y)，则A 点坐标为，反之亦成立．(O 是坐标原点)3．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则 a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a|＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝，|AB →|＝ .4．平面向量共线的坐标表示：设a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔. 二．难点正本 疑点清源 1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a 都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x ，y)，向量a ＝OA →＝(x ，y)．当平面向量OA →平行移动到O1A1→时，向量不变即O1A1→＝OA →＝(x ，y),但O1A1→的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．三．基础自测1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b)∥c ，则m ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)5．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x2)，则向量a ＋b()A ．平行于y 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于x 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 四．题型分类深度剖析题型一 平面向量基本定理的应用例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示CQ →.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(2，－4)、B(0，6)、C(－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标；(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b.题型三 平行向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc)∥(2b －a)，求实数k ； (3)若d 满足(d －c)∥(a ＋b)，且|d －c|＝5，求d. 变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标． 六．思想方法感悟提高 方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题． 3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等． 七．课后练习1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m)，若a ∥b ，则实数m 的值为() A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于() A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 4.已知向量a ＝(1，－m)，b ＝(m2，m)，则向量a ＋b 所在的直线可能为() A ．x 轴B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴D5．已知A(7,1)、B(1,4),AB 交于C,→，则实数a 等于() A ．2 B ．1C.5D.36．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量A(1,2)，B(3，2)，则x ＝________.91，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b)，n ＝(3a ＋3b ，c)，m ∥n.(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b)，向量n ＝(cos A ，cos B)，向量p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．第三部分：平面向量的数量积一．基础知识自主学习 1．平面向量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是.2．平面向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝；当a 与b 反向时，a ·b ＝，a ·a ＝a2，|a|＝a ·a ； (4)cos θ＝a ·b |a||b|；(5)|a ·b|____|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a ·b ＝ (交换律)；(2)(λa)·b ＝＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b)·c ＝.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ·b ＝，由此得到 (1)若a ＝(x ，y)，则|a|2＝或|a|＝.(2)设A （x1,y1）,B(x2,y2),则A 、B 两点间的距离|AB|=AB ＝. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a ⊥b ⇔.二．难点正本 疑点清源 1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a ·b)c 不一定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 三．基础自测1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________.2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=10,则AC AB ·＝______. 3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)b 方向上的投影为______．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 D ．(0，－1) 四．题型分类深度剖析 题型一 求两向量的数量积例1(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD →，|AD |＝1，则AD AC ·等于()A ．2 3 B.32 C.3D.3题型二 求向量的模例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．变式训练2 设向量a ，b 满足|a －b|＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π3，则|b|＝________.题型三 利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 题型四 平面向量的垂直问题例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若ka ＋b 与a －kb 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m)，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值． 五．答题规范5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 六．思想方法感悟提高 方法与技巧1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a2＋2a ·b ＋b2；(λa ＋μb)·(sa ＋tb)＝λsa2＋(λt ＋μs)a ·b ＋μtb2(λ，μ，s ，t ∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧． 失误与防范1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b.3．一般地，(a ·b)c ≠(b ·c)a 即乘法的结合律不成立．因a ·b 是一个数量，所以(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b ·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，故一般情况下(a ·b)c ≠(b ·c)a. 4．a ·b ＝a ·c(a ≠0)不能推出b ＝c.5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，120°，而不是60°. 七．课后练习1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是()A ．|a|＝|b|B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x)，满足条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于() A ．6 B ．5 C ．4 D ．33.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于() A ．150° B ．90° C ．60° °4.平行四边形ABCD 中，AC (2,4)(1,3)() A ．6 B ．8 C ．－8 D ．－65.若e1、e2是夹角为π3的单位向量，且向量a ＝2e1＋e2，向量b ＝－3e1＋2e2，则a ·b 等于()A ．1B ．－4C ．－72 D.726．若向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b|＝________.7．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝________，若(a －mb)⊥a ，则实数m ＝________. 8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C .P 若λ＝12时，______．10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围． 11．已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b|.12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a ·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．第四部分：平面向量应用举例一．基础知识自主学习 1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔⇔. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔⇔.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)． 3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本 疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)． 则D 点的坐标为________．2．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A(－2，y)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C(x ，y)，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________． 4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·等于( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.5325．某人先位移向量a ：“向东走3 km ”，接着再位移向量b ：“向北走3 km ”，则a ＋b 表示 ( ) A ．向东南走3 2 km B ．向东北走3 2 km C ．向东南走3 3 km D ．向东北走3 3 km 四．题型分类深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB.求证：AD ⊥CE.变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．题型二 平面向量在解析几何中的应用例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M ，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．2 已知圆C ：及点A （1,1），M 是圆上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，2AN →，求点N 的轨迹方程．平面向量与三角函数例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x)，b ＝(sin x ，sin x)，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π4，求函数f(x)＝a ·b 的最值； (3)函数f(x)的图象可以由函数y ＝22sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？ 变式训练3 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．(1)1，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2)若＝13，且α∈(0，π)，求OB → 五．易错警示9．忽视对直角位置的讨论致误试题：已知平面上三点A 、B 、C (2－k,3)(2,4)．(1) 若三点A 、B 、C k 若△ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法感悟提高方法与技巧1． 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1CD →并不能说明AB ∥CD.2．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题．七．课后练习1．已知△ABC ()AC ．2．点P P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为()A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-⋅-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形状是()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则⋅AO BC 等于()A.32B.52C ．2D ．35．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于()A.|a|2|b|2－(a ·b)2B.|a|2|b|2＋(a ·b)2C.12|a|2|b|2－(a ·b)2D.12|a|2|b|2＋(a ·b)2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________.7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8.三顶点的坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点，且满足AP ·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB 的最小值为________．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1⋅=BA BC ，那么c ＝________.10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC=a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ 的值最大？并求出这个最大值．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··=＝k (k ∈R)． (1)判断△ABC 的形状；(2)若c ＝2，求k 的值．。