2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算

欧阳光明（2021.03.07）

一.基础知识自主学习

1．向量的有关概念

名称定义备注

向量既有又有的量；向量的大小叫做向量

的(或称)

平面向量是自由向量

零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于的

向量

非零向量a的单位向量为±

a

|a|

平行向量方向或的非零向量

0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量

相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比

较大小

相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何

意义)

运算律

加法求两个向量和的运算(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

减法求a与b的相反向量－b

的和的运算叫做a与b

的差

法则

a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a的积的

运算

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；

当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ

＝0时，λa＝0.

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb.

向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二.难点正本疑点清源

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别

向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测

1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →

的结果等于________．

2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．

3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于()

A ．－4e1－2e2

B ．－2e1－4e2

C ．e1－3e2

D ．3e1－e2

5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析

题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．

变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．

(1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ；

(2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；

(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；

(6)若向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算

例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13

CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →

.

变式训练2 △ABC 中，AD →＝23

AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC →

＝b ，用a 、b 表示向

量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题

例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD →

＝2e1－e2.

(1)求证：A 、B 、D 三点共线；

(2)若BF →

＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b)．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线． 五．思想与方法

5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题

试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12

OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →

＝b.试用a 和b 表示向量

OM →.

六．思想方法感悟提高 方法与技巧

1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →

，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误． 七．课后练习 1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1B ．2 C ．3D ．4

2．若A 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD

→

＝DC →

+AB .其中正确的有() A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. B 上有一点C ，满足CB AC +2=0，则OC 等于()

A.OA 2－OB →

B.OA -＋2OB →

C.OA 32－13OB →

D.OA 31-＋23OB →

4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝2

DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →

等于()

A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13

b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →

＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是()

A ．矩形 ．以上都不对 6. A

B ＝8，A

C ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →

的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；